Le cellule di ritardo ad m derivato

Le cellule di ritardo ad $m$ derivato sono così chiamate perché “derivate” dalle cellule a k costante mediante complessi procedimenti matematici.

Queste nuove strutture sono costituite da cellule elementari in grado di ritardare, di un tempo $(r)$, un segnale analogico distribuito in ampie gamme di frequenze.

La costanza di $(r)$ in funzione della frequenza è una prerogativa, eccezionalmente favorevole, delle cellule ad $m$ derivato rispetto alle cellule a k costante.

La cellula di ritardo ad $m$ derivato

Una molteplicità di $(n)$ cellule ad $m$ derivato ne realizza una “catena” che è idonea a ritardare per un totale di tempo pari a:

$R=(r)\cdot (n)$.

Se ad esempio una cellula ritarda di $r=10\ \mu s$ con $8$ cellule, collegate a catena ( in serie l’una all'altra), si otterrà un ritardo totale di:

$R=(10\ \mu s)\cdot 8=80\ \mu s$

In una catena di ritardo con cellule ad $m$ derivato si possono disporre, se necessario, prese intermedie per prelevare il segnale a passi di ritardo multipli tra loro.

La cellula elementare di ritardo a $m$ derivato ha una struttura caratteristica che richiede una particolare induttanza di cui andremo a parlare.

Lo schema elettrico di questa cellula è mostrato in figura 1:

figura 1

La struttura della cellula, alimentata da un generatore di corrente, mostra la presenza di un’induttanza $L$ dotata di presa di collegamento intermedia; tra questa presa e la zona di massa è collegato il condensatore $C2,$ gli altri due condensatori, $C1,$ uguali tra loro, sono collegati tra gli estremi di $L$ e massa.

Specificazioni

È opportuno fin d’ora spendere due parole per descrivere l’induttanza $L$ che correda la cellula:

l’induttanza, normalmente con il nucleo in ferrite, è formata da un avvolgimento che presenta un valore in $mH$ ricavato dal calcolo ordinario che caratterizza la cellula; dal valore in $mH$ scaturiscono il numero delle spire totali e delle spire per la presa intermedia.

Un semplice esempio per chiudere l’argomento:

Dati di base

Sia da costruire un’induttanza da $9.87\ mH$ con presa intermedia:

Calcolo del numero delle spire

Se supponiamo d’impiegare un nucleo in ferrite con $\alpha =42$ possiamo calcolare il numero $n$ delle spire e scrivere:

$n=\alpha \cdot {\sqrt {L\ mH}}=42\cdot {\sqrt {9.87\ mH}}\approx 132$ spire con presa intermedia.

Costruzione dell’induttanza

Si avvolgono nel rocchetto $66$ spire, si fuoriesce con un terminale, si prosegue l’avvolgimento fino al completamento delle $132$ spire.

Le fomule di calcolo

Procediamo ora nell'esposizione delle formule di calcolo dei componenti la cellula con riferimento alla struttura di figura 1:

$L=r\cdot R$

$C1=Co/(2\cdot m^{2})$

$C2=Co\cdot (m^{2}{-}1)/m^{2}$

dove:

$Co=r/R$

$m=1.275$

Ed altre variabili fondamentali sono:

$\varphi \approx 358.55\cdot (r)\cdot F$ (sfasamento in gradi di un segnale che percorre la cellula: per il corretto funzionamento della cellula deve essere sempre $\varphi <45$°) dove $F$ è la frequenza più elevata della banda dei segnali applicati alla cellula di ritardo.

$Fc=m/(\pi \cdot r)$ (frequenza critica della cellula, deve essere notevolmente superiore a $F$).

Per frequenze di segnale prossime alla frequenza critica $Fc$ si manifestano sensibili variazioni di $(r)$ in funzione della frequenza.

Chiarimento sulle formule esposte

Simboli che identificano i dati fisici della cellula:

Con il simbolo $L$ il valore dell’induttanza totale, dotata di presa centrale, espressa in Henry.

Con il simbolo $C1$ il valore di ciascuna delle due capacità laterali, espresso in Farad.

