Le Equazioni di Primo Grado (superiori)

Identità ed equazioni

Analizziamo le seguenti proposizioni:

1. “cinque è uguale alla differenza tra sette e due”;
2. “la somma di quattro e due è uguale a otto”;
3. “il doppio di un numero naturale è uguale alla differenza tra nove e il numero stesso”;
4. “la somma di due numeri interi è uguale a dieci”.

Notiamo che sono tutte costruite con il predicato “essere uguale a”. Riscriviamo in formula ciascuna di esse:

1. $5=7-2$;
2. $4+2=8$;
3. $2x=9-x$;
4. $x+y=10$.

Notiamo che le prime due contengono solamente numeri, le seconde contengono anche variabili (lettere).

Le formule del primo tipo si dicono chiuse e di esse si può subito stabilire se sono vere o false; così in $\mathbb {N}$ la formula $5=7-2$ è vera, mentre $4+2=8$ è falsa.

DEFINIZIONE 1. Le formule chiuse costruite con il predicato <<essere uguale>> si chiamano uguaglianze; definito l’ambiente in cui vengono enunciate si può immediatamente stabilire il loro valore di verità.

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ESEMPIO 1. La formula chiusa $1-6=-5$ è un’uguaglianza vera se la consideriamo nell’insieme $\mathbb {Z}$ degli interi relativi, è falsa se la vediamo come sottrazione tra numeri naturali.

Le formule 3. e 4. che contengono variabili si dicono aperte; le variabili che compaiono sono chiamate incognite. Di tali formule non si può subito stabilire il valore di verità.

Quando alle incognite sostituiamo un numero, queste si trasformano in formule chiuse e allora possiamo stabilirne il valore di verità relativamente alla sostituzione effettuata.

ESEMPIO 2. Nella formula $2x=9-x$ sostituiamo alla variabile $x$ il valore $0$; quindi otteniamo: $2\cdot 0=9-0\Rightarrow 0=9$, falsa.

Sostituiamo ora alla variabile $x$ il valore $3$; otteniamo $2\cdot 3=9-3\Rightarrow 6=6$, vera.

ESEMPIO 3. Nella formula $x+y=10$ sostituiamo alle variabili coppie di numeri interi come $x=2$ e $y=5$; otteniamo $2+5=10\Rightarrow 7=10$, falsa. Se sostituiamo $x=4$ e $y=6$ ci rendiamo subito conto che l’uguaglianza ottenuta è vera. Esistono molte altre coppie di numeri interi che rendono vera l’uguaglianza.

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DEFINIZIONE 2. Le formule aperte costruite con il predicato essere uguale si chiamano equazioni; le due espressioni che compaiono a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano rispettivamente primo membro e secondo membro.

L’insieme dei valori che sostituiti alle incognite trasformano l’equazione in un’uguaglianza vera costituisce l’insieme soluzione (${\text{I.S.}}$) o più semplicemente la soluzione dell’equazione.

Affronteremo per ora equazioni in una sola incognita che, dopo aver svolto eventuali calcoli nei due membri, comparirà a grado 1 e i cui coefficienti sono numeri razionali. Cercheremo la sua soluzione nell’insieme $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali, salvo esplicita indicazione differente.

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ESEMPIO 4. Cercare le soluzioni nell’insieme indicato.

1. $x^{2}=1{\text{ con }}x\in \mathbb {N} .$ Risulta vera solo se a $x$ sostituiamo il valore 1; infatti 1 è l’unico numero naturale il cui quadrato è 1. L’insieme soluzione è $\{1\}$.
2. $x^{2}=1{\text{ con }}x\in \mathbb {Z}$. Risulta vera se a $x$ sostituiamo il valore 1 oppure il valore $-1$; infatti sia $-1$ che 1 elevati al quadrato danno 1. L’insieme soluzione è $\{-1{\text{, }}1\}$.
3. $x^{2}+1=0{\text{ con }}x\in \mathbb {R}$. Essendo la formula a sinistra dell’uguale la somma di un quadrato con il numero 1, si ottiene sempre un numero $\geq 1$ e non si può ottenere $0$, pertanto è impossibile trovare una soluzione, ovvero l’insieme soluzione è $\emptyset$.
4. $2x+3=(3+x)+x{\text{ con }}x\in \mathbb {Q}$. Eseguendo il semplice calcolo al secondo membro, ci rendiamo conto che qualunque valore venga sostituito all’incognita l’uguaglianza risulta vera. L’insieme soluzione è $\mathbb {Q}$.

