Limiti

Richiami agli insiemi di numeri reali

Dato che esiste per ogni punto della retta orientata $r$ (detta retta reale) un elemento dell'insieme $\mathbb {R}$, possiamo identificare ogni sottoinsieme di $\mathbb {R}$, cioè un insieme numerico di punti della retta $r$.

Intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo illimitato) o un segmento (intervallo limitato) della retta reale.

Intervalli limitati

Un intervallo può essere chiuso o aperto. Possono differire a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo.

Un intervallo chiuso nella retta dei numeri reali (Fig. 1).)

• L'intervallo chiuso contiene tutti i valori inclusi tra a e b. (Fig. 1)

Un intervallo aperto nella retta dei numeri reali (Fig. 2).

• L'intervallo aperto contiene tutti i valori tra a e b esclusi. (Fig. 2)

Un intervallo aperto a sinistra nella retta dei numeri reali (fig. 3).

Un intervallo aperto a destra nella retta dei numeri reali (fig. 4).

• L'intervallo aperto a sinistra contiene tutti i valori tra a e b con a escluso. (Fig. 3)
• L'intervallo aperto a destra contiene tutti i valori tra a e b con b escluso. (Fig. 4)

Gli intervalli limitati sono segmenti della retta reale con estremi a e b, con a < b e lunghezza b - a, chiamata ampiezza dell'intervallo.

I valori ${\frac {b-a}{2}}$ e ${\frac {b+a}{2}}$ sono rispettivamente il raggio e il centro dell'intervallo.

Intervalli illimitati

Un intervallo illimitato corrisponde a una semirettta di origine a; pertanto uno degli estremi dell'intervallo è il numero a, mentre l'altro è $\pm \infty$ (più o meno infinito). Essi non sono numeri reali, quindi sono sempre esclusi dall'intervallo.

L'insieme dei numeri reali è definito dall'intervallo $]-\infty ;+\infty [$.

• L'intervallo aperto illimitato a sinistra contiene tutti i valori maggiori di a. (Fig. 5)
• L'intervallo chiuso illimitato a sinistra contiene tutti i valori maggiori o uguali ad a. (Fig. 6)
• L'intervallo aperto illimitato a destra contiene tutti i valori minori di a. (Fig. 7)
• L'intervallo aperto illimitato a destra contiene tutti i valori minori od uguali ad a. (Fig. 8)

Un intervallo aperto illimitato a sinistra. (Fig. 5)

Un intervallo chiuso illimitato a sinistra. (Fig. 6)

Intervallo aperto illimitato a destra. (Fig. 7)

Intervallo chiuso illimitato a destra. (Fig. 8)

Intorni di un punto

«Dato un numero reale $x_{0}$, un intorno completo di $x_{0}$, è un qualsiasi intervallo $I(x_{0})$ tale che $I(x_{0})=]x_{0}-\delta _{1};x_{0}-\delta _{2}[$»

Quando $\delta _{1}=\delta _{2}$, si parla di intorno completo circolare di $x_{0}$. In particolare, $I^{-}(x_{0})=]x_{0}-\delta [$ è l'intorno sinistro, mentre $I^{+}(x_{0})=]x_{0}+\delta [$ è l'intorno destro di $x_{0}$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L$

Consideriamo la funzione $y=f(x)$, definita nell'insieme D, e studiamo il suo comportamento quando $x$ assume valori prossimi a $x_{0}$, ma non proprio quest'ultimo perché è fuori dall'insieme D.

In base al grafico, possiamo dire che più ci avviciniamo a $x_{0}$, più $f(x)$ si avvicina ad L.

Consideriamo, per esempio, la funzione $y=f(x)={\frac {2x^{2}-6x}{x-3}}$, cui dominio è $D=\mathbb {R} -$ 3

Non avrebbe senso calcolare $f(3)$, perchè la funzione non è definita in quel punto. Nonostante ciò, possiamo sempre studiare il comportamento della funzione vicino al punto $x_{0}$.

Notiamo che la funzione più si avvicina ad $x_{0}$, più si avvicina al valore $L$.

Definizione con gli intorni circolari

Esprimiamo lo stesso concetto in un altro modo: considerato un qualunque intorno circolare di ampiezza $\epsilon$, che indicheremo con $I_{\epsilon }$, esiste sempre un intorno i cui punti x, con $x\neq 3$ , hanno immagine $f(x)$ contenuta in $I_{\epsilon }$.

