Le funzioni (scuola media)

La bici funziona in funzione

mountain bike

Pedalate	Metri
1	4,20
2	8,40
3	12,60
4	16,80

«Ehi guardami! Ho una bici fantastica scommetto che con una sola pedalata faccio più di 4 metri!»
È cominciata così, e per convincere i miei amici sono andato con loro domenica pomeriggio al parcheggio, deserto, del supermercato. Ci siamo portati una corda metrica^VK e qualche paletto, per fare da segnaposto, presi in prestito dal papà muratore di uno di loro. Organizzata la pista abbiamo fatto qualche misura^VK ed ottenuto una semplice tabella. Ad una pedalata corrispondono esattamente 4,20 metri^VK, a due pedalate 8,40 metri e a 3 pedalate-12,60 metri e così via.

Disegnando si impara: il grafico

Grafico cartesiano sviluppo bicicletta, rapporto pedalate-metri (rapporto 34-17)

Dalla tabella uno degli amici ha proposto di ricavare un grafico cartesiano. Ad ogni misura corrispondono il numero delle pedalate che si segnano sull'asse orizzontale, in rosso nel grafico, un punto che viene posto all'altezza dei metri percorsi, in blu nel grafico, così facendo con le nostre quattro misure abbiamo ottenuto il grafico, e collegando i punti con un righello e prolungandone il tratto nel piano possiamo facilmente prevedere quanti metri percorreremmo facendo 10 pedalate.

Mettiamoci d'accordo: convenzioni, simbolismo e ruoli

Ecco quindi che lo spazio percorso dipende dal numero delle pedalate e da buoni matematici cerchiamo di generalizzare. Ci sono due grandezze, su una di esse possiamo agire direttamente facendo più pedalate, la seconda varierà di conseguenza percorrendo più metri, la bicicletta é la funzione^VK che trasforma pedalate in spazio percorso. Chiamiamo x^VK la variabile indipendente, elemento dell'insieme dei valori che possiamo scegliere, chiamiamo y^VK la variabile dipendente, valore che ci viene restituito dalla funzione. $y=f(x)$ é la scrittura matematica per indicare una funzione^VK.
Nel nostro caso specifico la funzione può essere espressa con la legge $y=4,20\cdot x$, ma non è una espressione del tutto soddisfacente.

I primi grafici di funzione nel piano cartesiano

Confronto metri percorsi dalla bicicletta in base ai rapporti usati

«La mia bicicletta ha il cambio!»
Per pigrizia e se la strada è in piano non uso il cambio, ma inavvertitamente durante una prova di verifica delle misure prese, ho cambiato e le misure non corrispondevano più alla formula $y=4,20\cdot x$. la curiosità mi spinge ad indagare...
Da cosa dipendono i metri percorsi dalla bicicletta?

• Dalla circonferenza della ruota
• Dal numero di giri che fa ad ogni pedalata
• Dal rapporto usato

Diamoci da fare e misuriamo queste grandezze: la circonferenza della ruota della mia mountain bike è 2,10 metri, e per fare delle prove conto il numero dei denti degli ingranaggi sia delle corone anteriori (44-32-24) che dei pignoni posteriori (14-16-18-20-22-24-28).
Osservo che nella mia prova ho usato la corona media davanti (32 denti) e il secondo pignone (16 denti), quindi scopro che ad ogni pedalata la ruota della bicicletta fa due giri infatti: $32:16=2$.
Ecco allora come posso modificare la mia funzione da $y=4,20\cdot x$ a $y={\frac {32}{16}}\cdot 2,10\cdot x$ che generalizzata diventa $y={\frac {\text{denti corona anteriore}}{\text{denti pignone posteriore}}}\cdot {\text{(ciconferenza ruota)}}\cdot x$.

Rapporto	Funzione
24-28	$y=1,80\cdot x$
32-16	$y=4,20\cdot x$
44-14	$y=6,60\cdot x$

Faccio qualche prova usando i cambi nelle combinazioni: 24-28, 32-16 e 44-14 e misurando lo spazio percorso. Ottengo tabella e grafico qui di fianco, i tre grafici delle funzioni corrispondenti ai diversi rapporti usati sono le tre rette fucsia (24-28), nero (32-16) e verde (44-14), le tre funzioni si possono esprimere con funzioni come in tabella.

Esercizi

1. Sapendo che il numero dei denti delle ruote del cambio anteriori è 24-34-42 e quello degli ingranaggi posteriori è 14-16-18-20-22-24-34. Quante possibile velocità-marce ha la bicicletta. Ricorda che la circonferenza di una ruota da 26 pollici è 2,10 metri. Fai un po' di calcoli compila una tabella pedalate-metri percorsi, trova l'espressione della funzione velocità-marcia e fai il grafico per almeno 3 combinazioni differenti.
2. Attrezzati di qualche amico in bicicletta, andate in un luogo adatto a fare una "pista" possibilmente misurabile in modo evidente in metri, non ci devono essere curve troppo strette. Provate cambiando ciclista e rapporto a cronometrare le vostre prestazioni pedalando lungo la pista e tenendo annotata la distanza percorsa ogni 30 secondi, per 4 o 5 volte fino a 2 o 3 minuti. Riportate in una tabella e su un grafico cartesiano tempo-spazio le prestazioni ottenute. Fate delle previsioni di test non effettuati.

Collegamenti esterni

Misura della circonferenza delle ruote, numero dei denti degli ingranaggi e sviluppo metrico le ho raccolte da:

• http://www.repartosport.it/rs/tabella-sviluppo-metrico-rapporti-ciclismo/
• http://quellidimoscheta.altervista.org/joomla/tecnica/101-centrale-o-rampichino-leterno-dilemma-svelato