Introduzione ai segnali ed esercizi (superiori)

Definizioni

Si definisce segnale tutto ciò che costituisce un informazione utile, non nota a priori. Si definisce rumore tutto ciò che non costituisce un informazione. Detto così sembra tutto semplice, ma non sempre lo è. Il segnale viene generato da chi lo vuole inviare (io che digito sulla tastiera e inserisco questo testo produco segnale, quello che il lettore vuole conoscere). Dopodiché, i vari protocolli di trasporto aggiungono una ridondanza per evitare che – durante la trasmissione – il rumore alteri il segnale (in questo caso trasformando una lettera in un'altra). Queste informazioni aggiuntive, figlie di calcoli matematici sui dati trasmessi, si chiamano ridondanza e non contengono informazione, servono solo a determinarne la sua integrità.

In una trasmissione vi è un trasmittente e un ricevente. Il trasmittente invia il segnale, il ricevente riceve sia il segnale (assieme alla ridondanza), sia il rumore. Suo compito – nelle trasmissioni numeriche – è accertarsi dell'integrità del segnale ricevuto e, in caso contrario richiedere la ritrasmissione dello stesso.

Struttura di un segnale

Esempio di un segnale periodico

I segnali si dividono in periodici e non periodici.

Un segnale periodico ha periodo $T$ e frequenza pari a $F=1/T$. La sua lunghezza d’onda $\lambda$ dipende dalla velocità del segnale $c$ ed è pari a $\lambda =c/F$.

Dominio del tempo e della frequenza

Onda sinusoidale nel dominio del tempo

I segnali possono essere rappresentati nel dominio del tempo come nel dominio della frequenza. Questo significa che vi sono differenti modi per osservare il comportamento di un segnale e trarne le debite conclusioni.

In figura è riportato un segnale sinusoidale, il cosiddetto tono puro a $880~{\text{Hz}}$. Se si osserva l'immagine con attenzione si noterà che la forma d'onda non è esattamente una sinusoide, ma una sua approssimazione. Questo poiché chi la genera ha dei limiti intrinseci, a seguire vi sono i limiti fisici dell'altoparlante, successivamente quelli del microfono che intercetta il segnale e – per finire – il campionamento viene fatto a frequenze non illimitate.

Tutti questi fattori fanno sì che il segnale acquisito, come lo si vede in figura, presenti imperfezioni, come è naturale che sia. Si potrebbe obiettare che sono minime, ma i difetti verranno presto svelati.

Onda sinusoidale nel dominio della frequenza

Il secondo grafico mostra il medesimo segnale nel dominio della frequenza. A questo punto è evidente come il segnale non sia composto solamente dal tono a $880~{\text{Hz}}$ (il picco massimo, identificato a $880,3~{\text{Hz}}$), ma anche da un rumore di fondo inevitabilmente presente.

È bene ricordare che l'asse delle ordinate, essendo espressa in deciBel è una scala logaritmica, pertanto – partendo dal picco a $880~{\text{Hz}}$ – vi è un decadimento di circa $-80~{\text{dB}}$, pari a un fattore (in potenza) di $10^{-8}$.

Inoltre, il fatto che la frequenza a $880~{\text{Hz}}$ non mostri un singolo valore, ma valori che tendono a decadere, è dovuto ai limiti dello strumento di acquisizione dei dati utilizzato.

Spettrogramma di un segnale sinusoidale

Infine, esiste uno strumento (il cosiddetto spettrogramma) che mostra questi dati assieme. Lo spettrogramma mostra nelle ascisse la frequenza e nelle ordinate il tempo. L'intensità delle singole armoniche viene mostrata con colori. Nel caso di figura, il nero rappresenta l'assenza di segnali significativi, passando per il rosso, fino al giallo, corrispondente alla massima intensità del segnale.

Naturalmente, un simile grafico, può essere costruito anche in tre dimensioni.

Esempi ed esercizi

Di seguito si presenteranno esempi di segnali sia acustici, sia elettromagnetici, sia ottici e altrettanti esercizi svolti con entrambe le tipologie di segnali, dove sarà importante ragionare sulle loro diverse frequenze ($F$), lunghezze d’onda ($\lambda$) e velocità di propagazione ($c$), facendo attenzione al suo valore che è variabile a seconda del mezzo trasmissivo e del tipo di segnale utilizzato.

