La serie di Fourier in forma esponenziale complessa

Lezione 2^ : La serie di Fourier in forma di esponenziale complessa

Nella prima lezione di questa materia abbiamo studiato la serie di Fourier in forma trigonometrica così come si evince dall'espressione 1) che riportiamo:

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(n\ \omega \ t)+b_{n}\sin(n\ \omega \ t)\right]\$ 1) ;

la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di $f(t)$.

Per gli argomenti teorici che andremo in seguito a sviluppare è utile riscrivere la 1), dalla forma trigonometrica, in forma esponenziale complessa così come mostra la 2):

$f(t)=\sum _{-\infty }^{+\infty }D_{n}\cdot e^{j\ n\ \omega \ t}\ \ \$ 2)

dove:

$D_{n}={\frac {1}{2}}\cdot (a_{n}-j\ b_{n})={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}f(t)\cdot e^{-j\ n\ \omega \ t}dt$

ed il complesso coniugato di $D_{n}$ è

$D_{n}^{*}={\frac {1}{2}}\cdot (a_{n}+J\ b_{n})\ \ \$ 3)

Le sommatorie 1) e 2) differiscono nel fatto che nella prima ai considerano due serie di termini in seno e coseno, la cui frequenza si estende da $0\ a\ \infty$, mentre nella seconda si considera una sola serie di termini complessi la cui frequenza si estende da $-\infty \ a\ +\infty$

Ogni coppia di termini dello stesso ordine $n$ nella 2) rappresenta infatti nel piano complesso due vettori ruotanti in senso opposto con velocità angolare $n\ \omega$ e di fasi $\varphi _{n}=\arctan(-{\frac {b_{n}}{a_{n}}})$ e $\varphi _{-n}=-1$, dalla somma di questi due termini complessi si annullano i termini immaginari a seguito della 3).

In figura 1 sono riportate le due rappresentazioni dei coefficienti , della 1) e della 2)

figura 1: per 1.1 si legga 1); per 1.4 si legga 2)

Riferendoci alla notazione 1), se $f(t)$ è una funzione pari sarà: $a_{n}\neq 0\ e\ b_{n}=0$; se $f(t)$ è una funzione dispari sarà: $a_{n}=0\ e\ b_{n}\neq 0$.

Il calcolo dell'errore della serie di Fourier per $n\neq \infty$

La serie esponenziale ben si presta alla valutazione dell'errore di calcolo di $f(t)$ in funzione del numero $n$ dei termini che certamente, in pratica, avranno un valore $N\neq \infty$.

L'errore viene considerato da un punto di vista energetico nel periodo $T$ ; è cioè un errore quadratico medio è può esprimersi con:

$\xi _{N}=\int _{-T/2}^{+T/2}|f(t)-\sum _{-N}^{+N}D_{n}\cdot e^{j\ n\ \omega \ t}|^{2}\ dt\ \ \$ 4)

Dall'espressione di $\xi _{N}$ si ottiene la funzione dei coefficienti $D_{n}$ che rende minimo l'errore $\xi _{N}$.

E' dimostrabile che l'espressione 3) dei $D_{n}$ secondo lo sviluppo di Fourier è l'unica che soddisfa tale condizione.

Accettando perciò la 2) e la 3), si accetta conversamente della proprietà della serie di Fourier di minimizzare l'errore quadratico medio, questo tende a zero per $N\to \infty$.

Dalla 4) si ottiene il Teorema di Parseval:

$(1/T)\int _{-T/2}^{+T/2}|f(t)|^{2}\ dt=\sum _{-\infty }^{+\infty }(D_{n})^{2}\ \ \$ 5)

Questo dice che l'energia della funzione $f(t)$ è uguale alla somma delle energie delle singole componenti lo sviluppo in serie.

La serie di Fourier è l'unica rappresentazione che mostri come l'energia di $f(t)$ sia distribuita nella frequenza.