Il cubo e la sfera (scuola media)

Dal cubo alla sfera modifica

Dalla terra al cielo. Il cubo è una delle forme che ci accompagna dall'inizio della storia, alla fine è la forma con la quale abbiamo deciso di misurare lo spazio, che però tendiamo a rappresentare sempre con una sfera, la sfera celeste.
Quanti metri cubi sarà grande lo spazio contenuto nella sfera celeste? Dal 1799 il cubo diventa la misura del volume e dunque dello spazio.
Eppure anche nella misura dello spazio, del volume, della capacità, non ci siamo sempre serviti del cubo. Le prima misure di capacità erano forme date con un campione, in alcune città presso le case comunali medievali è ancora possibile ritrovare le pietre con i buchi corrispondenti alle unità di misura in uso, un esempio è lo staio.

 
Staio di legno Museo Antica Casa Walser

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Una unità di misura dello spazio ancora in uso è ad esempio il litro. Nel 1861 l'Italia adottò il sistema metrico decimale.
Non avremmo mai potuto usare la sfera come campione per la misura del volume poiché accostandone due, quattro, otto lasciamo troppi spazio vuoto, lo capiamo bene quando cerchiamo di mettere nelle cassette le arance.[1]

Il cubo (terrestre) modifica

Preistoria modifica

Cubi in pietra sono stati rinvenuti in diversi ritrovamenti archeologici con datazioni che vanno da 2 milioni di anni fa fino ad 11 mila anni fa. Difficile individuarne l'utilizzo. Nel Neolitico (11.500-3.000 anni fa) lo sviluppo dell'agricoltura portò alla creazione di manufatti in ceramica e pietra anche a forma di cubo utilizzati come pesi, strumenti per la tessitura o elementi decorativi. Un esempio è la Pietra di Bosut (Bosnia ed Erzegovina) risalente al Paleolitico superiore (circa 25.000 anni fa).

Antico Egitto modifica

Dall'Antico Regno (2686-2181 a.C.) in poi: I cubi erano utilizzati come base per statue, altari e altri oggetti rituali. La forma cubica era associata alla stabilità e all'ordine, simboli importanti nella cultura egizia. Medio Regno (2040-1640 a.C.): La piramide di Dahshur, costruita per il faraone Sneferu, presenta una forma anomala a causa di un cambiamento dell'angolo di inclinazione durante la sua costruzione. Alcune interpretazioni la vedono come un cubo imperfetto. Un esempio il Dado di Gerusalemme piccolo cubo di pietra calcarea con incisioni su tutte le facce (VII secolo a.C.).

Antica Grecia modifica

V secolo a.C.: Il filosofo Platone utilizzò il cubo come simbolo del mondo intelligibile nella sua teoria delle Idee. IV secolo a.C.: Il cubo era un elemento fondamentale dell'architettura greca, utilizzato in templi, edifici pubblici e case. Il Partenone di Atene, ad esempio, è basato su un modulo cubico.

La geometria del cubo modifica

Dato il lato si può di conseguenza costruire un cubo e calcolarne facilmente superficie esterna e volume:

 

 

Il cubo sembrerebbe non poterci nascondere nulla, ma..

Il quadrato e la sua diagonale modifica

Già in due dimensioni però l'ombra del cubo il quadrato aveva mostrato la sua irrazionalità. Il povero Pitagora nel 550 p.e.v. ci aveva fatto i conti ed il fatto che il rapporto tra la diagonale e il lato del quadrato fosse un numero con un numero infinito di decimale non periodico, cioè senza ripetizioni infinite, aveva messo in crisi la sua filosofia, o perlomeno così si dice.

Il doppio del cubo modifica

Agli Ateniesi per far cessare la pestilenza, 430 p.e.v., l'oracolo di Delphi suggerisce di costruire un altare a forma di cubo che abbia un volume esattamente doppio rispetto al cubo che fa da altare dedicato ad Apollo sull'isola di Delo.

 
Cube and doubled cube

Volume doppio? Raddoppiamo il lato, purtoppo però

 

in questo modo il volume diventa 8 volte più grande e non va bene.

Quale deve essere dunque la misura del lato del cubo con volume doppio?

 

Questo rapporto, questo numero   sfortunatamente è un numero irrazionale con una espansione decimale infinita non periodica, ma almeno è algebrico, possiamo usare i calcoli per approssimarlo quanto vogliamo.

  ci renderà la vita più dura.


