Le funzioni di correlazione illustrate con l'impiego di un correlatore da laboratorio

Il ricevitore in correlazione è un particolare dispositivo progettato per rivelare segnali elettrici inquinati dal rumore.

Il correlatore da laboratorio come sistema ricevente

Per l'introduzione allo studio di particolari comportamenti di un correlatore al variare delle condizioni reciproche dei segnali d'ingresso, indicati come funzioni di correlazione, è mostrata in figura 1 una elementare struttura di laboratorio per la realizzazione di un sistema ricevente in correlazione.

figura 1 Schema a blocchi di un correlatore

Il funzionamento elettrico del ricevitore è descritto, in modo sintetico, in 5 punti:

• Una coppia di segnali elettrici generata da sensori di ricezione è applicata ai due ingressi del ricevitore.
• Uno dei due segnali è ritardato di $\tau$ ( variabile a comando) .
• La coppia dei segnali è applicata a due circuiti di limitazione d'ampiezza per modificare la struttura analogica di questi in segnali logici a due stati.
• La coppia dei segnali limitati viene applicata ad un circuito logico di tipo EXLUSIVE-NOR per la ricerca delle coincidenze dei segni (ricerca dei legami di correlazione).
• L'uscita del nor esclusivo viene applicata da un apposito circuito d'integrazione RC la cui risposta, indicata con $C(\tau )$, segue un caratteristico andamento dipendente dalla quantità del riardo $\tau$. La legge di variazione dell'uscita dell'integratore è indicata come funzione di correlazione.

Le funzioni di correlazione

Gli algoritmi con i quali si studiano i comportamenti delle tensioni d'uscita dei ricevitori in correlazione sono nominati funzioni di correlazione.

Se la variazione del ritardo $\tau$ è fatta a passi discreti, come di fatto può essere realizzata con il circuito di figura 1 la funzione di correlazione corrispondente sarà anch'essa a passi discreti.

Nello studio analitico delle funzioni di correlazione, invece, si assume idealmente che la variazione di $\tau$ sia continua; ciò consente il tracciamento grafico di dette funzioni.

Un algoritmo caratteristico di tali funzioni , studiato per la ricerca della correlazione tra due segnali elettrici mascherati dal rumore, si presenta in modo esplicito con l'espressione:

$C(\tau )={\frac {2}{\pi }}\arcsin {\left[K{\frac {\sin(2\pi DF\tau )}{2\pi DF\tau }}\cos {(2\pi F_{O}\tau )}\right]}$

Dove:

$DF$ = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.

$F_{O}$ = frequenza media della banda.

$K$ = funzione che dipende dal rapporto tra le ampiezze dei segnali $S$ e l’ampiezza del disturbo $N$ secondo l’espressione: $K={\frac {1}{1+({\frac {N}{S}})^{2}}}$

$C(\tau )$, il cui andamento è tracciato in figura 2, mostra come varia la correlazione tra due segnali elettrici al variare del tempo di ritardo $\tau$ di un segnale rispetto all'altro:

figura 2 Curva tipica di $C(\tau )$ tracciata per $N=0$.

Ampiezza e posizione temporale del massimo di $C(\tau )$ indicano la presenza del segnale.

Per rapporti $S/N$ elevati la $C(\tau )$ ha ampiezza elevata e segue il profilo a cuspide della funzione $\arcsin(x)/x$ come in figura 2.

Per rapporti $S/N$ bassi ( ad esempio $S/N=1/2.5$ ) la $C(\tau )$ ha ampiezza bassa e segue il profilo della funzione ${\frac {\sin x}{x}}$ come mostra figura 3.

figura 3 Curva tipica di $C(\tau )$ tracciata per $S/N=1/2.5$.

Per rapporti $S/N<<1/2.5$ il tracciato grafico è difficilmente interpretabile a vista, la valutazione della funzione è delegata ad attività operative o di laboratorio.

La legge che governa l’ampiezza della $C(\tau )$ in funzione del rapporto $S/N$ per $\tau =0$ è:

$C(0)={\frac {2}{\pi }}\cdot \arcsin {\frac {1}{1+({\frac {N}{S}})^{2}}}$

ed è mostrata nel grafico di figura 4:

figura 4 Curva tipica di $C(0)$ in funzione di $S/N$ variabile da $0$ a $1$

Caratteristico il punto per $S/N=1$ con $C(0)=0.3$

Riscontri di laboratorio

I sensori di rilevamento dei segnali elettrici forniscono le tensioni da inviare al ricevitore che, con opportuni livelli di uscita, consente l’individuazione degli stessi mascherati da disturbi a carattere casuale con rapporti segnale/disturbo al limite di rivelazione dell'ordine di :

$S/N\approx 1/10$ .

In figura 5 il comportamento della tensione d'uscita del ricevitore in assenza di segnale e in presenza di solo disturbo per $\tau$ variabile in modo ciclico:

I disturbi sono evidenziati dal ricevitore con un livello di tensione di rumore $N$ che ondula di $\pm \varepsilon$ attorno al livello $0$; dove $\varepsilon$ è la varianza (rumore).

figura 5 Immagine oscilloscopica dell'algoritmo di correlazione $C(\tau )$ realizzato in laboratorio per $S/N=0$.

In figura 6 condizione di segnale presente tra i disturbi con rapporto $S/N=1/2.5$

Il ricevitore ne denuncia la presenza con un livello di tensione normalizzato $C(\tau )\pm \varepsilon$ tale che:

$0<C(\tau )\pm \varepsilon <=1$

dove $\varepsilon$ è la varianza (rumore) che inquina il segnale.

figura 6 Immagine oscilloscopica di $C(\tau )$ realizzata in laboratorio per $S/N=1/2.5$