I reticoli bravaisiani

La Tab. 8 elenca le 32 classi cristalline ripartendole in sette distinti sistemi: il sistema triclino, formato dai gruppi caratterizzati dalla presenza di un asse di ordine 1 (1 e -1); il monoclino, formato dai gruppi caratterizzati dalla presenza di un asse di ordine 2 (2, -2=m, 2 e -2 iso-orientati); il rombico (o ortorombico) caratterizzato dalla presenza di tre assi di ordine 2 ortogonali tra loro; il tetragonale caratterizzato dalla presenza di un asse di ordine 4; il trigonale, caratterizzato dalla presenza di un asse di ordine 3, l'esagonale, caratterizzato dalla presenza di un asse di ordine 6; il cubico, caratterizzato dalla presenza di quattro assi di ordine 3, orientati secondo le diagonali di un cubo.

La suddivisione delle classi cristalline nei sette sistemi è di grande utilità per la discussione dei vincoli che la simmetria rotazionale impone ai tipi di reticolo con essa compatibili. Per la derivazione dei possibili tipi di reticolo ci saranno utili i risultati ottenuti nella derivazione dei reticoli nello spazio bidimensionale. Invero ogni reticolo tridimensionale può ben essere descritto come costruito sulla base di un reticolo bidimensionale (vettori base a, b), che si ripete secondo un terzo vettore c. Nelle due dimensioni sono possibili cinque tipi di reticolo; occorrerà vedere come ‘sovrapporre' i diversi tipi di reticolo così da rispettare le diverse possibili simmetrie rotazionali in 3D.

7.3.1. Sistema triclino.

Le simmetrie 1 e -1 sono compatibili con il più generale tipo di reticolo, costruito a partire dal più generale tipo di reticolo bidimensionale (a ≠ b, γ ≠ 90°), ripetuto secondo un vettore c (non giacente nel piano a, b), di modulo e direzione qualsiasi, a costruire un reticolo caratterizzato, in generale, dalla metrica a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90°. È opportuno ricordare che ogni reticolo in 3D è inerentemente centrosimmetrico (per ogni generico vettore t si ha il vettore -t). Il reticolo ‘triclino' ora illustrato, compatibile con le simmetrie 1 e -1, ha simmetria -1.

7.3.2. Sistema monoclino.

Il più generale tipo di reticolo in 2D possiede simmetria rotazionale 2 (punti di rotazione di ordine 2); se tale tipo di reticolo (vettori di base t₁ e t₂) è ripetuto secondo un vettore t₃ = t_n (indicheremo anche nel seguito con t_n un vettore ortogonale al piano individuato da t₁ e t₂) l'allineamento dei punti di rotazione di ordine 2 consente la presenza di un asse di ordine 2: il reticolo è quindi compatibile con le simmetrie 2, m (-2) e 2/m del sistema monoclino (il reticolo ha ovviamente simmetria 2/m).

Fig. 38. Gli strati si succedono secondo un vettore t₃ = t_n. Reticolo P.

Poiché, nel sistema monoclino, l'asse di ordine 2 (sia esso 2 o -2) si assume generalmente come asse b, esso viene fatto coincidere con il vettore t_n. La cella elementare del reticolo così costruito ha punti reticolari solo ai vertici della cella (reticolo primitivo P) e la seguente metrica:

a ≠ b ≠ c, α = γ = 90°, β ≠ 90°.

Come sappiamo i punti di rotazione di ordine 2 ricorrono non solo in corrispondenza dei punti reticolari ma anche in altri punti (a metà dei lati di ogni maglia ed al centro della maglia stessa), come indicato nella Fig. 39. Ciò rende possibile l'allineamento verticale dei punti di rotazione anche con traslazioni t₃ che non siano ortogonali al piano t₁, t₂, purché esse abbiano componenti orizzontali t₁/2 o t₂/2 o (t₁+t₂)/2. I tre distinti casi sono illustrati nelle Figure 39, 40, 41 che seguono.

Fig. 39. Gli strati si succedono secondo un vettore t₃ = t₁/2+ t_n. Reticolo C.

