Le caratteristiche di selettività dei circuiti risonanti serie

Una delle particolarità più significative dei circuiti risonanti è costituita dal loro comportamento al variare della frequenza.

Facendo ad esempio riferimento al circuito serie, visto nella lezione precedente, questo mostrerà una resistenza molto bassa alla frequenza $Fr$, e una reattanza induttiva che andrà ad aumentare per valori della frequenza superiori ad $Fr$ o capacitiva che andrà ad aumentare per valori della frequenza inferiori ad $Fr.$

L’andamento della legge di variazione citata è rappresentato dalla funzione matematica sotto riportata che esprime l’impedenza $Z$ in funzione della frequenza:

$Z={\sqrt {Rs^{2}+[(\omega \cdot L)-1/(\omega \cdot C)]^{2}}}$

dove:

$L$ = valore dell’induttanza in Henry

$C$ = valore della capacità in Farad

$Rs$ = valore della resistenza in ohm (resistenza che racchiude le perdite totali su $L\ e\ C)$

$\omega =2\cdot \pi \cdot f$ detta pulsazione angolare in cui $f$ è espresso in Hertz.

Per evidenziare l’azione del circuito risonante nell’ambito di un circuito utilizzatore si deve prendere in considerazione la corrente $Is$ che scorre in esso al variare della frequenza mediante l’espressione

$Is=V/Z$

cioè:

$Is=\left({\frac {V}{\sqrt {Rs^{2}+[(\omega \cdot L)-1/(\omega \cdot C)]^{2}}}}\right)$

dove $V$ è la tensione di un generatore a bassissima impedenza ( generatore di tensione).

La curva dell’andamento della $Is$ in funzione della frequenza è controllabile sperimentalmente disponendo un circuito di misura come riportato in figura 1:

figura 1

Lo schema di misura è impostato per controllare come varia $Is$, quindi $Z$, in dipendenza della frequenza.

Il generatore, a frequenza variabile, ha il compito di fornire la tensione alternata, $Vg=0.5\ Veff$, su bassa impedenza $(Zg=1\ \Omega )$ per eseguire la misura, il milliamperometro ha il compito di misurare la corrente circolante nel circuito oscillante.

Un esempio numerico aiuterà a comprendere meglio la procedura di misura; ipotizziamo che il circuito risonante abbia le seguenti caratteristiche:

frequenza di risonanza $Fr=5000\ Hz$

induttanza $L=159\ mH$

capacità $C=6360\ pF$

reattanza induttiva $Xl=5000\ \Omega$

reattanza capacitiva $Xc=5000\ \Omega$

resistenza di perdita $Rs=50\ \Omega$

coefficiente di merito $Q=100$

Per $Vg=0.5\ Veff$, la corrente $Is$ sarà espressa dalla relazione

$Is=\left({\frac {0.5}{\sqrt {50^{2}+[(6.28\cdot f\cdot 0.159)-1/(6.28\cdot f\cdot 6360\cdot 10^{-12})]^{2}}}}\right)$

relazione verificabile mediante il circuito di misura di figura 1 al variare della frequenza in un intervallo di valori compreso tra $4500\ e\ 5500\ Hz.$

La curva teorica dell’andamento di $Is$ è riportata come riscontro alla correttezza delle misure nella curva di figura 2

figura 2

La figura mostra come per $f=Fr=5000\ Hz$ la corrente $Is$ raggiunga il massimo valore pari a

$Is=Vg/Rs=0.5\ Veff./50\ \Omega =10\ mA$

e che per valori di $f$ superiori od inferiori a $5000\ Hz$ la corrente $Is$ decresca rapidamente; quest’andamento, detto selettività del circuito risonante, è tanto più marcato quanto è elevato il $Q$ del circuito ossia quanto più piccole sono le perdite espresse da $Rs$.

Si deve osservare che alla risonanza la corrente $Is$ è:

$Is=Vg/Rs$

essendo $Q=Xc/Rs$

si può scrivere:

$Is=Vg\cdot Q/Xc$

e concludere che la corrente $Is$, che scorre nel circuito serie alla frequenza di risonanza, è proporzionale al valore di $Q$.

È interessante un confronto tra la figura 2, tracciata per $Rs=50\ \Omega \ ,Q=100\ ,Vg=0.5\ Veff$, con la figura 3 nella quale, assieme alla curva di selettività per $Q=100$, sono riportate anche due ipotetiche curve, una per $Q=200,\ Rs=25\ \Omega ,\ Vg=0.25\ Veff.$ e l’altra per $Q=50,\ Rs=100\ \Omega ,\ Vg=1\ Veff.$; si ha modo di osservare come la curva per $Q=200$ è molto più ripida della prima, mentre la curva per $Q=50$è meno ripida della prima.

figura 3