La tensione

Introduzione

Consideriamo un generico corpo ${\mathcal {C}}$: esso è, in generale, sottoposto a tre tipi fondamentali di forze:

• le forze di volume, come la forza peso, esercitate dall'ambiente sull'intero volume del corpo;
• le forze di superficie, che si esplicano nella frontiera, e cioè lungo la superficie di contatto tra il corpo e l'ambiente;
• le forze di contatto interne o tensioni, generate da una parte del corpo ed esercitate su di un'altra dello stesso.

Rappresentazione delle forze interne in un continuo

Per comprendere meglio il significato di questo concetto supponiamo di tagliare idealmente il corpo ${\mathcal {C}}$ per mezzo di un piano $\pi$, identificato per mezzo della sua normale $\mathbf {n}$, il cui verso è scelto arbitrariamente. In seguito a questa operazione il corpo sarà distinto in due porzioni: quella dal lato in cui si è assunto $\mathbf {n}$ positivo ${\mathcal {C^{+}}}$, l'altra ${\mathcal {C^{-}}}$. Perché sia mantenuto l'equilibrio del sistema in seguito al "taglio", evidentemente è necessario che in corrispondenza del piano $\pi$ nascano delle forze che le due porzioni ora distinte del corpo devono esercitare mutuamente.

Formulazione del concetto di tensione

Tale relazione è formulata in maniera classica dal principio delle sezioni di Eulero in combinazione con il principio della tensione di Cauchy. Infatti il principio delle sezioni di Eulero afferma che l'azione che attraverso un'area $\Delta S$ n nell'intorno di un punto $P$ appartenente al piano $\pi$, la parte ${\mathcal {C^{+}}}$ esercita su ${\mathcal {C^{-}}}$, equivale ad un campo di forze $R_{(A)}$ e di coppie di sforzo $M_{(A)}$ (figura accanto). Per il principio della tensione di Cauchy inoltre, si richiede che le funzioni vettoriali $R_{(A)}$ e $M_{(A)}$ammettano limite finito al tendere dell'intorno $\Delta S$ a $P$ (azione puntuale della tensione). Si ottiene :

$\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {R_{(A)}}{\Delta S}}=\mathbf {t_{n}}$ e $\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {M_{(A)}}{\Delta S}}=\mathbf {0}$

mentre il secondo limite è nullo semplicemente per motivi di equilibrio alla rotazione in $P$, il secondo presenta il termine $t_{n}$ che rappresenta la tensione nel punto $P$ relativa al piano di normale $\mathbf {n}$ . È definita come la misura dell'azione locale che , a deformazione avvenuta , la parte ${\mathcal {C^{+}}}$ esercita su ${\mathcal {C^{-}}}$ in $P$ per contatto attraverso il piano $\pi$.

In generale la tensione varia a seconda non solo del piano considerato (la forma della superficie può essere qualunque : anche se prendessimo una superficie curva, essa sarà comunque tangente in $P$ con normale $\mathbf {n}$) , ma anche dal punto $P$ scelto. Infatti , in generale , la notazione della tensione va espressa con una doppia dipendenza , ma viene ,per semplicità, ridotta sottintendendo la dipendenza dal punto :

$t={\begin{alignedat}{2}f(P,n)\end{alignedat}}\longrightarrow t_{P,n}\longrightarrow t_{n}$

Componenti della tensione

La tensione può essere scomposta in due vettori componenti :

$\sigma _{n}=t_{n}\centerdot n$ dove $\sigma _{n}$ (Tensione normale) rappresenta la componente normale della tensione

$\tau _{n}=t_{n}-\sigma _{n}$ dove $\tau _{n}$ (Tensione tangenziale) rappresenta la componente tangenziale della tensione

Quando $\sigma _{n}>0$ la sollecitazione in atto è di trazione , altrimenti è di compressione.