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In generale un’equazione in una incognita può essere:

1. determinata, quando l’insieme soluzione è un sottoinsieme proprio dell’insieme numerico considerato;
2. impossibile, quando l’insieme soluzione è l’insieme vuoto $\emptyset$;
3. indeterminata o identità, quando l’insieme soluzione coincide con l’insieme considerato.

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ESEMPIO 5. Analizziamo le equazioni:

1. $3\cdot x=0;\qquad$ 2. $0\cdot x=5;\qquad$ 3. $0\cdot x=0.$

Tutte e tre hanno la stessa struttura: il primo membro è il prodotto di un coefficiente numerico per un valore incognito, il secondo membro è un numero.

1. Per trovare l’insieme soluzione della prima equazione cerchiamo in $\mathbb {Q}$ il numero che moltiplicato per 3 dà come prodotto 0. L’unico numero che rende vera l’uguaglianza è zero. Quindi l’insieme delle soluzioni è $\{0\}$. L’equazione è determinata.
2. Per trovare l’insieme soluzione della seconda equazione cerchiamo in $\mathbb {Q}$ il numero che moltiplicato per 0 dà come prodotto 5. Per la proprietà della moltiplicazione quando moltiplichiamo per 0 il prodotto è 0, non otterremo mai 5. Quindi l’insieme soluzione è l’insieme vuoto $\emptyset$. L’equazione è impossibile.
3. Per trovare l’insieme soluzione della terza equazione cerchiamo in $\mathbb {Q}$ il numero che moltiplicato per zero dà come prodotto zero. Per la proprietà della moltiplicazione quando moltiplichiamo per 0 il prodotto è 0 qualunque sia l’altro fattore. Quindi l’insieme delle soluzioni è $\mathbb {Q}$. L’equazione è indeterminata.

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In alcuni casi la soluzione di un’equazione si può trovare applicando semplicemente le proprietà delle operazioni.

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ESEMPIO 6. Analizziamo lo schema operativo dell’equazione $3x-1=17{\text{ con }}x\in \mathbb {N}$.

Si opera sul valore incognito $x$ per ottenere 17:

${\text{entra }}x,{\text{ si moltiplica per tre}}\to 3\cdot x{\text{ si sottrae }}1\to 3\cdot x-1{\text{ si ottiene }}17.$

Qual è il valore in ingresso?

Per determinare il valore in ingresso basterà ripercorrere lo schema effettuando le operazioni inverse:

${\text{ da }}17{\text{ aggiungi }}1\to 18{\text{ dividi per tre }}\to 18:3\to x.$

La soluzione dell’equazione è $x=6$ e ${\text{I.S.}}$ (insieme soluzione) è $\{6\}$.

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Per risolvere un’equazione più complessa come $\left({\tfrac {1}{2}}x+3\right)\cdot (-5+x)=12x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}$ con $x\in \mathbb {Q}$, non possiamo applicare il procedimento precedente; potremmo procedere per tentativi, sostituendo all’incognita alcuni valori scelti a caso e verificando se il valore assunto dal primo membro risulta uguale a quello assunto dal secondo membro. È evidente però che questo procedimento raramente porterà a trovare tutte le soluzioni di un’equazione.

OSSERVAZIONE. Per risolvere un’equazione, cioè per determinare tutte le eventuali soluzioni, si procede applicando i principi d’equivalenza.

Principi di equivalenza

DEFINIZIONE 3. Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme soluzione.

