L'analisi deterministica e la serie di Fourier

L'analisi deterministica comprende i metodi di rappresentazione delle funzioni periodiche determinate definite cioè matematicamente mediante una o più variabili reali o complesse e che siano invarianti nel tempo.

In figura 01 due funzioni deterministiche sotto forma di tensioni elettriche rilevate con oscilloscopio:

figura 01

Si possono avere diversi metodi di rappresentazione di uno stesso fenomeno, a seconda del dominio nel quale viene compiuta la analisi.

Ad esempio un segnale può essere indifferentemente rappresentato nel dominio del tempo o della frequenza.

Il passaggio dall'uno all'altro viene ottenuto mediante opportune trasformazioni.

La scelta del dominio di rappresentazione viene spesso determinata dall'uso che di questa si deve fare.

Alla base dei metodi di trasformazione vi è l' analisi armonica di Fourier che consente di determinare lo spettro di frequenza dei segnali elettrici dei quali si conosca matematicamente la legge di variazione.

Questo metodo consente lo sviluppo in una serie di un numero infinito di termini, lo spettro di frequenza, di una generica funzione del tempo $f(t)$, definita matematicamente, che soddisfi alle seguenti condizioni:

• A) che tale funzione sia illimitata nel tempo, vale a dire si estenda da -$\infty$ a +$\infty$

Si possono distinguere due casi:

il segnale è periodico di periodo $T$;

il segnale non è periodico ed è "non nullo" nell'in­tervallo $0-T$ e nullo al di fuori di esso; in tal caso si può considerare il segnale di periodo $T=\infty$.

• B) l'energia della funzione nel periodo $T$ sia finita, ovvero

$\int _{0}^{T}f(t)^{2}\,dt<\infty$

(ove con $T$ si intenda genericamente anche il periodo definito nel caso di funzione non periodica).

• C) la funzione $f(t)$ sia integrabile, cioè:

$\int _{0}^{T}f(t)\,dt<\infty$

• D) inoltre la funzione deve essere univoca, ove continua, presentare un numero finito di discontinuità a di massimi e minimi in un periodo, avere valori finiti ovunque, ovvero punti d'infinito integrabili

Quando sono soddisfatte queste condizioni la $f(t)$ è esprimibile come somma d'infinite componenti frequenziali nella forma:

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(n\ \omega \ t)+b_{n}\sin(n\ \omega \ t)\right]\ \ \$ 1) ; la sommatoria è indicata come spettro di frequenza di $f(t)$

dove:

$\omega =2\ \pi \cdot f$ è la pulsazione angolare.

$a_{n}\ e\ b_{n}$ sono i coefficienti della serie e $a_{0}$, l'addendo che in essa compare, ottenibili dalle espressioni:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2)$

${\begin{aligned}a_{0}&={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\,\mathrm {d} t\\a_{n}&={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\cos(\omega \ n\ t)\,\mathrm {d} t\\b_{n}&={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\sin(\omega \ n\ t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

Per le funzioni pari compaiono solo i coseni:

${\begin{aligned}a_{0}&={\frac {4}{T}}\int _{0}^{T/2}f(t)\,\mathrm {d} t\\a_{n}&={\frac {4}{T}}\int _{0}^{T/2}f(t)\cos(\omega \ n\ t)\,\mathrm {d} t\\b_{n}&=0\end{aligned}}$

mentre per funzioni dispari compaiono solo i seni:

${\begin{aligned}a_{0}&=a_{n}=0\\b_{n}&={\frac {4}{T}}\int _{0}^{T/2}f(t)\sin(\omega \ n\ t)\ \mathrm {d} t\end{aligned}}$

Osservazioni

La 1) mostra come qualsiasi segnale deterministico $f(t)$ sia sempre rappresentabile come sommatoria di termini in seno ed in coseno.

Solo ogni singolo tipo di segnale deterministico caratterizza la serie secondo i coefficienti espressi dalle 2).

Esempi d'applicazione della serie di Fourier

Primo esempio

Il primo esempio mostra come la 1) e la 2) consentano di formulare la serie di Fourier relativa al segnale periodico di periodo $T$, generato dall'azione di rettificazione di un diodo su di un segnale sinusoidale, rappresentato in figura 1

figura 1

Il segnale a valle del diodo ha le seguenti caratteristiche deterministiche:

$f(2\pi f_{0}t)={\begin{cases}\sin(2\pi f_{0}t):&{\text{da}}\ T=0\ \ \ a\ \ \ T=1/2\\0:&{\text{da}}\ T=1/2\ \ \ a\ \ T\end{cases}}$

La serie di Fourier calcolata per i primi cinque addendi è sotto riportata:

$f(t)\approx (E/\pi )\cdot [1+(\pi /2)\cdot \cos \ x\ +\ (2/3)\cdot \cos \ 2\ x-\ (2/15)\cdot \cos \ 4\ x+\ (2/35)\cdot \cos \ 6\ x]....$

dove $x=(2\pi f_{0}t)\ \$ ed $\ \ E=\ \$ ampiezza di picco di $f(t)$

Il primo addendo della serie non dipende da $(2\pi f_{0}t)\ \$ essendo espressione della componente continua che si forma a valle del diodo.

Secondo esempio

Il secondo esempio è relativo ad segnale periodico $f(t)$ del quale si conosce la legge di variazione; si tratta di un'onda rettangolare, espressa matematicamente secondo le espressioni:

$f(2\pi f_{0}t)={\begin{cases}-E:&{\text{per}}\ (2k-1)\pi <2\pi f_{0}t<2k\pi \\+E:&{\text{per}}\ 2k\pi <2\pi f_{0}t<(2k+1)\pi \end{cases}}$

il cui andamento è tracciato in figura 2

figura 2

L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe $G(\omega )$, dell'onda di figura 2,così come mostrato in figura 3.

figura 3

Si tratta di un insieme non finito di onde sinusoidali d'ampiezza variabile; ogni riga di figura 2 rappresenta in posizione sulle ascisse la frequenza ed in ordinate l'ampiezza relativa di ogni singola riga.

Terzo esempio

In figura 4 è mostrato il rilevamento strumentale dello spettro in frequenza di un segnale triangolare alla frequenza di $220\ Hz$:

figura 4