Con il simbolo $C2$ il valore della capacità collegata alla presa centrale di $L,$ espresso in Farad.

Con il simbolo $R$ il valore di ciascuna delle due resistenze di terminazione, espresso in Ohm.

Con il simbolo $(r)$ il ritardo, espresso in secondi, da realizzare con la cellula.

Simboli che identificano le variabili di calcolo della cellula:

Con il simbolo $\varphi$ lo sfasamento della cellula espresso in gradi; questa è la variabile che deve essere calcolata prima d’ogni altra per verificare, prima d’iniziare il progetto, la possibilità di realizzare la cellula; deve infatti essere inferiore a $45$°

Con il simbolo $Co$ il valore della capacità di calcolo, espresso in Farad, da utilizzare per il dimensionamento di $C1\ e\ C2.$

Con il simbolo $m$ il coefficiente di calcolo derivato, di valore fisso $m=1.275,$ che ricorre nella computazione di $C1\ e\ C2.$

Con il simbolo $Fc$ la frequenza critica della cellula espressa in Hertz.

Esempio di progetto

Vediamo come applicare le formule indicate per un progetto preliminare di una catena di ritardo ad m derivato:

Dati di base

Sia da progettare una catena di ritardo da 2 cellule in grado di ritardare di $15\ \mu s$ per cellula in una banda di segnali compresa tra $100\ e\ 5000\ Hz.$

La catena deve avere 3 prese intermedie per il prelievo del segnale rispettivamente a ritardo: $(r)=0\ \mu s\ ;\ (r)=15\ \mu s\ ;\ (r)=30\ \mu s$

Si voglia una resistenza di terminazione di $1000\ \Omega .$

Computazione delle variabili di calcolo

S'inizia con la validazione dei dati di progetto mediante il computo della variabile $\varphi$; questo valore di sfasamento deve essere sempre inferiore a $45$° affinché il progetto della cellula possa garantire la dovuta costanza del ritardo in funzione della frequenza:

Dai dati di progetto abbiamo:

$\varphi \approx 358.55\cdot (r)\cdot F=358.55\cdot 15\cdot 10^{-6}\cdot 5000\ Hz=26.89$°

risultando $\varphi <<45$° possiamo ritenere fattibile la catena di ritardo.

Calcolo della frequenza di taglio:

$Fc=m/(\pi \cdot r)=1.275/(3.1416\cdot 15\cdot 10^{-6})=27056\ Hz$ ( come indicato in precedenza soddisfa la relazione $Fc>F$.)

Si calcola ora la variabile $Co:$

$Co=r/R=15\cdot 10^{-6}/1000\ \Omega =15000\ pF$

Computazione dei componenti la cellula

$L=r\cdot R=15\cdot 10^{-6}\cdot 1000\ \Omega =15\ mH$ ( con presa intermedia)

$C1=Co/(2\cdot m^{2})=15000\ pF/(2\cdot 1.275^{2})=4613.6\ pF$

$C2=Co\cdot (m^{2}{-}1)/m^{2}=15000\ pF\cdot (1.275^{2}{-}1)/1.275^{2}=5772.7\ pF$

Formazione della catena di ritardo

La catena di ritardo è formata da due cellule uguali secondo lo schema di figura 2; sono disposte tre prese di ritardo rispettivamente ai punti $p1=0\ \mu s\ ;\ p2=15\ \mu s\ ;\ p3=30\ \mu s.$

Il condensatore $C3,$ nel punto d’unione delle due cellule, vale la somma di due $C1.$

figura 2

I componenti della catena sono:

Due resistenze di terminazione: $R=1000\ \Omega$

Due induttanze con presa al centro:$L=15\ mH$

Due condensatori terminali: $C1=4613.6\ pF$ (arrotondabile a $4613pF\pm 1.25\%$ )

Due condensatori per la presa centrale di $L:C2=5772.77\ pF$ (arrotondabile a $5773\ pF\pm 1.25\%$)

Un condensatore nel punto di connessione tra le cellule: $C3=2\cdot C1=9227.2\ pF$ (arrotondabile a $9227\ pF\pm 1.25\%$ )