L'eco

Georges Seurat, L'eco (1883); disegno, 31×24 cm, museo del Louvre, Parigi

Esercizio Calcolare la frequenza necessaria per generare l'eco

Sapendo una stanza vuota rimbomba, e l'altezza supera i $2,40~{\text{m}}$, mentre la larghezza supera i $3~{\text{m}}$ è possibile considerare la lunghezza d'onda minima necessaria a generare l'eco pari a circa $3~{\text{m}}$. Ricordando che la velocità del suono nell'aria è di $380~{\text{m/s}}$, si ha:

${\begin{cases}\lambda =c/F\\F={\frac {c}{\lambda }}={\frac {380~{\text{m/s}}}{3~{\text{m}}}}\simeq 130~{\text{Hz}}\end{cases}}$.

Esercizio Calcolare la distanza minima per udire l'eco di almeno una sillaba

Congetturando (qui occorre fare un'ulteriore ipotesi) che occorra almeno un intervallo di tempo di $10~{\text{ms}}$ per percepire distintamente una sillaba (al di sotto i suoni tendono a essere percepiti come simultanei), il problema posto diventa un quesito di fisica classica tipico dei primi anni delle scuole superiori, ricordando che la distanza va - naturalmente - divisa per due (andata e ritorno)

${\begin{cases}t=0,1~{\text{s}}\\d={\frac {c\cdot t}{2}}={\frac {380~{\text{m/s}}\cdot 0,1~{\text{s}}}{2}}=19~{\text{m}}\end{cases}}$.

Naturalmente, il problema si può riformulare in termini differenti, vale a dire: a quale distanza deve trovarsi la montagna, affinché l'eco si oda dopo 3 secondi? Ma, così facendo si sconfina decisamente nel campo della fisica classica.

Il pipistrello come fa?

Come il pipistrello procaccia il suo cibo

Bat, un pipistrello che ha studiato telecomunicazioni, ha fame e vuole mangiare Bug. Però è un po’ sguercio. Sa che Bug ha una dimensione (per semplicità di calcolo) di circa 0,38 cm.

Esercizio Quale frequenza deve emettere per trovarlo e… mangiarlo?

L'esercizio è il medesimo di quello proposto nel caso dell'eco. Naturalmente, come risultato ci si aspettano ultrasuoni.

${\begin{cases}\lambda =c/F\\F={\frac {c}{\lambda }}={\frac {380~{\text{m/s}}}{0,38~{\text{cm}}}}=100~{\text{kHz}}\end{cases}}$.

The Hunt for Red October

Velocità del suono nel mare

Il principio di funzionamento del sonar è il medesimo del pipistrello: cambia la dimensione del sottomarino ostile da localizzare ($10~{\text{m}}$) e la velocità di propagazione del suono nell’acqua marina (compresa tra $1516~{\text{m/s}}$ e $1540~{\text{m/s}}$).

È importante ricordare sempre che ogni cosa prodotta dall'intelletto umana trae – se non origine – almeno ispirazione da ciò che già è presente in natura.

Supponiamo, pertanto, di trovarci a una profondità di $1200~{\text{m}}$. Come deducibile dal grafico a fianco, la velocità del suono sarà $1530~{\text{m/s}}$. Questo è un parametro che il marconista (l'addetto alla ricetrasmissione di segnali radio e sonar) dovrà tenere in considerazione se vorrà stimare correttamente la distanza tra sé stesso e un sottomarino ostile, oppure le pareti rocciose dei fondali oceanici.

Esercizio Quale frequenza si deve utilizzare per localizzare un sottomarino ostile prima che sia tardi?

Il problema, come si vede dall'impostazione delle equazioni, è il medesimo del pipistrello. Naturalmente occorre conoscere le dimensioni del sottomarino. Ma queste il marconiste le sa. Anzi: invierà più frequenze e – osservando quali ritornano esaltate e quali attenute – sarà in grado di dire di quale modello di sottomarino si tratta.

