L'integrale di Fourier

L'analisi deterministica delle funzioni impulsive, definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse, da sviluppare con l'integrale di Fourier è rivolta, ad esempio, all'analisi di un impulso sotto forma di tensione elettrica rilevata con oscilloscopio così come illustrato in figura 01:

figura 01

Per comprendere meglio l'importanza dell'integrale di Fourier iniziamo la lezione esponendo l'argomento da un punto di vista strettamente tecnico riservandoci, di seguito, un'esposizione a carattere matematico.

L'aspetto tecnico

L'integrale di Fourier è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri.

L'algoritmo dell'integrale di Fourier, mostrato di seguito,

$G(w)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(t)e^{-j\ wt}\ dt$

consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 1.

figura 1

mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 2.

figura 2

Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 3:

figura 3

è sufficiente prelevarne un serie di campioni d'ampiezza per procedere poi al calcolo con opportune routine su P.C. secondo quanto indicato in figura 4:

figura 4

L'integrale di Fourier computato con un numero finito di valori di figura 5 rende il modulo della G(w) così come riportato in figura 5:

figura 5

Un'interessante applicazione tecnica si può visionare all'indirizzo: [Applicazione dell'integrale di Fourier.]

L'aspetto matematico

Questa discussione prende corpo dopo l'esame di figura 6 dove sono mostrati, nelle prime tre illustrazioni, gli spettri a righe di alcuni segnali periodici calcolati secondo le procedure indicate nella prima lezione di questo corso per mettere in evidenza la sostanziale differenza tra la serie e l'integrale di Fourier con la quarta immagine che rappresenta lo spettro di frequenza continuo dovuto all'analisi armonica eseguita tramite l'integrale di Fourier.

figura 6

Nei primi tre casi della Fig. 7 sono mostrati gli spettri di frequenza di un treno periodico di impulsi, e di un impulso non periodico nel quarto caso.

La rappresentazione riportata in figura è quella di ampiezza e fase.

Si noti nella figura 6 come lo spettro diventa più ricco di componenti all'aumentare del periodo $T.$

Secondo quanto espresso nella lezione precedente per la serie esponenziale l'ampiezza delle singole righe di frequenza è data da:

$D_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}f(t)\cdot e^{-j\ n\ \omega '\ t}dt$

Al limite quando il periodo tende all'infinito si ha la generazione della funzione $F(\omega )$ e lo spettro diventa continuo, la funzione rappresenta l'integrale di Fourier:

$F(\omega )=\lim _{T\rightarrow \infty }D_{n}$ $=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\cdot e^{-j\ \omega \ t}dt\ \ \ \$ 1)

dove $\omega$ sostituisce $n\ \omega '$.

La 1) mostra l'integrale di Fourier come trasformazione di una funzione $f(t)$, nel dominio del tempo, in una funzione $F(\omega )$.nel dominio della frequenza essendo $\omega =2\cdot \pi \cdot f$.

Di converso l'integrale di Fourier consente di passare da una funzione nel dominio della frequenza in un funzione nel dominio del tempo come mostra la 2):

$f(t)=(1/2\pi )\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )\cdot e^{j\ \omega \ t}d\omega \ \ \ \$ 2).

Le espressioni 1) e 2) rappresentano le formule di in­venzìone di Fourier; $F(\omega )$ rappresenta lo spettro di frequenza generalmente complesso che è determinato dalla completa storia di $f(t)$ essendo l'integrale 1) esteso da $-\infty \ a\ +\infty$.

Le funzioni $f(t)\ e\ F(\omega )$ si dicono trasformate secondo Fourier ed è in uso, per richiamarle entrambe, la notazione:

$f(t)\leftrightarrows F(\omega )$.