Le Funzioni Circolari (superiori)

Nel riferimento cartesiano ortogonale è assegnato il vettore ${\vec {u}}$ di modulo unitario $\left(\left|{\vec {u}}\right|=1\right)$, applicato nell’origine del riferimento e con direzione e verso coincidenti con quelle dell’asse $x$. Il suo estremo libero è il punto $B(1;0)$.

Funzioni circolari

Facciamo ruotare ${\vec {u}}$ intorno all’origine in senso antiorario finché torna ad occupare la posizione iniziale, cioè quando ha compiuto una rotazione di $360{\text{°}}$. Muovendosi con continuità, l’estremo $B$ descrive la circonferenza con centro nell’origine, quella tratteggiata nella figura a fianco; le componenti del vettore cambiano con continuità e dipendono dall’angolo che, per ogni posizione, il vettore stesso forma con l’asse delle $x$. Ad esempio, quando ${\vec {u}}$ ha descritto nella rotazione un angolo di $90{\text{°}}$, l’estremo $B$ si trova in $B_{1}(0;1)$; quando ${\vec {u}}$ ha descritto nella rotazione un angolo di $180{\text{°}}$, l’estremo $B$ si trova in $B_{2}(-1;0)$; quando ${\vec {u}}$ ha descritto nella rotazione un angolo di $270{\text{°}}$, l’estremo $B$ si trova in $B_{3}(0;-1)$; e dopo una rotazione completa ($360{\text{°}}$) torna a coincidere con la posizione iniziale $B_{4}{\equiv }B(1;0)$.

DEFINIZIONE 1. La componente orizzontale $u_{x}$ del vettore unitario inclinato dell’angolo $\alpha$ rispetto all’asse $x$, si chiama coseno dell’angolo $\alpha$, in simboli $u_{x}=\cos(\alpha )$. Chiamiamo seno dell’angolo ${\alpha }$ la componente verticale $u_{y}$ del vettore unitario inclinato dell’angolo ${\alpha }$ rispetto all’asse $x$, in simboli $u_{y}=\sin(\alpha )$. Scriviamo ${\vec {u}}=(\cos(\alpha );\sin(\alpha ))$ o anche $B(\cos(\alpha );\sin(\alpha ))$.

Confrontando questa definizione con quanto descritto sopra possiamo innanzitutto affermare che seno e coseno di un angolo sono numeri reali positivi, negativi o nulli a seconda dell’angolo formato dal vettore e quindi della posizione del punto $B$ sulla circonferenza:

• se $\alpha =0{\text{°}}\Rightarrow B(1;0)\Rightarrow {\vec {u}}=(\cos(0{\text{°}});\sin(0{\text{°}}))\Rightarrow \cos(0{\text{°}})=1$ e $\sin(0{\text{°}})=0$;
• se $\alpha =90{\text{°}}\Rightarrow B(0;1)\Rightarrow {\vec {u}}=(\cos(90{\text{°}});\sin(90{\text{°}}))\Rightarrow \cos(90{\text{°}})=0$ e $\sin(90{\text{°}})=1$;
• se $\alpha =180{\text{°}}\Rightarrow B(-1;0)\Rightarrow {\vec {u}}=(\cos(180{\text{°}});\sin(180{\text{°}}))\Rightarrow \cos(180{\text{°}})=-1$ e $\sin(180{\text{°}})=0$;
• se $\alpha =270{\text{°}}\Rightarrow B(0;-1)\Rightarrow {\vec {u}}=(\cos(270{\text{°}});\sin(270{\text{°}}))\Rightarrow \cos(270{\text{°}})=0$ e $\sin(270{\text{°}})=-1$;
• se $\alpha =360{\text{°}}\Rightarrow B(1;0)\Rightarrow {\vec {u}}=(\cos(360{\text{°}})$;$\sin(360{\text{°}}))\Rightarrow \cos(360{\text{°}})=1$ e $\sin(360{\text{°}})=0$.

Per alcuni valori intermedi dell’angolo è possibile calcolare i relativi valori di seno e coseno usando metodi geometrici, per altri valori si può far uso della calcolatrice scientifica. Comunque, dai risultati sopra ottenuti, soprattutto riguardando la figura, possiamo affermare che qualunque sia l’angolo $\alpha$ sono sempre verificate le disuguaglianze: $-1\leq \sin(\alpha )\leq 1$ e $-1\leq \cos(\alpha )\leq 1$.

Ci proponiamo ora di tracciare il grafico della funzione $y=\sin(x)$. A questo scopo fermiamo la rotazione del vettore unitario ogni $30{\text{°}}$ (completate il disegno) e segniamo sulla circonferenza i punti $B_{0}$, $B_{1}$, $B_{2}$, ecc.

Funzioni circolari

Accanto alla rotazione del vettore unitario abbiamo tracciato un riferimento cartesiano dove sull’asse $x$ riportiamo le misure in gradi degli angoli descritti dal vettore unitario e sull’asse $y$ i valori assunti da $\sin(x)$, cioè dall’ordinata dell’estremo libero del vettore unitario che ruota in senso antiorario.

Per ogni angolo $x$ descritto riporteremo nel riferimento cartesiano $\sin(x)$. Il punto $B_{0}$ ha ordinata nulla dunque il primo punto che dobbiamo segnare nel riferimento cartesiano per costruire il grafico di $y=\sin(x)$ è l’origine; per segnare il punto di coordinate $P_{1}(30{\text{°}}$; $\sin(30{\text{°}}))$, da $B_{1}$ tracciamo la parallela all’asse $x$ fino ad incontrare la parallela all’asse $y$ tracciata da $30{\text{°}}$. Proseguite in questo modo per tutti gli altri punti $B_{i}$ della circonferenza per determinare i rispettivi punti $P_{i}$. Unendo i punti $P_{i}$ trovati si ha il grafico della funzione $y=\sin(x)$.

Noi l’abbiamo tracciato con GeoGebra. Notiamo che il valore massimo $1$ si ha per l’angolo di $90{\text{°}}$ mentre il minimo $-1$ si ha per l’angolo di $270{\text{°}}$. Se il vettore unitario dopo un giro completo ricominciasse nuovamente a ruotare in senso antiorario (positivo), descrivendo angoli maggiori di $360{\text{°}}$, il grafico si ripeterebbe identico al tratto compreso tra $0{\text{°}}$ e $360{\text{°}}$. Per questo motivo diciamo che la funzione $y=\sin(x)$ ha un andamento periodico.

La funzione seno

Abbiamo tracciato anche il grafico della funzione $y=\cos(x)$; sfruttando quanto fatto all’inizio del paragrafo; lasciamo al lettore di segnare sul grafico i valori dell’angolo per cui il coseno è nullo, il valore per cui il coseno assume il valore minimo $-1$, il punto del grafico di ascissa $=360{\text{°}}$. Per lo stesso discorso fatto sopra possiamo dire che la funzione $y=\cos(x)$ ha un andamento periodico.

La funzione coseno