Le Funzioni Circolari (superiori)

Nel riferimento cartesiano ortogonale è assegnato il vettore di modulo unitario , applicato nell’origine del riferimento e con direzione e verso coincidenti con quelle dell’asse . Il suo estremo libero è il punto .

lezione
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Le Funzioni Circolari (superiori)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica per le superiori 5
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%
Funzioni circolari
Funzioni circolari

Facciamo ruotare intorno all’origine in senso antiorario finché torna ad occupare la posizione iniziale, cioè quando ha compiuto una rotazione di . Muovendosi con continuità, l’estremo descrive la circonferenza con centro nell’origine, quella tratteggiata nella figura a fianco; le componenti del vettore cambiano con continuità e dipendono dall’angolo che, per ogni posizione, il vettore stesso forma con l’asse delle . Ad esempio, quando ha descritto nella rotazione un angolo di , l’estremo si trova in ; quando ha descritto nella rotazione un angolo di , l’estremo si trova in ; quando ha descritto nella rotazione un angolo di , l’estremo si trova in ; e dopo una rotazione completa () torna a coincidere con la posizione iniziale .

DEFINIZIONE 1. La componente orizzontale del vettore unitario inclinato dell’angolo rispetto all’asse , si chiama coseno dell’angolo , in simboli . Chiamiamo seno dell’angolo la componente verticale del vettore unitario inclinato dell’angolo rispetto all’asse , in simboli . Scriviamo o anche .

Confrontando questa definizione con quanto descritto sopra possiamo innanzitutto affermare che seno e coseno di un angolo sono numeri reali positivi, negativi o nulli a seconda dell’angolo formato dal vettore e quindi della posizione del punto sulla circonferenza:

  • se e ;
  • se e ;
  • se e ;
  • se e ;
  • se ; e .

Per alcuni valori intermedi dell’angolo è possibile calcolare i relativi valori di seno e coseno usando metodi geometrici, per altri valori si può far uso della calcolatrice scientifica. Comunque, dai risultati sopra ottenuti, soprattutto riguardando la figura, possiamo affermare che qualunque sia l’angolo sono sempre verificate le disuguaglianze: e .

Ci proponiamo ora di tracciare il grafico della funzione . A questo scopo fermiamo la rotazione del vettore unitario ogni (completate il disegno) e segniamo sulla circonferenza i punti , , , ecc.

Funzioni circolari
Funzioni circolari

Accanto alla rotazione del vettore unitario abbiamo tracciato un riferimento cartesiano dove sull’asse riportiamo le misure in gradi degli angoli descritti dal vettore unitario e sull’asse i valori assunti da , cioè dall’ordinata dell’estremo libero del vettore unitario che ruota in senso antiorario.

Per ogni angolo descritto riporteremo nel riferimento cartesiano . Il punto ha ordinata nulla dunque il primo punto che dobbiamo segnare nel riferimento cartesiano per costruire il grafico di è l’origine; per segnare il punto di coordinate ; , da tracciamo la parallela all’asse fino ad incontrare la parallela all’asse tracciata da . Proseguite in questo modo per tutti gli altri punti della circonferenza per determinare i rispettivi punti . Unendo i punti trovati si ha il grafico della funzione .

Noi l’abbiamo tracciato con GeoGebra[1]. Notiamo che il valore massimo si ha per l’angolo di mentre il minimo si ha per l’angolo di . Se il vettore unitario dopo un giro completo ricominciasse nuovamente a ruotare in senso antiorario (positivo), descrivendo angoli maggiori di , il grafico si ripeterebbe identico al tratto compreso tra e . Per questo motivo diciamo che la funzione ha un andamento periodico.

La funzione seno
La funzione seno

Abbiamo tracciato anche il grafico della funzione ; sfruttando quanto fatto all’inizio del paragrafo; lasciamo al lettore di segnare sul grafico i valori dell’angolo per cui il coseno è nullo, il valore per cui il coseno assume il valore minimo , il punto del grafico di ascissa . Per lo stesso discorso fatto sopra possiamo dire che la funzione ha un andamento periodico.

La funzione coseno
La funzione coseno
  1. un particolare software di matematica dinamica per la didattica (http://www.geogebra.org).