Primo principio di equivalenza:  Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione data uno stesso numero o una stessa espressione (definita per ogni valore dell’incognita) si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Secondo principio di equivalenza:  Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per uno stesso numero non nullo o per un’espressione non nulla (definita per ogni valore attribuito all’incognita) si ottiene un’equazione equivalente alla data.

La forma più semplice (forma canonica) di un’equazione di primo grado in un’incognita è del tipo: $x={\text{ numero}}.$

L’insieme soluzione di una equazione di questo tipo è semplicemente: ${\text{I.S.}}=\{{\text{numero}}\}.$

Per esempio, l’insieme delle soluzioni dell’equazione $x=-3$ è ${\text{I.S.}}=\{-3\}$.

I principi sopra enunciati permettono di trasformare qualunque equazione nella forma canonica che ha lo stesso insieme soluzione di quella assegnata.

Equazioni intere

In questo paragrafo vedremo come usare i principi d’equivalenza prima enunciati per condurre un’equazione alla forma canonica e dunque determinarne la soluzione.

DEFINIZIONE 4. Risolvere un’equazione significa determinare il suo Insieme Soluzione.

Cominciamo con alcuni esempi.

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ESEMPIO 7. Applicazione del 1 principio di equivalenza.

1. $x-5=3$: aggiungiamo 5 a entrambi i membri: $x-5+5=3+5\Rightarrow x=8$, ${\text{I.S.}}=\{8\}.$
2. $3x=2+2x$: sottraiamo $2x$ a entrambi i membri: $3x-2x=2+2x-2x\Rightarrow x=2$, ${\text{I.S.}}=\{2\}$.

ESEMPIO 8. Applicazione del 2 principio di equivalenza.

1. $3x=12$ dividiamo entrambi i membri per 3, si ha ${\tfrac {3}{3}}x={\tfrac {12}{3}}\quad \Rightarrow \quad x=4\quad \to \quad {\text{I.S.}}=\{4\}.$
2. ${\tfrac {1}{2}}x=2$ moltiplichiamo entrambi i membri per 2, si ha $2\cdot {\tfrac {1}{2}}x=2\cdot 2\quad \Rightarrow \quad x=4\quad \to \quad {\text{I.S.}}=\{4\}.$

ESEMPIO 9. $-2x+1=3x-5$.

1. Sottraiamo 1 a entrambi i membri $-2x+1-1=3x-5-1$ quindi $-2x=3x-6$;
2. sottraiamo $3x$ a entrambi i membri $-2x-3x=3x-3x-6$ quindi $-5x=-6$;
3. dividiamo entrambi i membri per $-5$: ${\tfrac {-5}{-5}}x={\tfrac {-6}{-5}}\quad \Rightarrow \quad x={\tfrac {6}{5}}\quad \rightarrow \quad {\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {6}{5}}\right\}.$

ESEMPIO 10. $(x+1)+3\cdot (2+x)=12x-1$.

1. Svolgiamo i calcoli al primo e al secondo membro: $x+1+6+3x=12x-1$;
2. sommiamo in ciascun membro i termini simili (se ce ne sono): $4x+7=12x-1$;
3. sottraiamo ad ambo i membri il monomio $12x$, applicando il primo principio: $4x-12x+7=12x-1-12x$, sommiamo i monomi simili al primo e al secondo membro e otteniamo $-8x+7=-1$
4. sottraiamo ad ambo i membri il numero 7, applicando il primo principio e sommiamo i termini simili: $-8x+7-7=-1-7\quad \Rightarrow \quad -8x=-8$;
5. dividiamo ambo i membri per $-8$, applicando il secondo principio: ${\tfrac {-8}{-8}}x={\tfrac {-8}{-8}}\quad \Rightarrow \quad x=1$.

L’equazione assegnata $(x+1)+3\cdot (2+x)=12x-1$ risulta equivalente all’ultima trovata $x=1$, pertanto il suo insieme soluzione è ${\text{I.S.}}=\{1\}$.

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OSSERVAZIONE. La trasformazione di un’equazione nella forma canonica prevede che il termine con l’incognita sia collocato da una parte del segno uguale mentre dall’altra parte sia posto il termine numerico.

