Gruppi del punto tridimensionali

Nel caso dello spazio bidimensionale abbiamo ricavato innanzitutto i gruppi di rotazioni proprie; abbiamo poi introdotto l'unica operazione impropria in 2D (la linea di simmetria), completando quindi la derivazione di tutti i gruppi di rotazioni proprie e improprie in due dimensioni. Abbiamo poi imposto le limitazioni conseguenti alla natura reticolare degli ornamenti, così ottenendo i dieci gruppi cristallografici del punto (in 2D). Seguiremo anche per lo spazio tridimensionale la stessa strategia di derivazione.

7.1.1. Rotazioni proprie in 3D: gruppi ciclici.

Ai gruppi ciclici di rotazioni attorno ad un punto nello spazio 2D, corrispondono in 3D altrettanti gruppi ciclici di rotazioni attorno ad un asse:

C₁ C₂ C₃ C₄ …… C_n ……

Ad esempio con C₄ indichiamo il gruppo di rotazioni proprie E (identità), R_90°, R_180°, R_270° attorno ad un asse (asse ‘quaternario').

In generale R_iR_j = R_jR_i, ovvero i gruppi ciclici di rotazioni proprie sono commutativi.

7.1.2. Rotazioni proprie in 3D: gruppi diedrici

La configurazione spaziale rappresentata nella Fig. 28 che segue e corrispondente al gruppo del punto in 2D che abbiamo denotato D₄' (4mm) è riportata in sé dalle rotazioni proprie e dalle quattro linee di riflessione. Nello spazio 3D tale configurazione può essere riportata in sé mediante sole operazioni proprie: le rotazioni attorno all'asse ‘quaternario' (indicato A₄) e le quattro rotazioni di 180° attorno a quattro assi orizzontali (indicati A₂) disposti, come le linee di riflessione nella configurazione bidimensionale, a intervalli angolari di 45°. Fig. 28. Dal gruppo del punto D4' (4mm) in 2D al gruppo D4 (422) in 3D.

Tale configurazione, la cui simmetria denoteremo D₄, è caratterizzata dalle 8 operazioni proprie qui di seguito elencate e disposte come illustrato nella parte destra della figura:

D₄ E, R_90°, R_180°, R_270°, ^AR_180°, ^BR_180°, ^CR_180°, ^DR_180°.

Agli infiniti gruppi D₁', D₂', D₃', D₄',…… D_n',…… corrispondono, in 3D, gli infiniti gruppi diedrici: D₂, D₃, D₄,…… D_n,…… di sole rotazioni proprie. Nell'elenco abbiamo omesso il gruppo D₁ (E, R_180°) poiché esso corrisponde al gruppo ciclico C₂.

7.1.3. Rotazioni proprie in 3D: gruppi di rotazioni proprie dei poliedri regolari

Si può completare la derivazione di tutti i gruppi di rotazioni proprie in 3D con l'introduzione dei gruppi di rotazioni proprie dei poliedri regolari. A differenza di quanto accade nelle due dimensioni (esistono infiniti poligoni regolari), "...la situazione è del tutto diversa nello spazio tridimensionale: nello spazio non esiste un numero infinito di poliedri regolari; ve ne sono solo cinque, spesso chiamati i ‘solidi platonici' per la parte di primo piano a loro riservata da Platone nella sua filosofia della natura. Essi sono: il tetraedro regolare, il cubo, l'ottaedro, il dodecaedro (le cui facce sono 12 pentagoni regolari), e l'icosaedro (le cui facce sono venti triangoli equilateri)" (da Weyl, La simmetria).

Si hanno solo tre nuovi gruppi. Infatti ottaedro e cubo da una parte, pentagonododecaedro e icosaedro dall'altra sono solidi polari; in ogni coppia di solidi polari a facce dell'uno corrispondono vertici dell'altro e viceversa; qualsiasi rotazione che lasci invariato l'uno lascia invariato anche l'altro. La figura polare del tetraedro è lo stesso tetraedro (si scambiano le posizioni di vertici e facce). Nel seguito sono riportati i cinque poliedri regolari (Fig. 29, 30, 31) con indicazione della posizione degli assi di simmetria (A_n indica un generico asse di ordine n), degli elementi (facce, vertici e spigoli) del poliedro, nonché dell'ordine del corrispondente gruppo di simmetria (numero delle operazioni presenti). Fig. 29. Il tetraedro con descrizione della disposizione relativa degli assi di ordine 2 e 3.

