Ipostaticità, isostaticità, iperstaticità

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Introduzione

Un corpo si dice comunemente statico se è fermo, se non si muove, se non può essere mosso. In questa lezione vedremo invece tecnicamente più approfonditamente cosa significa che un corpo sia statico e sotto quali condizioni. Vedremo ad esempio quando un sistema è stato reso statico a sufficienza o quando si è esagerato nell'imporre vincoli, magari inutilmente.

Le tre situazioni di staticità

Sistema ipostatico a carrelli paralleli

Le situazioni possibili nelle quali può trovarsi un corpo sono fondamentalmente tre: ipostaticità, isostaticità e iperstaticità.

• Ipostaticità: come si poteva già dedurrre da prefisso ipo-, la condizione ipostatica è non sufficientemente statica, dunque è mobile. Un corpo od un sistema di corpi è ipostatico se in pratica non è statico, cioè se si può muovere. Ciò normalmente avviene se il numero di gradi di vincolo (GdV) imposti è minore del numero dei gradi di libertà (GdL) del corpo.

Sistema isostatico cerniera e carrello

• Isostaticità: la condizione di isostaticità è spesso considerata la situazione statica ideale. Essa è la situazione di staticità - vera e propria immobilità - del sistema, con il numero di vincoli minimo necessario (difatti il prefisso -iso indica l'eguaglianza GdV=GdL). Ad esempio un'asta vincolata agli estremi da una cerniera a terra ed un carrello a terra è un sistema isostatico: esso è fisso, i vincoli non gli permettono di muoversi in alcuna direzione, né ruotando né traslando (l'orientazione del carrello tuttavia potrà rendere il sistema labile o meno, vedi dopo).

Sistema iperstatico cerniera a terra e pattino a terra

• Iperstaticità: come ancora si poteva dedurre da prefisso iper-, la condizione iperstatica è fin troppo statica, dunque non mobile ma soggetta ad un numero più che sufficiente di vincoli. Un corpo od un sistema di corpi è iperstatico se è statico ma ha un numero di GdV superiore al numero di GdL, ciò vuol dire che certi vincoli impongono i loro vincoli nella stessa direzione (di traslazione o rotazione).

Sistemi ipostatici

Come si è detto sopra, un sistema è ipostatico se non ha tutti i GdL vincolati. Ciò avviene sicuramente se GdV<GdL (condizione sufficiente per l'ipostaticità). Tuttavia se i vincoli sono malposti (ovvero se sono ridondanti, se vincolano lo stesso grado di libertà, lo stesso movimento), l'ipostaticità può comparire anche in situazioni in cui GdV>GdL.

Prendiamo ad esempio un'asta orizzontale (3 GdL nel piano) collegata a terra con 3 carrelli giacenti a terra sullo stesso piano di scorrimento (ogni carrello impone un solo grado di vincolo: totale = 3 GdV). Questa situazione a prima vista statica (GdL=GdV), è in realtà mobile. Ciò è dovuto al fatto che i vincoli sono malposti: sono eccessivi per ottenere la sola ipostaticità o posti in modo ridondante ed inadatto per ottenere l'isostaticità.

Sistemi isostatici

Un sistema isostatico ottimizza il minimo numero di vincoli con la completa staticità del sistema. Perciò se GdV=GdL (condizione solo necessaria per l'isostaticità) allora il sistema può essere isostatico. Tuttavia, come anticipato nell'esempio ipostatico, un sistema può rispettare la condizione GdV=GdL, ma non essere statico (immobile).

Archi a tre cerniere non allineate

Un classico sistema isostatico è l'arco a tre cerniere non allineate. Un arco di questo tipo è composto da tre cerniere messe a terra, non allineate sulla stessa retta: il sistema che si ottiene è una struttura isostatica bidimensionale minima, che usa il minimo numero di aste e di vincoli per creare un sistema isostatico.

Sistemi iperstatici

Un sistema iperstatico è caratterizzato da un eccesso di vincoli, alcuni dei quali risultano dunque inutili, superflui o altrimenti malposti. Perciò se GdV>GdL (condizione solo necessaria per l'iperstaticità) allora il sistema può essere iperstatico. Difatti in questo caso il numero eccessivo di vincoli può produrre staticità oppure ancora mobilità: vediamo come. In modo simile all'esempio di ipostaticità, consideriamo un'asta orizzontale (3 GdL nel piano) collegata a terra con 7 carrelli giacenti a terra sullo stesso piano di scorrimento (ogni carrello impone un solo grado di vincolo: totale = 7 GdV). Questa situazione iperstatica (GdV>GdL), è in realtà ancora mobile. Questo avviene perché i 7 vincoli imposti vincolano tutti la stessa direzione di movimento e la rotazione dell'asta, lasciando comunque sempre libero lo scorrimento orizzontale (sarebbero bastati semplicemente 2 carrelli per ottenere lo stesso identico risultato).

Anticipazioni sulla labilità

Sistema labile cerniera-carrello. In rosso i movimenti permessi dai vincoli, in azzurro gli spostamenti infinitesimi possibili

A completamento del discorso tenuto finora, e ad anticipazione della prossima lezione - molto legata a questa - introduciamo il concetto di labilità.

Un sistema si dice labile se è precario, se non è completamente statico (ma magari nemmeno completamente mobile). Un tipico esempio chiarificatore è il sistema che collega un'asta, da un lato con cerniera a terra, e dall'altro con carrello con piano di scorrimento perpendicolare all'asta (nell'immagine a lato). In questo sistema la cerniera permette la rotazione dell'asta ed il carrello permette il suo scorrimento: tuttavia la rotazione, vista sotto forma di spostamenti infinitesimi, può essere considerata nel punto di giuntura con il carrello, come uno scorrimento verticale dy, permesso dunque dal carrello. Questo tipo di movimento prevederebbe anche uno spostamento orizzontale dL, che tuttavia è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a dy (dL = dy sen(dθ) con dθ l'infinitesimo di angolo di rotazione dell'asta), perciò trascurabile. Tale sistema perciò a livello di spostamenti infinitesimi è mobile, pur sapendo che esso complessivamente non si può muovere significativamente.