Enunciamo alcune regole pratiche che ci possono aiutare nella procedura risolutiva e che discendono direttamente dal primo principio d’equivalenza.

1. Spostando da un membro all’altro un addendo occorre cambiargli il segno; l’equazione ottenuta è equivalente a quella data.

   $2x-3=2$, per lasciare da sola la $x$ al primo membro devo aggiungere $+3$ al primo e al secondo membro, ottengo $2x-3+3=2+3$ da cui $2x=2+3$.

   L’effetto che si ha è che si è spostato il $-3$ al secondo membro cambiandolo di segno ($+3$).

2. Se in entrambi i membri dell’equazione compare uno stesso addendo con lo stesso segno, esso può essere cancellato da entrambi i membri: l’equazione che si ottiene è equivalente a quella data.

   Infatti: $2x-3+x=2+x$. La $x$ che sta al secondo membro va portata al primo, cambiandola di segno $2x-3+x-x=2$ da cui $2x-3=2$.

   L’effetto che si ha è che si possono eliminare le due $x$ che stanno una al primo membro e una al secondo membro.

3. Se il coefficiente dell’incognita è $-1$, l’equazione si presenta nella forma $-x=n$, si può cambiare di segno ai termini del primo e del secondo membro, per ottenere la forma $x=-n$ che è equivalente a quella data.

   Cambiare di segno equivale a moltiplicare per $-1$ i due membri dell’equazione.

   Infatti: $x-3=2x+1$. Dobbiamo portare $2x$ al primo membro e $-3$ al secondo membro, otteniamo $x-2x=3+1$ da cui $-x=4$.

   Poiché il coefficiente della $x$ è negativo moltiplichiamo per $-1$ primo e secondo membro $-1\cdot (-x)=-1\cdot (4)$ da cui $x=-4$.

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ESEMPIO 11. Risolvi l’equazione $5x+2\cdot (3-x)+1=-(4x-1)+2\cdot (6-x)$ applicando le regole pratiche sopra descritte.

1. svolgiamo i calcoli: $5x+6-2x+1=-4x+1+12-2x$;
2. eliminiamo i termini uguali che compaiono nei due membri: $5x+6{\cancel {-2x}}{\cancel {+1}}=-4x{\cancel {+1}}+12{\cancel {-2x}}\quad \Rightarrow \quad 5x+6=-4x+12;$
3. spostiamo il monomio $-4x$ del secondo membro a sinistra del segno uguale e il numero $+6$ da sinistra a destra, ottenendo: $5x+4x=-6+12$;
4. sommando i termini simili nei due membri, otteniamo $9x=+6$ da cui, dividendo per 9 ambo i membri, si ottiene $x={\tfrac {2}{3}}\quad \to \quad {\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {2}{3}}\right\}.$

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Equazioni in cui l’incognita compare con grado maggiore di uno

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ESEMPIO 12. $(2x+1)\cdot (x-2)=2\cdot (x+1)^{2}-5x$.

Prima di iniziare la procedura risolutiva analizziamo i membri dell’equazione: al primo membro compare il prodotto di due polinomi di primo grado, nel secondo il quadrato di un binomio di primo grado, pertanto l’incognita comparirà a grado due. Apparentemente l’equazione è di secondo grado. Iniziamo la procedura risolutiva:

1. svolgiamo i calcoli e otteniamo: $2x^{2}-4x+x-2=2x^{2}+4x+2-5x\Rightarrow 2x^{2}-3x-2=2x^{2}-x+2;$
2. applichiamo le regole pratiche eliminando i monomi uguali con l’incognita al secondo grado e otteniamo $-3x+x=+2+2$.

Abbiamo ottenuto un’equazione di primo grado; puoi procedere da solo e determinare la forma canonica e l’${\text{I.S.}}$.

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Equazioni in cui l’incognita scompare

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ESEMPIO 13. ${\tfrac {4}{5}}-{\tfrac {x}{2}}={\tfrac {2-5x}{10}}$.