${\begin{cases}\lambda =c/F\\F={\frac {c}{\lambda }}={\frac {1~530~{\text{m/s}}}{10~{\text{m}}}}=153~{\text{Hz}}\end{cases}}$

Le cuffie (non quelle per la doccia)

Smartphone con auricolari

Un fatto noto a tutti è che con i dispositivi mobili è possibile ascoltare la radio FM senza ricorrere al traffico dati. Il prerequisito è utilizzare gli auricolari, il cui filo funge da antenna. Dopodiché sono disponibili numerose applicazioni che consentono di ascoltare radio che trasmettono i loro podcast via internet, ma si tratta di un altro dipo di invio dati. La radio in modulazione di frequenza, invece, può essere ascoltata anche in assenza di connessione: è sufficiente che sia presente il segnale radio.

Esercizio Quanto devono essere lunghe le cuffie per poter ascoltare RTL 102.5?

Per questo calcolo si ricorda che la velocità della luce nell’aria non è – come nel vuoto – $300~000~{\text{km/s}}$, ma, approssimativamente, circa $200~000~{\text{km/s}}$.

Le cuffie svolgono la funzione di antenna e devono essere lunghe la metà della lunghezza d’onda. Pertanto si ha:

$l={\frac {\lambda }{2}}={\frac {\frac {c}{F}}{2}}={\frac {\frac {200~000~{\text{km/s}}}{102,5~{\text{MHz}}}}{2}}\simeq 1~{\text{m}}$.

NB Nell'esercizio l'esempio della stazione radio RTL 102.5 è voluto, non vuole essere pubblicità indiretta, poiché il nome dell'emittente suggerisce la frequenza e – gli studenti un po' più audaci – non faticheranno a eseguire una banale approssimazione come $102,5\simeq 100$.

Esercizio Con un segnale radio, è possibile attivare comandi vocali quali «Ok Google», o simili?

Ahimè, quest'esercizio richiede ragionamento quindi – fatto un bel respiro – possiamo iniziare. Se si riprendono i dati dell'esercizio precedente, è facile osservare che i segnali radio hanno un ordine di grandezza di circa $100~{\text{MHz}}$. Viceversa i segnali vocali – così come vengono percepiti dal microfono – hanno frequenza di almeno diecimila volte più basse.

Per la cronaca dopo il microfono, per evitare di raccogliere segnali indesiderati a scapito della qualità del segnale acquisito, vi è un filtro passa-basso avente frequenza di taglio pari a $14~{\text{kHz}}$. Detto in termini elementari, la risposta è no: la voce e le onde elettromagnetiche viaggiano su binari separati, in termini di frequenza.

Questo impedisce l'attivazione dei comandi vocali con qualsiasi cosa... che non sia la voce stessa.

La televisione

Antenne televisive

Quella che siamo abituati a chiamare antenna televisiva, in realtà è una combinazione di più antenne montate su un palo (tipicamente sul tetto dell'abitazione) deputate alla ricezione di segnali compresi nella banda 50 ÷ 850 MHz.

Per coprire questo vasto spettro di frequenze le antenne televisive sono – a loro volta – suddivise da antenne a larga banda con più conduttori di lunghezza diversa, corrispondenti alle specifiche frequenze da captare, oltre a essere ripetute, nel caso si debba ricevere il segnale da ripetitori siti in posti geograficamente differenti.

In generale gli elementi dell'antenna devono essere lunghi la metà della lunghezza d'onda del segnale che devono ricevere.

Esercizio Si osservino le varie antenne: qual è il rapporto tra le frequenze ricevute?

Innanzitutto si osservi che le singole antenne vere e proprie sono i singoli dipoli paralleli e disposti in ordine di lunghezze decrescente (per captare frequenze differenti). Nella figura dovrebbe essere evidente che esistono due tipologie di antenne, Una con lunghezza inferiore (di seguito $l_{1}$) e una seconda con dipoli più lunghi (di seguito $l_{2}$).

Anche se non si è esperti, si può congetturare il rapporto tra le frequenze ricevute misurando la lunghezza dei dipoli e ricordando che questa lunghezza è proporzionale alle lunghezze d'onda ricevute.

Pertanto si ha:

${\frac {l_{1}}{l_{2}}}\propto {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}={\frac {\frac {c}{F_{1}}}{\frac {c}{F_{2}}}}={\frac {F_{2}}{F_{1}}}.$

Si noti che più lungo è il dipolo, più bassa è la frequenza. Viceversa, per intercettare alte, o altissime frequenza, occorrono antenne via, via, sempre più piccole.

