Materia:Matematica discreta e finita

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PROGRAMMA DEL CORSO

Gli Insiemi

Insiemi e operazioni su insiemi. Relazioni. Funzioni. I numeri naturali e il principio di induzione matematica. Cardinalità di insiemi. Calcolo combinatorio.

I numeri

I numeri interi. Massimo Comun Divisore e l'algoritmo Euclideo.Fattorizzazione in Z. I numeri razionali. I numeri di Fibonacci. Congruenze.

Crittografia

La crittografia classica. Cenni storici. Il problema della comunicazione della chiave. Funzioni a senso unico. Funzioni trappola.La crittografia a chiave pubblica. Il sistema RSA. Impostazione del sistema.Calcolo di potenze con esponente elevato modulo n. L'autenticazione della firma

I Polinomi

Funzioni polinomiali e polinomi. Divisione tra polinomi, MCD e fattorizzazione. Polinomi irriducibili. I polinomi ciclomatici. Equazioni di terzo grado e formula di Cardano. Polinomi simmetrici

Gli Anelli

Definizione. Omomorfismi tra anelli.Ideali. Anelli quoziente. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Ideali primi e ideali massimali.Dominio di integrità. Domini euclidei. Domini e fattorizzazione unica

I Gruppi

Definizione. Il gruppo simmetrico Sn. Classi coniugate in Sn. I gruppi diedrali. Teorema di Lagrange. Isomorfismo tra gruppi e il teorema di Cayley. Omomorfismi. Gruppi quoziente. Teorema fondamentale di omomorfismo tra gruppi. Teoremi di isomorfismo. Orbite e stabilizzatori. Il teorema di Cauchy. I teoremi di Sylow. Prodotti diretti e semidiretti. Gruppi risolubili. Classificazione dei gruppi abeliani finiti

I Campi

Estensione di campi. Campi finiti. Il teorema di Wedderburn. Estensioni normali