1. Calcoliamo il ${\text{mcm}}$ tra i denominatori: in questo caso ${\text{mcm}}(5{\text{, }}2{\text{, }}10)=10$;
2. moltiplichiamo per 10 ambo i membri dell’equazione: $10\left({\tfrac {4}{5}}-{\tfrac {x}{2}}\right)=10\left({\tfrac {2-5x}{10}}\right)$;
3. eseguiamo i calcoli: $8-5x=2-5x$;
4. applichiamo la regola pratica: $-5x+5x=2-8$ i monomi in $x$ si annullano!
5. sommando i monomi simili si ottiene: $0\cdot x=-6$.

Il coefficiente dell’incognita è zero; non possiamo applicare il secondo principio e dividere ambo i membri per zero. D’altra parte non esiste nessun numero che moltiplicato per zero dia come prodotto $-6$. Quindi ${\text{I.S.}}=\emptyset$, l’equazione risulta impossibile.

ESEMPIO 14. ${\tfrac {x}{6}}-{\tfrac {2x}{3}}=-{\tfrac {x}{2}}$.

1. Calcoliamo il ${\text{mcm}}$ tra i denominatori: in questo caso ${\text{mcm}}(6{\text{, }}3{\text{, }}2)=6$.
2. moltiplichiamo per 6 ambo i membri dell’equazione: $6\left({\tfrac {x}{6}}-{\tfrac {2x}{3}}\right)=6\left(-{\tfrac {x}{2}}\right)$;
3. eseguiamo i calcoli: $x-4x=-3x$;
4. applicando il primo principio si ottiene $0\cdot x=0$.

Il coefficiente dell’incognita è zero; non possiamo applicare il secondo principio e dividere ambo i membri per zero. D’altra parte per la proprietà della moltiplicazione qualunque numero moltiplicato per zero dà come prodotto zero. Quindi ${\text{I.S.}}=\mathbb {Q}$, l’equazione è indeterminata (identità).

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Equazioni a coefficienti frazionari

Vediamo, illustrando qualche esempio, come si procede.

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ESEMPIO 15. ${\tfrac {2}{3}}x+4-{\tfrac {1}{2}}+2x={\tfrac {x+2}{3}}-{\tfrac {5}{2}}x+1$.

Sappiamo che il secondo principio d’equivalenza ci permette di moltiplicare ambo i membri per uno stesso numero diverso da zero per ottenere un’equazione equivalente alla data.

1. Calcoliamo il ${\text{mcm}}$ tra i denominatori: in questo caso ${\text{mcm}}(2{\text{, }}3)=6$;
2. moltiplichiamo per 6 ambo i membri dell’equazione: $6\left({\tfrac {2}{3}}x+4-{\tfrac {1}{2}}+2x\right)=6\left({\tfrac {x+2}{3}}-{\tfrac {5}{2}}x+1\right);$
3. eseguiamo i calcoli: $4x+24-3+12x=2x+4-15x+6$.

I coefficienti dell’equazione sono ora numeri interi, puoi procedere da solo come abbiamo visto negli esempi precedenti. Il risultato è $x=-{\tfrac {11}{29}}$.

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Riassumendo, quando si ha un’equazione del tipo $A\cdot x=B$ con $A$ e $B$ numeri razionali è la forma canonica dell’equazione di primo grado in una incognita a coefficienti numerici. Possono presentarsi i seguenti casi:

• se $A\neq 0$ possiamo applicare il secondo principio d’equivalenza dividendo ambo i membri per $A$ quindi ${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {B}{A}}\right\}$. L’equazione è determinata.
• se $A=0$ non possiamo applicare il secondo principio d’equivalenza e dividere ambo i membri per $A$ e si presentano due casi:
  • $B=0$ allora ${\text{I.S.}}=\mathbb {Q}$. L’equazione è indeterminata.
  • $B\neq 0$ allora ${\text{I.S.}}=\emptyset$. L’equazione è impossibile.

Lo schema precedente si può rappresentare anche con un grafo ad albero:

Equazione di primo grado a una incognita