Le Prime Definizioni di Trigonometria e le due Identità Fondamentali (superiori)

Prime definizioni

L’etimologia della parola “trigonometria” dal greco $\tau \rho {\acute {\iota }}\gamma \omega \nu o\nu$ (trígonon triangolo) e $\mu {\acute {\epsilon }}\tau \rho o\nu$ (métron misura) chiarisce in cosa consiste questa parte della matematica che ci accingiamo ad affrontare. La trigonometria nasce dal problema di “risolvere un triangolo”, cioè di ricavare la misura di alcuni suoi elementi incogniti date le misure di altri elementi. Dal momento che gli elementi di un triangolo sono sei, i tre lati e i tre angoli, vedremo come, date le misure di almeno tre di questi elementi di cui almeno uno sia un lato, sia possibile determinare la misura degli altri tre elementi mancanti.

Triangolo rettangolo

Disegniamo un triangolo rettangolo, retto in $A$, avendo cura di indicare con la stessa lettera vertice (maiuscola) e lato opposto (minuscola), come nella figura a fianco. Ricordiamo che tra i lati sussiste la relazione del teorema di Pitagora ${\overline {BC}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {AB}}^{2}$ e che ciascun cateto è minore dell’ipotenusa. Ricordiamo anche che gli angoli acuti sono complementari ${\widehat {C}}+{\widehat {B}}=90{\text{°}}$.

OSSERVAZIONE. Basta conoscere la misura di due lati per determinare la misura del terzo lato, ma queste informazioni non ci permettono di determinare l’ampiezza degli angoli acuti se non in casi particolari. Se conosciamo un angolo acuto e la misura di un lato non possiamo determinare la misura degli altri elementi mancanti.

Riferendoci alla figura, chiamiamo cateto adiacente all’angolo acuto $\beta$ il cateto ${AB}$ indicato con $c$ e cateto opposto all’angolo $\beta$ il cateto ${AC}$ indicato con $b$.

DEFINIZIONE 1. Con riferimento al triangolo in figura si definiscono le grandezze seno di $\beta$, coseno di $\beta$ e tangente di $\beta$ rispettivamente

${\begin{aligned}&\sin(\beta )={\tfrac {{\text{cateto opposto a }}\beta }{\text{ipotenusa}}}={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {CB}}}={\tfrac {b}{a}}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin(\beta )\\&\cos(\beta )={\tfrac {{\text{cateto adiacente a }}\beta }{\text{ipotenusa}}}={\tfrac {\overline {AB}}{\overline {CB}}}={\tfrac {c}{a}}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \cos(\beta )\\&\tan(\beta )={\tfrac {{\text{cateto opposto a }}\beta }{{\text{cateto adiacente a }}\beta }}={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\tfrac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan(\beta ).\end{aligned}}$

DEFINIZIONE 2. In maniera analoga, per l’angolo $\gamma$, complementare di $\beta$ ($\gamma =90{\text{°}}-\beta$):

${\begin{aligned}&\sin(\gamma )={\tfrac {{\text{cateto opposto a }}\gamma }{\text{ipotenusa}}}={\tfrac {\overline {AB}}{\overline {CB}}}={\tfrac {c}{a}}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \sin(\gamma )\\&\cos(\gamma )={\tfrac {{\text{cateto adiacente a }}\gamma }{\text{ipotenusa}}}={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {CB}}}={\tfrac {b}{a}}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \cos(\gamma )\\&\tan(\gamma )={\tfrac {{\text{cateto opposto a }}\gamma }{{\text{cateto adiacente a }}\gamma }}={\tfrac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\tfrac {c}{b}}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \tan(\gamma ).\end{aligned}}$

Le definizioni sono ben poste: le funzioni seno dell’angolo (sen o sin), coseno dell’angolo (cos), tangente dell’angolo (tan o tg) dipendono solo dall’angolo e non dal particolare triangolo rettangolo usato. Infatti angoli acuti della stessa misura appartengono a triangoli rettangoli tutti simili tra loro; dato che i lati di triangoli simili sono in proporzione, il rapporto tra i lati è invariato. Inoltre possiamo certamente affermare che le funzioni seno e coseno di angoli acuti assumono valori positivi minori di 1, poiché in un triangolo rettangolo il cateto è minore dell’ipotenusa.