Con t₃ = t₁/2 + t_n, la disposizione relativa degli strati 1 e 2 è illustrata in Fig. 39; ripetendo la traslazione t₃, lo strato 3 si colloca direttamente sopra lo strato 1. Con la scelta assiale indicata in Figura la cella risultante ha la stessa metrica di quella del reticolo primitivo, ma presenta punti reticolari non solo ai vertici ma anche sulla coppia di facce parallele al piano a, b (reticolo C centrato).

Con t₃ = t₂/2 + t_n, la disposizione relativa degli strati 1 e 2 è illustrata nella Fig. 40; ripetendo la traslazione t₃, lo strato 3 si colloca direttamente sopra lo strato 1. Con la scelta assiale indicata in Fig. 40 la cella risultante ha la stessa metrica di quella del reticolo primitivo, ma presenta punti reticolari non solo ai vertici ma anche sulla coppia di facce parallele al piano a, b (reticolo C centrato). Fig. 40. Gli strati si succedono secondo un vettore t₃ = t₂/2+ t_n. Reticolo C.

Con t₃ = (t₁+ t₂)/2 + t_n, la disposizione relativa degli strati 1 e 2 è illustrata nella Fig. 41; ripetendo la traslazione t₃, lo strato 3 si colloca direttamente sopra lo strato 1. Con la scelta assiale indicata in Fig. 41 la cella risultante ha la stessa metrica di quella del reticolo primitivo, ma presenta punti reticolari non solo ai vertici ma anche sulla coppia di facce parallele al piano a, b (reticolo C centrato).

Fig. 41. Gli strati si succedono secondo un vettore t₃ = (t₁+t₂)/2+ t_n. Reticolo C.

7.3.3. Sistema rombico.

I reticoli compatibili con le simmetrie 222, 2mm e 2/m 2/m 2/m possiedono, ovviamente, simmetria 2/m 2/m 2/m e sono ottenibili a partire da ognuna delle classi indicate. La nostra derivazione sarà condotta ricercando i tipi di reticolo tridimensionale compatibili con la simmetria puntuale 2mm. In 2D celle rettangolari semplici (p) e celle rettangolari centrate (c) presentano punti di rotazione di ordine 2 e due linee di riflessione ortogonali passanti per essi. Consideriamo innanzitutto il reticolo bidimensionale semplice (vettori base t₁ e t₂); se esso è ripetuto secondo un vettore t₃ = t_n l'allineamento degli elementi di simmetria (punti di rotazione 2 e linee di riflessione) consente il dispiegarsi della simmetria 2mm (Fig. 42). La cella del reticolo tridimensionale così ottenuto presenta punti reticolari solo ai vertici (reticolo P), con metrica:

a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90°.

L'esame della Fig. 42 mostra che l'allineamento degli elementi di simmetria ricorre anche con traslazioni t₃ che non siano ortogonali al piano t₁, t₂, purché esse abbiano componenti orizzontali t₂/2 o t₁/2 o (t₁+t₂)/2. Con t₃ = t₂/2 + t_n, la disposizione relativa degli strati 1 e 2 è illustrata in Fig. 43; ripetendo la traslazione t₃, lo strato 3 si colloca direttamente sopra lo strato 1. Con la scelta assiale indicata in Fig. 43 la cella risultante ha la stessa metrica di quella del reticolo primitivo, ma presenta punti reticolari non solo ai vertici ma anche sulla coppia di facce parallele al piano a, b (reticolo C centrato). Lo stesso tipo di reticolo si ottiene, con opportuna scelta assiale, anche applicando la traslazione t₃ = t₁/2 + t_n.

Fig. 42. Reticolo rombico P. In alto si ha la distribuzione degli elementi di simmetria, in basso sono indicati i punti reticolari. Gli strati si succedono secondo un vettore t₃ = t_n.

Fig. 43. Reticolo rombico C. In alto si ha la distribuzione degli elementi di simmetria, in basso sono indicati i punti reticolari (cerchi pieni negli strati dispari, cerchi vuoti negli strati pari. Gli strati si succedono secondo un vettore t₃ = t₂/2 + t_n.

Fig. 44. Reticolo rombico I. In alto si ha la distribuzione degli elementi di simmetria, in basso sono indicati i punti reticolari (cerchi pieni negli strati dispari, cerchi vuoti negli strati pari. Gli strati si succedono secondo un vettore t₃ = (t₁+t₂)/2 + t_n.

