I criteri di resistenza

Introduzione

Fig.1 : è necessario precisare che generalmente i valori della σ_p (detta di proporzionalità) e σ_s (detta di snervamento) sono molto prossimi tra loro e per tale motivo vengono confusi nell'unica σ_s

Le caratteristiche fondamentali di resistenza di un materiale vengono ricavate attraverso prove meccaniche, sottoponendo un particolare provino a sollecitazioni applicate da apposite macchine pneumatiche o oleodinamiche. Ne è un esempio fondamentale la prova di trazione monoassiale, dalla quale è possibile estrapolare dati sufficienti alla creazione di un primitivo diagramma $\sigma -\varepsilon$ (Fig 1).

Domini di resistenza

Fig.2 : differenze di comportamento in trazione e compressione per materiali diversi.

Affinché le strutture lavorino in sicurezza è necessario che le tensioni massime di sollecitazione (siano esse di compressione o di trazione) a cui è sottoposto il materiale, siano comprese nei range a comportamento elastico (Fig.2). Per i materiali che presentano comportamento speculare, sia in trazione che in compressione (come per esempio per gli acciai), generalmente nei manuali si riporta un solo valore assoluto di tensione massima σ_L (detta limite). Va specificato però che tale approccio è alquanto inadatto per delle condizioni di sollecitazione generiche. Infatti nelle condizioni di stato di tensione pluriassiale, la definizione di verifica di resistenza non è più utilizzabile poiché il dominio di resistenza non è più un intervallo (o campo), ma un solido tridimensionale descritto da una superficie limite. Tali superfici limite potrebbero ricavarsi sperimentalmente, ma richiederebbero un numero di prove e provini troppo elevato tanto da rendere inutilizzabile questa possibilità. Per questo motivo si ricorre a metodi a metà strada tra l'approccio empirico e quello teorico: i cosiddetti criteri di resistenza.

Fig.3 : esempio di dominio di resistenza

I criteri

Definiamo prima di tutto per semplicità, per un corpo generico in un sistema principale d'inerzia, un tensore di tensione T e la corrispondente superficie limite generica:

$T={\begin{bmatrix}s1&0&0\\0&s2&0\\0&0&s3\\\end{bmatrix}}$ tale che $s_{1}\geqslant s_{2}\geqslant s_{3}$

I tali condizioni i principali criteri di resistenza sono:

Criterio di Galileo-Navier (o della massima e minima tensione normale)

Oggi questo metodo non è più utilizzato. Esso prevede che la crisi del materiale sia legata direttamente al raggiungimento delle σ_L'(inferiore) e σ_L''(superiore).

${\begin{cases}s_{1}\leqslant \sigma '_{L}\\s_{3}\geqslant \sigma ''_{L}\end{cases}}$

Criterio di Beltrami

È un criterio energetico e puramente teorico (non essendo supportato da corrispondenze empiriche, non è utilizzato nella pratica ingegneristica). Secondo tale criterio la crisi del materiale è attribuita al raggiungimento del valore limite dell'energia elastica immagazzinata al'interno del corpo (in condizioni di tensione monoassiale):

$\varphi \leqslant \varphi _{L}$

Criterio di Grashoff (o della massima e minima dilatazione)

Questo metodo è utilizzato per materiali fragili che non presentano comportamento speculare $(\sigma '_{L}\neq \sigma ''_{L})$ ed afferma che la crisi del materiale sia prodotta dal raggiungimento della minima o massima dilatazione.

${\begin{cases}\varepsilon _{1}\leqslant \varepsilon '_{L}\\\varepsilon _{3}\geqslant \varepsilon ''_{L}\end{cases}}$

Criterio di Tresca (o della massima tensione tangenziale)

Sfruttato per materiali con comportamento speculare $(\sigma '_{L}=\sigma ''_{L})$ , tale criterio non tiene conto del tipo di sollecitazione in gioco ed afferma che, responsabile della crisi del materiale è il raggiungimento della massima tensione tangenziale all'interno del corpo (condizione che si ottiene quando i piani di scorrimento del materiale sono disposti a 45° rispetto alla direzione della sollecitazione).

$s_{1}-s_{3}\leqslant \sigma _{L}$

Criterio di Von Mises ( o della massima energia di distorsione)

Questo criterio è applicabile su materiali isotropi che presentano comportamento speculare $(\sigma '_{L}=\sigma ''_{L})$ . Esso afferma che la crisi del materiale sia dovuta solo alla parte deviatorica dello sforzo (per meglio comprendere il concetto è possibile fare una analogia al caso idrodinamico di un corpo immerso in un fluido: per quanto alta possa essere alta la pressione, il corpo non entra mai in crisi, e ciò è dimostrato anche sperimentalmente, ma si deforma). Se quindi scomponiamo nella loro parte deviatorica e sferica i tensori T ed E, possiamo ricavare φ, energia elastica, e trarne una condizione di resistenza per il materiale. $\varphi _{D}\leqslant \varphi _{L}$

Sicurezza delle strutture

Ogni criterio di resistenza fin qui esposto basa le proprie ipotesi e tesi su dati certi, ovvero affrontano lo studio della crisi del materiale in maniera deterministica. I dati utilizzati però come anche tutte le grandezze in gioco sono generalmente incognite o note in maniera probabilistica. Ecco perché durante la progettazione risulta più adeguato trattare la soluzione ai criteri di resistenza in maniera probabilistica.

Dati di partenza:

$T={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\''&T_{22}&T_{23}\\''&''&T_{33}\\\end{bmatrix}}$ $,\sigma '_{L},\sigma ''_{L},\alpha ,\beta$

dove $\alpha \beta =\nu$ coefficiente di sicurezza globale

Partendo da tali dati è possibile ottenere la nuova condizione di sicurezza (per situazioni di sollecitazione monoassiale):

$T_{33}\leqslant \sigma _{L}\longrightarrow \alpha T_{33}\leqslant {\frac {\sigma _{L}}{\beta }}\longrightarrow T_{33}\leqslant {\frac {\sigma _{L}}{\alpha \beta }}={\frac {\sigma _{L}}{\nu }}=\sigma _{AMM}$

Pertanto la nuova condizione di sicurezza è: $T_{33}\leqslant \sigma _{AMM}$

Nelle condizioni di sollecitazione pluriassiale vengono invece sfruttati i criteri affinati di Tresca e Von Mises:

$\sigma _{ID}\leqslant \sigma _{AMM}\longrightarrow {\begin{cases}\sigma _{ID}={\sqrt {T_{33}^{2}+4(T_{13}^{2}+T_{23}^{2})}}\rightsquigarrow Tresca\\\sigma _{ID}={\sqrt {T_{33}^{2}+3(T_{13}^{2}+T_{23}^{2})}}\rightsquigarrow VonMises\end{cases}}$

Per le strutture a tensioni più elevate, o comunque complesse, il criterio di Tresca è il più indicato rispetto al criterio di Von Mises, poiché fornisce un valore di $\sigma _{ID}$ più elevato e quindi più restrittivo, dato che ci si avvicina di più alla $\sigma _{AMM}$ limite della situazione di sicurezza. Tali criteri vanno applicati nei punti critici della struttura.

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