Epoca romana modifica

I secolo d.C.: Il cubo era utilizzato come elemento decorativo in mosaici, affreschi e sculture. IV secolo d.C.: L'imperatore Costantino I fece costruire la Basilica di San Costantino a Roma, con una pianta a forma di cubo.


Medioevo e Rinascimento modifica

Il cubo era utilizzato in vari contesti, dall'architettura militare (torri cubiche) a quella religiosa (campanili cubici). La prospettiva lineare, sviluppata nel Rinascimento, permise una rappresentazione più realistica del cubo in opere d'arte.

Età moderna e contemporanea modifica

Il cubo diventa una forma fondamentale nell'arte moderna, con artisti come Piet Mondrian e Kazimir Malevich che lo utilizzarono come elemento centrale delle loro opere. Il cubo è utilizzato in diversi campi, dall'architettura (cubo di Rubik) al design (cubo di vetro). In definitiva, la ricerca del primo "cubo" nella storia è un viaggio affascinante che ci porta attraverso diverse culture e epoche. La scoperta di oggetti cubici in contesti archeologici e la loro evoluzione nel tempo ci aiutano a comprendere lo sviluppo del pensiero umano e la sua relazione con la forma geometrica del cubo.

 
La terra al centro di un universo cubico



Il cubismo modifica

Disegnare girando intorno al soggetto da rappresentare ma a scatti...

 
Natalia First Post Neo Cubismo. 2016

Correnti artistiche inesistenti modifica

Lo sferismo non è mai esistito, sarebbe stato difficile rendere in un disegno la continuità del movimento attorno ad un soggetto. Forse alcuni quadri del futurismo...

 
Umberto Boccioni, 1913, Dynamism of a Cyclist (Dinamismo di un ciclista), oil on canvas, 70 x 95 cm, Gianni Mattioli Collection, on long-term loan to the Peggy Guggenheim Collection, Venice

Il cubo:architettura e design modifica

Cube-Design modifica

Cubo-Architettura modifica


Vivere in un cubo modifica

Vivere su un cubo modifica

Ammesso che la terra continuasse a girare come gira intorno al sole ma fosse a forma di cubo... Avremmo un polo nord che occupa tutta una faccia, e il polo sud di conseguenza, notte per metà anno, più marcata e grande freddo. Sulle facce laterali poi il clima sarebbe per tutti quello equatoriale. Avremmo coordinate molto semplici: sopra, in mezzo, sotto per la latitudine e a destra in mezzo a sinistra per la longitudine, certo che però poi per consegnare i pacchi si dovrebbe cercare la casa su tutta una faccia del cubo.

Il cubo film modifica

Una trappola mortale fatta di una infinità di cubi tieni prigioniere alcune persone Wikipedia-Il cubo-Film


Ipercubo di dalì modifica

 

L'ipercubo è il cubo nello spazio a 4 dimensioni. Il volume quadridimensionale occupato dall'ipercubo è limitato da cubi.

 
Ipercubo sviluppato

Il quadro raffigura una Crocifissione ed è conservato nel Metropolitan Museum of Art di New York. Il titolo della tela fa riferimento al fatto che la figura di Cristo non è inchiodata all'usuale croce, ma è magicamente sospesa nell'aria, accostata ad una struttura fatta da otto cubi che simulano la forma della croce, ma che in realtà esprimono la rappresentazione dello sviluppo, nello spazio tridimensionale, di un solido che si studia nella geometria della "quarta dimensione": il tesseratto, ossia un ipercubo quadridimensionale. alessandrocatania-zerog.com-Immagine di Corpus Hypercubus


La sfera nel cubo modifica

Nel Pantehon a Roma ci sta una sfera.

 
Pantheon section sphere

La sfera rappresentazione dell'universo modifica

Difficile capire quando ma pur vivendo su una terra percepita piatta l'uomo stava al centro della sfera, quale sfera? Quella delle stelle fisse, ma non erano fisse. Quella sulla quale girava il sole. Fortunatamente ad alcuni, greci obviusly, venne in mente il fatto che si percepiva una sfera proprio perché si viveva su una sfera in rotazione.

