La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori)

Ricordiamo che risolvere un triangolo significa ricavare le misure di tutti i suoi elementi (lati e angoli) date le misure di alcuni di essi.

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ESEMPIO 1. Determinate l’area del triangolo rettangolo $ABC$, retto in $A$, sapendo che il cateto ${BC}=2{\text{m}}$ e che ${\widehat {ABC}}=\beta =20{\text{°}}$.

Dati:  ${\widehat {BAC}}=90{\text{°}}$,$\quad {\overline {BC}}=2{\text{m}}$,$\quad {\widehat {ABC}}=\beta =20{\text{°}}$.

Obiettivo:  ${\text{Area}}\;{(ABC)}$.

Procedura risolutiva:  ${\text{Area}}\;{(ABC)}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\overline {AB}}\cdot {\overline {AC}}$.

Dobbiamo dunque determinare le misure dei cateti. Applicando le definizioni ($\gamma ={\widehat {ACB}}$):

${\overline {AB}}={\overline {BC}}\cdot {\cos(\beta )}=2\cdot {\cos(20{\text{°}})}\simeq 2\cdot 0,940\simeq 1,879$ ${\overline {AC}}={\overline {BC}}\cdot {\cos(\gamma )}=2\cdot {\cos(70{\text{°}})}\simeq 2\cdot 0,342\simeq 0,684$

Pertanto ${\text{Area}}\;\simeq 0,643({\text{m}}^{2})$.

ESEMPIO 2. Un triangolo rettangolo $ABC$, retto in $A$, ha il cateto $AB$ di $5{\text{cm}}$ e l’angolo acuto in $C$ di $57{\text{°}}$; determinate l’altro angolo acuto, la misura del cateto $AC$ e la misura dell’ipotenusa $BC$.

Dati:  ${\widehat {BAC}}=90{\text{°}}$,$\quad {\widehat {BCA}}=57{\text{°}}$,$\quad {\overline {AB}}=5{\text{cm}}$.

Obiettivo:  $\beta ={\widehat {ABC}}$,${\overline {AC}}$,${\overline {BC}}$.

Procedura risolutiva: Essendo gli angoli acuti complementari si ottiene $\beta =90{\text{°}}-57{\text{°}}=33{\text{°}}$. Applicando la formula inversa:

${\overline {CB}}={\tfrac {\overline {AB}}{\cos(\beta )}}={\tfrac {5}{\cos(33{\text{°}})}}\simeq {\tfrac {5}{0,839}}\simeq 5,962{\text{cm}}.$

Infine determiniamo l’altro cateto e osserviamo che possiamo procedere in due modi:

• con il Teorema di Pitagora:

${\overline {CA}}={\sqrt {{\overline {CB}}^{2}-{\overline {AB}}^{2}}}\simeq {\sqrt {35,543-25}}\simeq {\sqrt {10,543}}\simeq 3,247{\text{cm}};$

• per definizione di coseno:

${\overline {CA}}={\overline {CB}}\cdot \cos(\gamma )\simeq 5,962\cdot \cos(57{\text{°}})\simeq 5,962\cdot 0,545\simeq 3,247{\text{cm}}.$

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OSSERVAZIONE.

1. Nei calcoli effettuati abbiamo operato un’approssimazione; per esempio il valore esatto di ${\overline {CB}}$ è rappresentato solo dall’espressione ${\overline {CB}}={\tfrac {\overline {AB}}{\cos(\beta )}}={\tfrac {5}{\cos(33{\text{°}})}}$.
2. I risultati ottenuti con procedimenti diversi possono differire, se pur di poco, a causa dell’uso di valori approssimati nei calcoli che aumentano l’errore di approssimazione (propagazione dell’errore).

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ESEMPIO 3. Risolvi il triangolo rettangolo della figura sapendo che $c=20{\text{cm}}$ e $\sin(\beta )={\tfrac {3}{5}}$.

Risoluzione di un triangolo rettangolo

Usiamo l’identità fondamentale per determinare $\cos(\beta )$:

$\cos(\beta )={\sqrt {1-\sin ^{2}(\beta )}}={\sqrt {1-\left({\tfrac {3}{5}}\right)^{2}}}={\sqrt {1-{\tfrac {9}{25}}}}={\sqrt {\tfrac {25-9}{25}}}={\sqrt {\tfrac {16}{25}}}={\tfrac {4}{5}};$

Poiché $\cos(\beta )={\tfrac {c}{a}}$ si ha:

$a={\tfrac {c}{\cos(\beta )}}={\tfrac {20}{\tfrac {4}{5}}}={\tfrac {20\cdot {5}}{4}}=25{\text{cm}}.$

Per il teorema di Pitagora $b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}={\sqrt {25^{2}-20^{2}}}=15{\text{cm}}$;

$\beta \simeq 36{\text{°}}52'12''$ (calcolato con la calcolatrice e arrotondato), $\gamma =90{\text{°}}-\beta \simeq 53{\text{°}}07'48''$.

ESEMPIO 4. Risolvere il triangolo rettangolo $ABC$, retto in $A$ (quello della figura precedente) sapendo che $b=2{\text{cm}}$ e $\sin(\beta )=0,2$.

Dati:  $b=2{\text{cm}}$,$\quad \sin(\beta )=0,2$.

Obiettivo:  $a$,$\quad c$,$\quad {\beta }$,$\quad {\gamma }$.

Procedura risolutiva:  Dalla definizione di seno $\sin(\beta )={\tfrac {b}{a}}$ si ha

$a={\tfrac {b}{\sin(\beta )}}={\tfrac {2}{0,2}}=10{\text{cm}}.$

Con il teorema di Pitagora possiamo ricavare l’altro cateto

$c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}={\sqrt {100-4}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\simeq 9,798{\text{cm}}.$

Infine, con la funzione inversa, ricaviamo l’angolo ${\beta }=\sin ^{-1}(0,2)\simeq 11,537$ e procedendo come spiegato in precedenza otteniamo: ${\beta }\simeq 11{\text{°}}32'13''$ e ${\gamma }=90{\text{°}}-\beta \simeq 78{\text{°}}27'47''$.

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Proiezione di un segmento lungo una direzione

DEFINIZIONE 1. Dato un segmento $AB$ ed una retta $r$ che passa per un suo estremo ($A$, per fissare le idee). Si definisce proiezione del segmento $AB$ sulla retta $r$ il segmento $AH$ dove $H$ è l’intersezione fra $r$ e la sua perpendicolare passante per $B$ (si vedano i tre esempi riportati nella figura seguente).

Proiezioni su rette