Integrale generalizzato

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Siano $a,b\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},\ a<b$ e sia $f$ una funzione continua. Si dice che $f$ è integrabile in senso generalizzato su

1. $[a,b[$
2. $]a,b]$
3. $]a,b[$

se:

$f\in {\mathcal {C}}([a,b[,\mathbb {R} )$

Esiste finito

$\lim _{y\to b^{-}}\int _{a}^{y}f(x)dx$

$f\in {\mathcal {C}}(]a,b],\mathbb {R} )$

Esiste finito

$\lim _{y\to a^{+}}\int _{y}^{b}f(x)dx$

$f\in {\mathcal {C}}(]a,b[,\mathbb {R} )$

Per un $c\in ]a,b[$ $f$ è integrabile in senso generalizzato su $]a,c]$ e su$[c,b[$. In tal caso

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx$

Tenete ben presente che la scelta di $c$ non è affatto determinante.

Nota:
eventualmente fare la dimostrazione

In tutti questi casi, il limite finito (cioè l'integrale generalizzato) è per definizione uguale all'integrale $\int _{a}^{b}f(x)dx$ e si dice convergente.

Teorema

Sia $f\in {\mathcal {C}}([a,b[,\mathbb {R} )$. $F$ è integrabile in senso generalizzato su $[a,b[$ se e solo se

$\forall \varepsilon >0\ \exists {\mathcal {W}}\in {\mathcal {U}}_{b}\ :\ x,x'\in [a,b[\cup {\mathcal {W}}\Rightarrow \left|\int _{x'}^{x}f(t)dt\right|<\varepsilon$

Dimostrazione

Nota:
fare la dimostrazione

Proposizione

$\int _{a}^{b}|f(x)|dx\in \mathbb {R} \Rightarrow \int _{a}^{b}f(x)dx\in \mathbb {R}$

Dimostrazione

Nota:
fare la dimostrazione