Nei punti di quell'intorno infatti ci sono quei valori di x che soddisfano la disequazione: $\displaystyle |f(x)-6|<\displaystyle \epsilon$ → $\displaystyle \mid {\frac {2x^{2}-6x}{x-5}}-6\mid \ <\ \epsilon$

Raccogliamo 2x nel numeratore della frazione, ed essendo $x\neq 3$, semplifichiamo:

$\displaystyle \mid {\frac {2x\not {(x-3)}}{\not {x-3}}}-6\mid \ <\ \epsilon \rightarrow |\ 2x-6\mid <\ \epsilon \ \rightarrow \ 2\cdot |x-3|<\epsilon \rightarrow |x-3|<{\frac {\epsilon }{2}}$

Notiamo il caso particolare del valore assoluto, quindi:

$\displaystyle 3-{\frac {\epsilon }{2}}<x<3+{\frac {\epsilon }{2}}$

Le soluzioni della disequazione sono i punti dell'intorno

$\displaystyle I(3)=]3-{\frac {\epsilon }{2}};3+{\frac {\epsilon }{2}}[$

Interpretazione geometrica

Osserviamo il seguente grafico di $y={\frac {2x^{2}-6x}{x-3}}$, che è uguale a quella $y=2x$ per $x\neq 3$, e consideriamo degli intorni di 3 assegnando ad $\epsilon$ alcuni valori sempre più piccoli.

Possiamo notare che i valori di $f(x)$ si trovano sempre più vicini a 6.

Possiamo dunque dire che "per x che tende a 3, $f(x)$ ha limite 6" e scriviamo:

$\lim _{x\rightarrow 3}f(x)=6$

Definizione generale

«La funzione $f(x)$ definita nel dominio D, ha per limite il numero reale il numero $L$ per x che tende a $x_{0}$, qualunque sia il numero reale $\epsilon$ scelto, si avrà un intorno completo di $I$, di $x_{0}$, tale che $|f(x)-l|<\epsilon$»

Limite destro e sinistro

Limite destro

Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo: $\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=L$

Si legge "limite di x che tende a $x_{0}^{+}$ da destra". Significa che x si avvicina a $x_{0}$ ma rimanendo sempre maggiore di $x_{0}$

La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza $|f(x)-l|<\epsilon$ deve essere verificata per ogni intorno appartenente a un intorno destro di $x_{0}$, ossia a un intorno del tipo $]x_{0};x_{0}+\delta [$, che indichiamo con $I^{+}(x_{0})$

Limite sinistro

Analogamente, il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo: $\lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=L$

Si legge "limite di x che tende a $x_{0}^{-}$ da sinistra". Significa che x si avvicina a $x_{0}$ ma rimanendo sempre minore di $x_{0}$

La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza $|f(x)-l|<\epsilon$ deve essere verificata per ogni intorno appartenente a un intorno sinistro di $x_{0}$, ossia a un intorno del tipo $]x_{0}-\delta ;x_{0}[$, che indichiamo con $I^{-}(x_{0})$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\pm \infty$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty$

Se per certi valori di x che si avvicinano ad un certo $x_{0}$, i valori di una funzione cresce sempre di più, si dice che la funzione ha limite $+\infty$.

Definizione

«Limite $+\infty$ per x che tende a $x_{0}$: Sia $f(x)$ una funzione definita in un intervallo $[a;b]$.$f(x)$ tende a $+\infty$ per x che tende a $x_{0}$ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo $I$ di $x_{0}$ tale che: $f(x)>M$ per ogni x appartenente ad $I$ e diverso da $x_{0}$.»

Se $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty$, si dice che la funzione $f$ diverge positivamente.

Interpretazione geometrica

Osserviamo il seguente grafico generico di $y=f(x)$ e consideriamo degli intorni di $x_{0}$ sempre più piccoli, assegnando ad $M$ valori sempre più grandi.

Possiamo notare che i valori di $f(x)$ sono sempre più grandi, fino a raggiungere $+\infty$. Possiamo dunque dire che "per x che tende a $x_{0}$, $f(x)$ ha limite $+\infty$" e scriviamo:

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=-\infty$

Esistono anche funzioni che decrescono sempre di più all'avvicinarsi di x al punto $x_{0}$. In questo caso si dice che la funzione ha limite $-\infty$. per x che tende a $x_{0}$. In generale vale la seguente definizione:

«Limite $-\infty$ per x che tende a $x_{0}$: Sia $f(x)$ una funzione definita in un intervallo $[a;b]$.$f(x)$ tende a $-\infty$ per x che tende a $x_{0}$ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo $I$ di $x_{0}$ tale che: $f(x)<-M$ per ogni x appartenente ad $I$ e diverso da $x_{0}$.»

Se $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=-\infty$, si dice che la funzione $f$ diverge negativamente.