Dal confronto delle definizioni notiamo che valgono le uguaglianze:

$\sin(\gamma )=\cos(\beta )\qquad \cos(\gamma )=\sin(\beta )\qquad \tan(\gamma )={\tfrac {1}{\tan(\beta )}}$

per cui possiamo anche scrivere:

$\sin(x)=\cos(90{\text{°}}-x)\qquad \cos(x)=\sin(90{\text{°}}-x)\qquad \tan(x)={\tfrac {1}{\tan(90{\text{°}}-x)}}.$

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ESEMPIO 1. Nel triangolo rettangolo $ABC$ i cateti misurano rispettivamente $AB=4{\text{m}}$, $AC=3{\text{m}}$ e l’ipotenusa misura $5{\text{m}}$. Possiamo determinare le funzioni trigonometriche dei suoi angoli acuti semplicemente applicando le definizioni. Si ottiene

$\sin(\beta )={\tfrac {b}{a}}={\tfrac {3}{5}}{\text{,}}\quad \cos(\beta )={\tfrac {c}{a}}={\tfrac {4}{5}}{\text{,}}\quad \tan(\beta )={\tfrac {b}{c}}={\tfrac {3}{4}}.$

Per l’angolo complementare $\gamma$ lasciamo al lettore il completamento:

$\sin(\gamma )=\ldots \ldots {\text{,}}\quad \cos(\gamma )=\ldots \ldots {\text{,}}\quad \tan(\gamma )=\ldots \ldots .$

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OSSERVAZIONE. Ancora non possiamo avere informazioni sull’ampiezza degli angoli acuti; vedremo in seguito come procedere nei calcoli e quindi concludere la risoluzione del triangolo.

Due identità fondamentali

Dalle definizioni date nella sezione precedente otteniamo le seguenti identità fondamentali:

$\tan(\gamma )={\tfrac {a\cdot \sin(\gamma )}{a\cdot \cos(\gamma )}}={\tfrac {\sin(\gamma )}{\cos(\gamma )}}$

cioè la tangente di un angolo è il rapporto tra il seno dell’angolo e il coseno dello stesso angolo. In generale:

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}.$ (*)

Dal teorema di Pitagora si ha $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ da cui, dividendo ambo i membri per $a^{2}$, si ottiene

${\begin{aligned}{\tfrac {a^{2}}{a^{2}}}&={\tfrac {b^{2}+c^{2}}{a^{2}}}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {c^{2}}{a^{2}}}\\\Rightarrow 1&=\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}+\left({\tfrac {c}{a}}\right)^{2}\\\Rightarrow 1&=\left(\cos(\gamma )\right)^{2}+\left(\sin(\gamma )\right)^{2}\\\Rightarrow 1&=\cos ^{2}(\gamma )+\sin ^{2}(\gamma ).\end{aligned}}$

In generale, per qualunque angolo $x$ vale

$\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1.$ (**)

DEFINIZIONE 3. Si definiscono inoltre altre funzioni trigonometriche che potranno servire nella risoluzione dei triangoli, la secante, la cosecante e la cotangente di un angolo $x$, rispettivamente:

$\sec(x)={\tfrac {1}{\cos(x)}}\qquad \csc(x)={\tfrac {1}{\sin(x)}}\qquad \cot(x)={\tfrac {1}{\tan(x)}}.$}} }}

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ESEMPIO 2. In un triangolo rettangolo si sa che $\cos(\beta )={\tfrac {3}{4}}$, determinare $\sin(\beta )$ e $\tan(\beta )$.

Strategia risolutiva:  ricordando che per qualunque angolo $x$ vale la (**) possiamo sostituire il dato e calcolare $\sin(\beta )={\sqrt {1-\cos ^{2}(\beta )}}={\sqrt {1-{\tfrac {9}{16}}}}={\tfrac {\sqrt {7}}{4}}$. Infine, sapendo che per ogni angolo vale la (*), cioè $\tan(x)={\tfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}$, ricaviamo:

$\tan(\beta )={\cfrac {\tfrac {\sqrt {7}}{4}}{\tfrac {3}{4}}}={\tfrac {\sqrt {7}}{3}}.$

Osserviamo che nella determinazione di $\sin(\beta )$ abbiamo trascurato il valore negativo in quanto abbiamo definito le funzioni goniometriche come rapporto delle misure di due segmenti.

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