Gruppi del punto bidimensionali
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6.1.1 Gruppi di rotazioni proprie
modificaIl cerchio ha evidentemente la simmetria descritta dal gruppo di tutte le rotazioni nel piano, un gruppo infinito (contiene un numero infinito di operazioni di simmetria). Vogliamo determinare i gruppi finiti di rotazioni e prenderemo in esame innanzitutto i gruppi di rotazioni proprie.
Un qualsiasi gruppo di rotazioni proprie dovrà contenere l'operazione identità (elemento unità del gruppo E, rotazione di 0° ovvero R360°); se poi il gruppo contiene la rotazione Rα, conterrà di necessità anche R2α, R3α, ....Rnα. Affinché il gruppo sia finito dovrà essere:
- Rnα = E, (6.1)
ovvero:
- nα = 2π α = 2π/n (6.2)
Le operazioni del gruppo sono:
- E, Rα, R2α,....R(n-1)α.
Il gruppo di tali n operazioni si chiama gruppo ciclico e si indica Cn
Poiché
- R2α = RαRα = (Rα)2 (6.3)
- R3α = RαRαRα = (Rα)3 (6.4)
- ............
- R(n-1)α = RαRα........Rα = (Rα)n-1 (6.5)
il gruppo ciclico Cn si può anche descrivere come costituito dalle operazioni: E, Rα, (Rα)2.... (Rα)n-1, con (Rα)n = E.
Esistono infiniti gruppi ciclici:
C1, C2, C3, ......Cn,......
È opportuno osservare che i gruppi ciclici sono abeliani (commutativi). L'inverso di una generica operazione Rα di un gruppo ciclico è l'operazione R(n-1)α = (Rα)n-1. Infatti Rα(Rα)n-1 = E.
Nella Figura 7 sono rappresentate configurazioni spaziali corrispondenti alle simmetrie dei gruppi ciclici C1, C2, C3, C4.
6.1.2 Gruppi impropri
modificaRotazione impropria nel piano è la riflessione in una linea. Introduciamo tale operazione in un gruppo ciclico generico, costituito dalle operazioni E, Rα, R2α,....R(n-1)α. La linea di riflessione dovrà passare per il punto attorno al quale si compiono le rotazioni, poiché vogliamo costruire un gruppo del punto (gruppo di rotazioni proprie ed improprie che lasciano immobile almeno un punto).
L'introduzione della linea di riflessione m1 significa che dovremo avere anche le operazioni Rαm1, R2αm1,..... La Fig. 8 mostra che l'operazione Rαm1 equivale ad una riflessione in una linea m2 posta ad un angolo di α/2 rispetto a m1.
Pertanto, l'introduzione di una linea di riflessione m1 accanto alle operazioni del gruppo C4 (E, R90°, R180°, R270°) comporta l'introduzione di altre tre linee: m2, m3, m4, facenti con m1 angoli di 45°, 90°, 135° rispettivamente. Ancora: l'introduzione di una linea di riflessione m1 accanto alle operazioni del gruppo C3 (E, R120°, R240°) comporta l'introduzione di altre due linee: m2, m3, facenti con m1 angoli di 60°, 120°, rispettivamente. In generale l'introduzione di una linea di riflessione m1 accanto alle operazioni proprie di un gruppo ciclico Cn comporta l'introduzione di altre n-1 linee di riflessione m2, m3,....mn, facenti con m1 angoli di α/2, α, 3α/2, 2α,....(n-1)α/2.
L'insieme di tutte le rotazioni proprie e improprie (riflessioni) di tale gruppo, in totale 2n operazioni, verrà indicato con Dn'.
Dall'esame della Figura 9 sono immediatamente evidenti importanti aspetti della struttura dei gruppi impropri: ogni gruppo improprio di ordine n è costituito da n/2 operazioni proprie (esse costituiscono gruppo - sottogruppo dimezzante del gruppo dato) e da n/2 operazioni improprie. Inoltre, le operazioni improprie possono essere ottenute prendendo una qualsiasi di esse (m1 nell'esempio di Fig. 9a). Una dimostrazione rigorosa di tali aspetti sarà data quando tratteremo dei gruppi del punto in tre dimensioni.
Ad ogni gruppo ciclico Cn corrisponde un gruppo Dn': è opportuno osservare come Cn sia sottogruppo dimezzante di Dn'. Tutti i possibili gruppi finiti di rotazioni (proprie e improprie) del piano sono riassunti nella tabella seguente (tavola di Leonardo).
| C1 | C2 | C3 | C4 | … | Cn |
| D1' | D2' | D3' | D4' | … | Dn' |
6.1.3 Gruppi del punto cristallografici
modificaNon abbiamo finora posto alcuna limitazione alle simmetrie possibili. Vogliamo ora vedere quali dei gruppi della Tabella 1 sono compatibili con strutture periodiche bidimensionali. Infatti la presenza simultanea della simmetria traslazionale impone delle restrizioni alla simmetria rotazionale.
Sia A un punto di rotazione di ordine n (α = 2π/n) e t una traslazione reticolare.
Anche A' (Fig. 10) è ovviamente punto di rotazione di ordine n: B si ottiene da A' ruotando di α attorno ad A e B' si ottiene da A ruotando di α attorno ad A': b = BB' dovrà essere una traslazione reticolare parallela a t. Quindi:
- b = t - 2t cos α = mt con m intero (6.6)
- m = 1 - 2 cos α (6.7)
- 2 cos α = 1 - m = M (6.8)
- cos α = M/2 con M intero (6.9)
La Tabella 2 presenta tutti i possibili valori di M, cos α, α e l'ordine della rotazione, mentre la Fig. 11 due esempi di simmetrie rotazionali compatibili con le traslazioni.
| M | cos α | α | n(2π/α) |
| -2 | -1 | π | 2 |
| -1 | 1/2 | 2π/3 | 3 |
| 0 | 0 | π/2 | 4 |
| 1 | 1/2 | π/3 | 6 |
| 2 | 1 | 2π | 1 |
La limitazione imposta alle possibili simmetrie rotazionali riduce i gruppi cristallografici del punto bidimensionali ai seguenti dieci:
| C1 | C2 | C3 | C4 | C6n |
| D1' | D2' | D3' | D4' | D6' |
Nella Fig. 12 sono date le notazioni internazionali per tali gruppi e le loro rappresentazioni grafiche.