Con t₃ = (t₁+t₂)/2 + t_n, la disposizione relativa degli strati 1 e 2 è illustrata in Fig. 44; ripetendo la traslazione t₃, lo strato 3 si colloca direttamente sopra lo strato 1. Con la scelta assiale indicata in Fig. 44 la cella risultante ha la stessa metrica di quella del reticolo primitivo, ma presenta punti reticolari non solo ai vertici ma anche al centro della cella (reticolo I centrato).

Consideriamo ora il reticolo bidimensionale rettangolare centrato (con vettori di base t₁ e t₂). Se esso viene ripetuto secondo un vettore t₃ = t_n, oppure secondo un vettore t₃ = (t₁+t₂)/2 + t_n, si ottiene, operando in entrambi i casi secondo la scelta assiale a = t₁, b = t₂, c = t_n, il reticolo C centrato già ritrovato in precedenza.

Se esso viene invece ripetuto secondo un vettore t₃ = t₁/2 + t_n la disposizione relativa degli strati 1 e 2 è quella illustrata in Fig. 45; ripetendo la traslazione t₃, lo strato 3 si colloca direttamente sopra lo strato 1. Con la scelta assiale indicata in Fig. 45 la cella risultante ha la stessa metrica di quella del reticolo primitivo, ma presenta punti reticolari non solo ai vertici ma anche al centro di ogni faccia (reticolo F centrato). Lo stesso tipo di reticolo si ottiene, con opportuna scelta assiale, anche applicando la traslazione t₃ = t₂/2 + t_n.

Fig. 45. Reticolo rombico F. Sono indicati i punti reticolari (cerchi pieni negli strati dispari, cerchi vuoti negli strati pari. Gli strati si succedono secondo un vettore t₃ = t₁/2 + t_n.

7.3.4. Sistema tetragonale.

Nello spazio bidimensionale il punto di rotazione di ordine 4 è compatibile con il reticolo a maglia quadrata. Se tale reticolo (vettori di base t₁ e t₂) è ripetuto secondo un vettore t₃ = t_n l'allineamento dei punti di rotazione di ordine 4 consente la presenza di assi ‘quaternari'. Poiché, nel sistema tetragonale, l'asse di ordine 4 si assume generalmente come asse c, esso viene fatto coincidere con il vettore t_n. La cella elementare del reticolo così costruito ha punti reticolari solo ai vertici della cella (reticolo primitivo P) e la seguente metrica:

a = b ≠ c, α = β = γ = 90°.

Fig. 46. Distribuzione dei punti di rotazione di ordine 4 nella maglia ‘quadrata'.

L'esame della Fig. 46 mostra che l'allineamento dei punti di rotazione di ordine 4 ricorre anche con traslazione t₃ = (t₁+t₂)/2 + t_n. Con tale traslazione la disposizione relativa dei punti reticolari degli strati 1 e 2 è illustrata nella Fig. 47; ripetendo la traslazione t₃, lo strato 3 si colloca direttamente sopra lo strato 1. Con la scelta assiale indicata in Fig. 47 la cella risultante ha la stessa metrica di quella del reticolo primitivo, ma presenta punti reticolari non solo ai vertici ma anche al centro della cella (reticolo I centrato).

Fig. 47. Reticolo tetragonale I. Sono indicati i punti reticolari (cerchi pieni negli strati dispari, cerchi vuoti negli strati pari. Gli strati si succedono secondo un vettore t₃ = (t₁+t₂)/2 + t_n.

7.3.5. Sistema trigonale.

Nello spazio bidimensionale il punto di rotazione di ordine 3 è compatibile con il reticolo a losanga (angolo di 120°). Se tale reticolo (vettori di base t₁ e t₂) è ripetuto secondo un vettore t₃ = t_n l'allineamento dei punti di rotazione di ordine 3 consente la presenza di assi ‘ternari'. Poiché, nel sistema trigonale, l'asse di ordine 3 si assume generalmente come asse c, esso viene fatto coincidere con il vettore t_n. La cella elementare del reticolo così costruito ha punti reticolari solo ai vertici della cella (reticolo primitivo P) e la seguente metrica:

a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°.