Tetraedro: 4 facce a triangolo equilatero, 4 vertici, 6 spigoli Elementi di simmetria: E 4A₃ 3A₂ Il gruppo di simmetria è indicato con T (nella notazione di Schoenflies) e ha ordine 12.

Fig. 30. Ottaedro e cubo con descrizione della disposizione relativa degli assi di ordine 4, 3 e 2.

Ottaedro: 8 facce a triangolo equilatero, 6 vertici, 12 spigoli Cubo: 6 facce quadrate, 8 vertici, 12 spigoli Elementi di simmetria comuni ai due poliedri: E 4 A₃ 3 A₄ 6 A₂ Il gruppo di simmetria è indicato con O (nella notazione di Schoenflies; talora è indicato con K) e ha ordine 24.

Fig. 31. Dodecaedro e icosaedro con descrizione della disposizione relativa degli assi di ordine 4, 3 e 2.

Dodecaedro: 12 facce a pentagono regolare, 20 vertici, 30 spigoli Icosaedro: 20 facce a triangolo equilatero, 12 vertici, 30 spigoli Elementi di simmetria comuni ai due poliedri: E 6 A₅ 10 A₃ 15 A₂ Il gruppo di simmetria è indicato con I (nella notazione di Schoenflies; talora è indicato con P) e ha ordine 60.

Si osservi come il numero delle facce F, dei vertici V e degli spigoli S soddisfino la relazione di Eulero: F + V = S + 2.

Con l'introduzione dei tre gruppi T, O ed I la derivazione dei gruppi di rotazioni proprie in 3D è completata: C_n, D_n, T, O, I costituiscono l'insieme di tali gruppi.

7.1.4. Operazioni improprie

Nello spazio bidimensionale la sola operazione impropria è la linea di simmetria. In tre dimensioni si hanno le seguenti operazioni improprie.

La inversione rispetto ad un punto: dato un oggetto, l'oggetto inverso si ottiene facendo corrispondere ad ogni punto a coordinate x, y, z, il punto a coordinate –x, -y, -z; i e -1 sono i simboli utilizzati per denotare l'inversione nella notazione di Schoenflies e nella notazione internazionale (o cristallografica, o di Mauguin), rispettivamente.

La riflessione rispetto a un piano: se il piano è a,b l'oggetto riflesso si ottiene facendo corrispondere ad ogni punto a coordinate x, y, z, il punto a coordinate x, y, -z; σ e m sono i simboli utilizzati per denotare il piano di riflessione nella notazione di Schoenflies e nella notazione internazionale, rispettivamente.

Le rotoinversioni: la operazione di rotoinversione di ordine n è una operazione composta di una rotazione di 2π/n attorno ad un asse, seguita dall'inversione rispetto ad un punto giacente sull'asse; -n è la notazione utilizzata per indicare il corrispondente elemento di simmetria (notazione internazionale).

Le rotoriflessioni: la operazione di rotoriflessione di ordine n è una operazione composta di una rotazione di 2π/n attorno ad un asse, seguita dalla riflessione nel piano ortogonale all'asse. S_n è la notazione utilizzata per indicare il corrispondente elemento di simmetria (notazione di Schoenflies).

Si può mostrare che la configurazione spaziale che si ottiene operando con un asse di rotoinversione è ottenibile anche operando con un asse di rotoriflessione, anche se i loro ordini sono generalmente diversi. In particolare:

assi di rotoinversione di ordine n, con n dispari, corrispondono ad assi di rotoriflessione di ordine 2n;

assi di rotoinversione di ordine n, con n = 4m+2 (ovvero n = 2, 6, 10,…), corrispondono ad assi di rotoriflessione di ordine n/2;

assi di rotoinversione di ordine n, con n = 4m (ovvero n = 4, 8, 12,..) coincidono con assi di rotoriflessione dello stesso ordine.

È pertanto possibile introdurre, accanto alla inversione ed alla riflessione, le sole rotoinversioni, tralasciando le rotoriflessioni. È questa la scelta effettuata nel sistema di notazione internazionale (o cristallografica, o di Mauguin), nel quale gli assi di rotoinversione (e i relativi gruppi di simmetria) sono indicati -1, -2, -3, -4, ... A stretto rigore anche l'inversione in un punto e la riflessione in un piano potrebbero essere tralasciate, poiché esse corrispondono a operazioni di rotoinversione di ordine 1 e 2, rispettivamente. La notazione di Schoenflies (utilizzata dagli spettroscopisti e dai chimici teorici) privilegia invece gli assi di rotoriflessione.