Il Radar

Diagramma per il calcolo della distanza mediante eco radar: $\tau$ è la durata dell'impulso radar, $\Delta T$ il tempo impiegato per raggiungere l'obiettivo (sia in andata, sia in ritorno), $T_{r}$ è il tempo tra due impulsi.

Il funzionamento del Radar è analogo al caso precedente. Come mezzo da localizzare, si utilizzano le dimensioni di un Boeing (circa $50~{\text{m}}$).

Esercizio Quale frequenza deve utilizzare un Radar per localizzare un velivolo?

${\begin{cases}\lambda =c/F\\F={\frac {c}{\lambda }}={\frac {200~000~{\text{km/s}}}{50~{\text{m}}}}=4~{\text{MHz}}\end{cases}}$

Naturalmente, utilizzando più frequenze e valutando quale viene riflettuta maggiormente, si identifica anche il modello del velivolo stesso.

E gli aerei stealth? Sono davvero invisibili?

In realtà, nessun velivolo è totalmente invisibile al radar. Rispetto a un aereo ordinario, un velivolo stealth ha solo un 15% di possibilità di essere attaccato. Dalla guerra in Bosnia (1995-1999) si sa che gli stealth sono rilevabili anche a grandi distanze, con l’uso di radar trans-orizzontali che usano onde corte ad ampiezza modulata (diversamente dai radar convenzionali).

Urbino chiama Sydney, rispondi Sydney...

La Terra è uno sferoide (fidatevi) con circonferenza pari a circa $40~000~{\text{km}}$; Sydney è una delle città più lontane in assoluto dalla città del Duca, quindi possiamo stimare la lunghezza dei cavi (essendo molto generosi, ipotizzando la migliore traiettoria (irrealistica) senza deviazioni strane e interruzioni) in $20~000~{\text{km}}$.

E no, non fatevi trarre in inganno dall'immagine, poiché ha due piccoli difetti:

1. la linea retta, non è il percorso più breve tra due punti, trattandosi di uno sferoide;
2. la linea retta, potrebbe essere il percorso più breve tra due punti, per chi fosse dotato della sfrenata fantasia di Jules Verne e volesse scrivere il sequel di Viaggio al centro della terra (e ritorno).

Pertanto, la connessione non seguirà quella linea, anche per venire incontro a problemi di natura geopolitica di non secondaria importanza.

Esercizio Dialogando con Sydney, quale sarà il ritardo nella trasmissione dati?

In una generica conversazione con l'altro capo del pianeta, il ricevente ascolterà la nostra voce con un ritardo $\Delta t$ pari a:

$\Delta t={\frac {s}{c}}={\frac {20~000~{\text{km}}}{200~000~{\text{km/s}}}}=0,1~{\text{s}}$.

Ciao Astrosamanta!

La Stazione Spaziale Internazionale in uno scatto fotografico del 29 maggio 2011.

La Stazione Spaziale Internazionale è un laboratorio scientifico internazionale che troviamo in orbita sin dal 20 novembre 1998. Il suo periodo di rivoluzione è di 92,7 minuti

Consideriamo, per semplicità di calcolo, l’atmosfera terrestre sino all’Aurora (troposfera, stratosfera, mesosfera e un tratto della termosfera) per un totale di $100~{\text{km}}$, e ricordiamo che l’apogeo della International Space Station (ISS), il punto più lontano dalla Terra che raggiunge, è $410~{\text{km}}$.

Esercizio Quanto tempo occorre per inviare un messaggio alla stazione orbitante?

Per inviare un messaggio alla ISS, se si considera – per approssimazione – la velocità della luce nell'atmosfera pari a $c_{a}=200~000~{\text{km/s}}$ e $c_{s}=300~000~{\text{km/s}}$ la velocità della luce nello spazio, si ottiene quanto segue:

${\begin{cases}t_{a}={\frac {s_{a}}{c_{a}}}={\frac {100~{\text{km}}}{200~000~{\text{km/s}}}}=0,5~{\text{ms}}\\t_{s}={\frac {s_{s}}{c_{s}}}={\frac {310~{\text{km}}}{300~000~{\text{km/s}}}}\simeq 1~{\text{ms}}\end{cases}}$,

da quanto precede, segue che:

$\Delta t=t_{a}+t_{s}=0,5~{\text{ms}}+1~{\text{ms}}=1,5~{\text{ms}}$.