Indicazioni per risolvere la piastra circolare con carico generico

Nel caso più generale in cui la piastra circolare sia sottoposta ad un carico generico che comunque rispetti ancora la simmmetria assiale è possibile comunque procedere come in precedenza calcolando per il caso particolare il valore del taglio $T_{r}$ e sostituire il risultato all'interno dell'equazione della superficie elastica. Tuttavia può risultare conveniente determinare la linea di influenza della piastra.

La linea di influenza della piastra

Nota:
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Per calcolare la linea di influenza della piastra è necessario preliminarmente considerare una piastra caricata secondo una circonferenza coassiale alla piastra stessa di raggio $R_{Q}$ da un carico lineare uniforme il cui valore complessivo è $Q$. In questo caso è necessario sdoppiare l'equazione della superficie elastica, dal momento che in corrispondenza del carico esiste una discontinuità statica. Ne derivano quattro costanti di integrazione, che devono essere opportunamente calcolate in base ai vincoli cui la piastra è sottoposta. In pratica, oltre alle condizioni che si sono già poste per i casi precedenti, è necessario aggiungere due ulteriori condizioni, e cioè l'uguaglianza in corrispondenza della superficie comune alle due superfici di influenza (cioè per $r=R_{Q}$) dell'abbassamento e dell'inclinazione della piastra. A titolo di esempio si riporta l'equazione della superficie elastica per piastra incastrata al contorno:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&v_{z}={\frac {Q}{8\pi B}}\left[-(R_{Q}^{2}+r^{2})\ln {\frac {R}{R_{Q}}}-(R_{Q}^{2}+r^{2})+{\frac {R^{2}+R_{Q}^{2}}{2R^{2}}}(R^{2}-r^{2})\right]&(r<R_{Q})\\&v_{z}={\frac {Q}{8\pi B}}\left[-(R_{Q}^{2}+r^{2})\ln {\frac {R}{R_{Q}}}+{\frac {R^{2}+R_{Q}^{2}}{2R^{2}}}(R^{2}-r^{2})\right]&(r>R_{Q})\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Dall'equazione così determinata è possibile arrivare a definire la linea di influenza per la generica caratteristica ricercata ponendo il carico $Q=1$. L'ascissa $r_{Q}$, in questo caso, rappresenta il parametro che tiene conto della posizione dell'ente viaggiante, che è rappresentato dal carico unitario secondo la circonferenza concentrica. Ad esempio la linea di influenza della freccia al centro per piastra incastrata, chiamata $x$ invece di $R_{Q}$ la posizione del carico, è la seguente:

$f={\frac {R^{2}-x^{2}-2x^{2}\ln {\frac {R}{x}}}{16\pi B}}$

Nota la linea di influenza, è possibile conoscere l'effetto ricercato (ad esempio la freccia massima o il momento flettente al centro) causato dal generico carico assial-simmetrico semplicemente dividendolo in più parti secondo corone circolari coassiali alla piastra e sommando gli effetti dovuti alle singole "strisce" di carico.

Si può dimostrare che qualora l'effetto ricercato sia la freccia al centro non esiste nemmeno la necessità che il carico sia effettivamente simmetrico rispetto all'asse della piastra, dal momento che questa quantità non cambia se il carico agente sulla circonferenza generica viene riunito in un carico concentrato appartenente alla circonferenza stessa, o se un carico concentrato viene traslato a patto che rimanga alla stessa distanza dal centro. Di conseguenza, è possibile trovare la freccia al centro per qualsiasi condizione di carico.

La piastra di forma anulare

Nota:
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Nel caso in cui la piastra ha al centro un foro di raggio $r_{f}$ le costanti di integrazione da determinare diventano tre: al contrario della piastra piena, infatti, non è più necessario che sia $C_{2}=0$, dal momento che questa imposizione era derivata dal fatto che in caso contrario la piastra al centro avrebbe avuto inclinazione infinita. Nel caso di piastra forata, tuttavia, $dv_{z}/dr(z=0)$ non ha più significato dal punto di vista fisico e può effettivamente avere valore infinito.

L'ulteriore incognita, tuttavia, non rappresenta un problema insormontabile, dal momento che è possibile imporre ulteriori condizioni ai limiti in corrispondenza del bordo interno della piastra, il quale può essere variamente vincolato.