È importante sottolineare il fatto che tutte le operazioni improprie si possono considerare come prodotto di una rotazione propria e dell'inversione:

σ = i C₂

S_n = σC_n = i C₂ C_n = i C_m

È da osservare che non tutti i gruppi impropri contengono l'inversione come operazione di simmetria singolarmente presente. Essa può anche presentarsi come fattore in una operazione composta.

7.1.5. Derivazione dei gruppi impropri

Siano R_n le rotazioni proprie e S_n le rotazioni improprie nel generico gruppo improprio G. Valgono, ovviamente, le relazioni:

R_i R_j = R_k (a)

S_i S_j = R_k (b)

Struttura dei gruppi impropri

Lemma 1

Ogni gruppo improprio G deve contenere operazioni proprie altrimenti, secondo (b), non sarebbe chiuso.

Lemma 2

. Da (a) discende che le operazioni proprie di G, R₁, R₂, R₃,…. formano gruppo.

Teorema

Se R₁, R₂,…. R_n è il sottogruppo di operazioni proprie in G e S è una qualsiasi operazione impropria di G, allora tutte le operazioni di G sono esprimibili come:

R₁ R₂ R₃ …… . R_n

SR₁ SR₂ SR₃ ..........SR_n

Infatti anche S^-1 è in G ed è operazione impropria. Per qualsiasi operazione impropria S_i sarà:

S^-1 S_i = R_j S S^-1 S_i = S R_j (c. v. d.).

Gruppi impropri con inversione

La struttura di tali gruppi impropri, aventi l'inversione come operazione singolarmente presente, è molto semplice:

R₁ R₂ R₃ …… R_n

iR₁ iR₂ iR₃ ...........iR_n

Ogni gruppo proprio G genera un gruppo improprio con inversione.

Gli infiniti gruppi di rotazioni proprie C_n, 'D_n, T, O, I generano altrettanti gruppi contenenti l'inversione, gruppi che potremmo convenientemente indicare (in attesa di dare le corrispondenti notazioni di Schoenflies ed internazionale):

-C_n, -D_n, -T, -O, -I

Gruppi impropri senza inversione

Consideriamo il gruppo improprio G:

R₁ R₂ R₃ …… R_n (a)

SR₁ SR₂ SR₃ ..........SR_n

Apportiamo in esso la sostituzione, sempre possibile, S = i R'.

G risulta ora:

R¹ R₂ R₃ …… R_n

i R'R₁ i R'R₂ i R'R₃ ...... i R'R_n

ovvero:

R₁ R₂ R₃ …… R_n (b)

i R₁' i R₂' i R₃' ...... i R_n'

con R_i' = R' 'R_i

Tutte le rotazioni proprie in (b), sole o associate all'inversione, formano un gruppo G:

R₁ R₂ R₃ …… R_n (c)

R₁' R₂' R₃' ...... R_n'

Infatti, dalla (b) si ha che iR_i' iR_j' = R_k, con R_k nella 1_a fila di (b) e anche di (c). D'altra parte iR_i' iR_j' = R_i'R_j', quindi in (c) R_i'R_j' = R_k. Il gruppo (c) è quindi chiuso.

Se ne conclude che ogni gruppo improprio G di ordine n senza inversione può essere ricavato da un gruppo proprio G di ordine n e contenente un sottogruppo di ordine n/2 (sottogruppo dimezzante), lasciando invariate le operazioni di tale sottogruppo e moltiplicando le operazioni residue per l'inversione.

Ad esempio: il gruppo proprio C₄ (E, R_90°, R_180°, R_270°) ha come sottogruppo dimezzante C₂ (E, R_180°). Le due operazioni di C₂ costituiscono le operazioni proprie del gruppo improprio che stiamo formando; le due operazioni improprie si ottengono dalle due rotazioni residue in C₄ (R_90°, R_270°) moltiplicandole per l'inversione. Il gruppo così ottenuto:

E R_180°

iR_90° iR_270°

può essere provvisoriamente indicato, tenuto conto della modalità di derivazione, come C₄C₂.

In generale, dai già ricordati gruppi propri C_n, D_n, 'T, O, I, possono essere derivati i seguenti gruppi impropri non contenenti l'inversione come operazione singolarmente presente:

C_2nC_n (n = 1, 2, 3,…)

D_nC_n (n = 1, 2, 3,….)

D_2nD_n (n = 2, 3,….)

OT

L'ultimo gruppo è reso possibile dal fatto che il gruppo T delle rotazioni proprie del tetraedro è sottogruppo dimezzante del gruppo O delle rotazioni proprie dell'ottaedro.

(Esercitazione sui gruppi del punto. Vai a PAGINA INTERATTIVA )