Difficile attestare con certezza quando per la prima volta nella storia dell'uomo la sfera è stata usata per rappresentare il cielo:

  • Antico Egitto:
    Testi piramidali (2300-2100 a.C.): In questi testi funerari, il cielo è spesso raffigurato come una sfera solida, con la Terra al centro.
  • Antica Grecia:
    Omero (VIII secolo a.C.): Nei poemi epici Iliade e Odissea, Omero descrive il cielo come una sfera solida che ruota attorno alla Terra.
  • Antica India:
    Upanishad (800-500 a.C.): Questi testi sacri induisti descrivono l'universo come un'entità divina, con la Terra al centro. Il cielo è visto come una sfera che avvolge la Terra.
  • Antica Cina:
    Zhuangzi (IV secolo a.C.): Questo testo taoista descrive il cielo e la Terra come due sfere che si muovono l'una attorno all'altra.
  • Epoca ellenistica:
    Claudio Tolomeo (II secolo d.C.): Tolomeo sviluppò un modello geocentrico dell'universo, in cui la Terra era al centro di un sistema di sfere concentriche che trasportavano i pianeti e le stelle. Questo modello rimase dominante per oltre 1400 anni.
 
Sphere wireframe 10deg 4r

Il cielo su un cubo modifica

Come girerebbero le stelle intorno a noi di notte se vedessimo il cielo a forma di cubo? Fino ad una certa quota dovrebbero oltrepassare lo i quattro spigoli intorno a noi e quelle nella faccia superiore invece girerebbero su cerchi concentrici.

 
Хексаедар

Vivere su una sfera modifica

Vivere su una sfera ci permette di vedere sferico anche il cielo e di rendere continui i movimenti celesti.

L'essere di Parmenide modifica

L'essere di Parmenide, quello dell'"...essere è non può non essere.." è una sfera. [2]Perchè una sfera perchè è sempre unguale a se stessa da qualsiasi parte la si guardi. Se la terra non avesse mari e monti e fosse una semplice sfera liscia sospesa nel vuoto, noi che vivremmo sulla superficie avremmo qualche difficoltà a capire dove siamo. Le stelle soltanto potrebbero aiutarci.

L'irrazionalità del cubo e della sfera modifica

Archimede e il volume della sfera modifica

Il rapporto tra il diametro e la circonferenza modifica

Il rapporto tra il diametro e la circonferenza è π , un numero irrazionale, talmente irrazionale da essere trascendente, cioè non può essere la soluzione algebrica di una equazione a coefficienti interi. (Ferdinand von Lindemann, 1882)

Il rapporto tra il raggio e il volume della sfera modifica

Se si conosce il raggio di una sfera si può calcolarne il volume con al formula  . sorprendentemente  , quello stesso numero che indica il rapporto tra diametro e circonferenza mantiene il suo ruolo anche nel calcolo del volume della sfera. Ed anche nel calcolo della superficie  .

Il rapporto tra lato e diagonale modifica

Ipersfera congettura modifica

Cubo e sfera topologia modifica

Il cubo e la sfera sono la stessa cosa topologicamente parlando. Immaginate di inserire un palloncino sferico dentro un palloncino cubico e di gonfiarlo, il palloncino sferico ad un certo punto gonfierà anche il palloncino cubico in modo uniforme, omogeneo, i due palloncini si confondono assumendo entrambi la stessa forma, non ci sono parti di palloncini molli sgonfie. Se invece uno dei due palloncini ha la forma di una ciambella, di un salvagente gonfiabile, infilato in una sfera la allargherà lasciando il centro sgonfio. Al contrario una sfera dentro un salvagente lascerà sempre un pezzo sgonfio'. La sfera e il cubo hanno la stessa forma, la ciambella è una altra forma. Se fossero coperti da una guaina elastica la potremmo togliere da entrambi facendo un piccolo buco, se fosse un palloncino li potremmo estrarre sciogliendo il nodo. Un anello contenuto in una guaina invece per essere estratto ha bisogno di un taglio, pensate ad una tazza con un manico, si può estrarre tagliando in cerchio all'interno del manico. Se poi inguainiamo due anelli collegati, a formare un otto, i tagli devono essere due e così via. Le forme si distinguono topologicamente in base al numero dei buchi. Il cubo e la sfera non hanno buchi, fori, e sono dunque , topologicamente, la stessa figura.

 
Spot the cow

Nell'immagine una mucca si trasforma topoligamente, con continuità senza strappi in una sfera.

...anche la mucca e la sfera sono topologicamente la stessa cosa.

Note modifica

  1. Matematicamente - Quesito Invalsi
  2. [1]

Bibliografia modifica

  • Morris Kline, Storia del pensiero matematico, Torino, Einaudi, 1991.
  • George W. Hart, The Cube: A Cultural History.
  • Jeffrey Weeks, The Shape of Space.
  • Michael J. Crowe, Mathematics and the Arts.

Collegamenti esterni modifica