L'esame della Fig. 48 mostra che l'allineamento dei punti di rotazione di ordine 3 ricorre anche con traslazione t₃ = t₁/3 + 2t₂/3 + t_n. (oppure t₃ = 2t¹/3 + t²/3 + t_n). Con tale traslazione la disposizione relativa dei punti reticolari degli strati 1 (cerchi neri), 2 (cerchi rossi), 3 (cerchi verdi) è illustrata nella Fig. 49; ripetendo ancora una volta la traslazione t₃, lo strato 4 si colloca direttamente sopra lo strato 1. Con la scelta assiale indicata in Fig. 49 la cella risultante ha la stessa metrica di quella del reticolo primitivo, ma presenta punti reticolari non solo ai vertici ma anche lungo la diagonale lunga della cella, a 1/3 e 2/3 di essa (reticolo R centrato).

Fig. 48. Distribuzione dei punti di rotazione di ordine 3 nella maglia a losanga.

Fig. 49. Reticolo trigonale R. Sono indicati i punti reticolari (cerchi pieni nello strato 1, rossi nello strato 2, verdi nello strato 3. Gli strati si succedono secondo un vettore t3 = t1/3 + 2t2/3 + tn.

La cella nel reticolo R è una cella ‘tripla'. Come in tutti i casi precedenti di celle multiple, si può scegliere una cella semplice per descrivere il reticolo in oggetto; ovvero la scelta della cella multipla è di convenienza, è la scelta di quella cella che, con la sua metrica, più immediatamente esprime le proprietà di simmetria del reticolo. Nel caso presente la corrispondente cella semplice è quella in cui i tre vettori base sono il vettore t₃ e i due altri vettori che da esso si ottengono per azione dell'asse ternario. La cella semplice risultante è romboedrica (ciò spiega anche la notazione R usata per la corrispondente cella multipla) definita dalla metrica a = b = c, α = β = γ ≠ 90°.

7.3.6. Sistema esagonale.

Nello spazio bidimensionale il punto di rotazione di ordine 6 è compatibile con il reticolo a losanga già incontrato (angolo di 120°). Abbiamo anche visto che punti di rotazione di ordine 6 ricorrono soltanto ai vertici della cella elementare. Pertanto c'è un solo modo di ripetere il reticolo bidimensionale (vettori di base t₁ e t₂) in modo che l'allineamento dei punti di rotazione di ordine 6 consenta la presenza di assi ‘senari', ovvero con una traslazione t₃ = t_n. Assumendo l'asse di ordine 6 asse c, esso viene fatto coincidere con il vettore t_n. La cella elementare del reticolo così costruito ha punti reticolari solo ai vertici della cella (reticolo primitivo P) e la seguente metrica: a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°. Tale reticolo P non è nuovo; infatti esso è già stato incontrato nella nostra presentazione dei reticoli del sistema trigonale.

7.3.7. Sistema cubico.

La simmetria 23 è la simmetria comune ai cinque gruppi del sistema cubico. La distribuzione degli assi binari e degli assi ternari è illustrata nella Fig. 34. In assenza dei vincoli imposti dagli assi ternari, ovvero in presenza dei soli assi binari del gruppo 222, i tipi di reticolo compatibili sarebbero quelli del sistema cubico, ovvero P, C, I, F con metrica: a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90°. La presenza degli assi ternari impone innanzitutto la metrica a = b = c, α = β = γ = 90°; in secondo luogo esclude la possibilità di un reticolo C centrato, ovvero con centratura di una sola coppia di facce. Pertanto i tre possibili reticoli del sistema cubico sono: P, I, F. I due reticoli I ed F possono essere descritti – invece che con cella doppia e quadrupla, rispettivamente – con celle semplici, romboedrica con angolo di 109°28' l'una, romboedrica con angolo di 60° l'altra.

I quattordici tipi di reticolo sono enumerati nella Tabella 9.

Tab. 9. I quattordici reticoli bravaisiani.

Sistema triclino	P
Sistema monoclino	P	C
Sistema rombico	P	C	I	F
Sistema tetragonale	P	I
Sistema trigonale	P	R
Sistema esagonale	(P)
Sistema cubico	P	I	F