La piastra ellittica

lezione
La piastra ellittica
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Scienza delle costruzioni

Si consideri una piastra di forma ellittica con semiassi con .

Piastra ellittica caricata uniformemente incastrata al contornoModifica

 Nota:
Inserire immagine della geometria del problema

Nel caso in cui si consideri che la piastra così definita sia sottoposta ad un carico uniformemente distribuito e sia incastrata al contorno è ancora possibile avere una soluzione analitica del genere trovato per la piastra circolare.

Per semplicità di trattazione, si fanno coincidere gli assi del riferimento   con gli assi dell'ellisse  . L'equazione della superficie elastica, in questo caso, deve assumere la forma seguente:

 

Questa forma, infatti, rispetta le equazioni al contorno, secondo cui deve essere   e  .

Infatti il termine tra parentesi nell'equazione della superficie elastica è pari a zero in corrispondenza del contorno. Per comprendere ciò si consideri che   è l'equazione dell'ellisse, di conseguenza lungo il contorno si ha effettivamente  , per cui  .

Derivando una volta l'equazione della superficie elastica rispetto ad esempio a   si ottiene:

 

che si annulla ancora in corrispondenza del contorno perché il termine tra parentesi è rimasto invariato.

Nelle equazioni precedenti   rappresenta un fattore moltiplicativo, ma è dotato di un significato fisico ben preciso: considerando  , infatti, si ottiene  . Esso, cioè, rappresenta il valore dell'abbassamento in corrispondenza del centro della piastra, e cioè la freccia al centro.

È possibile a questo punto sostituire l'espressione di   indicata all'interno dell'equazione della superficie elastica trovata in precedenza (badando di non confonderla con quella definita per la piastra circolare), e che si riporta per comodità:

 

 Nota:
Inserire i passaggi matematici

Sostituendo e derivando opportunamente i termini si ottiene infine:

 

Dal momento che si è definita completamente l'equazione della superficie elastica, è possibile calcolare tutto della piastra. I momenti cui è sottoposta sono pari a:

 

Si può dimostrare che i momenti flettenti massimi sono quelli agenti in corrispondenza dell'estremità del semiasse minore, e cioè per  , dove assume valore: