La goniometria , dal greco γωνία (Gonia: angolo) e μέτρον (Metron: misura), studia la misurazione degli angoli mettendoli in relazione con gli archi corrispondenti.
Di solito comprende la trigonometria analitica , ovvero lo studio delle funzioni trigonometriche. Le origini della goniometria si possono trovare nelle opere di François Viète e Lagni.
Nel piano cartesiano si dice circonferenza goniometrica una circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi cartesiani e il raggio uguale a 1, ovvero la circonferenza che ha equazione x 2 + y 2 = 1 {\textstyle x^{2}+y^{2}=1} .
Si considera positivo il verso di rotazione antiorario.
Descrizione di angolo orientato Un angolo è una parte di piano compresa tra due semirette.
Definiscesi angolo orientato un angolo per il quale si è stabilito qual è il primo lato e quale il secondo.
Se il primo lato, nel descrivere l'angolo, si muove in senso antiorario l'angolo è orientato positivamente , in caso contrario, quando si descrive un angolo in senso orario, l'angolo è orientato negativamente .
I sistemi di misura degli angoli
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Un grado costituisce la trecentosessantesima parte (1 360 {\displaystyle {\frac {1}{360}}} ) dell'angolo giro.
Il sistema sessagesimale
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Nel sistema sessagesimale, l'unità di misura è il grado , da cui si definiscono i primi e i secondi:
Il primo è la sessantesima parte (1 60 {\displaystyle {\frac {1}{60}}} ) del grado;
Il secondo è la sessantesima parte (1 60 {\displaystyle {\frac {1}{60}}} ) del primo e la tremilaseicentesima parte (1 / 3600 {\displaystyle 1/3600} ) del grado. Circonferenza goniometrica Il sistema sessadecimale
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L'unità di misura del sistema sessadecimale è sempre il grado , ma differisce dal sistema sessagesimale in quanto i sottomultipli del grado sono espressi in forma decimale (con la virgola).
Il sistema matematico
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L'unità di misura all'interno del sistema matematico è il radiante (rad). esso è definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza o dell'arco dall'angolo circoscritto e il raggio:
α = l R {\displaystyle \alpha ={\frac {l}{R}}} dove α è l'angolo, l la lunghezza dell'arco sotteso e R il raggio della circonferenza.
2π rad = 360°, π rad = 180°, π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} rad = 90°
Per convertire l'ampiezza di un angolo da gradi a radianti, o viceversa, si può usare la proporzione:
α ∘ : α r a d = 180 : π {\displaystyle \alpha ^{\circ }:\alpha ^{rad}=180:\pi }
La circonferenza goniometrica
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La circonferenza goniometrica è una circonferenza che ha centro in C (0,0) e raggio pari a 1 (R = 1 ).
I quadrante : angoli da 0° a 90° o da -271° a -360°
Seno e coseno di un angolo II quadrante : angoli da 91° a 180° o da -181° a -270°
III quadrante : angoli da 181° a 270° o da -91° a -180°
IV quadrante : angoli da 271° a 360° o da -90° a 0°
Seno e coseno di un angolo
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Si definisce seno di un angolo (sin α ) l'ordinata dello stesso (il segmento AB);
Si definisce coseno di un angolo (cos α ) l'ascissa dell'angolo (il segmento OB). I grafici di seno e coseno
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Grafici delle funzioni seno e coseno. Il grafico della funzione seno è definito sinusoide .
Il grafico della funzione coseno è definito cosinusoide .
Le funzioni sono entrambe funzioni periodiche di T = 2 π {\displaystyle T=2\pi }
Relazioni fondamentali della goniometria
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Prima relazione fondamentale
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cos 2 α + sin 2 α = 1. {\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1.} Da questa si ricavano
cos α = ± 1 − sin 2 α , {\displaystyle \cos \alpha =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }},} sin α = ± 1 − cos 2 α . {\displaystyle \sin \alpha =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}.} Ricordare di valutare la posizione di α {\displaystyle \alpha } per la scelta opportuna del segno.
Seconda relazione fondamentale
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tan α = sin α cos α , {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},} che vale solo per α ≠ π 2 + k π {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .
Dalle due precedenti relazioni si ricava che
cos 2 α = 1 1 + tan 2 α , {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\alpha }},} che vale solo per α ≠ π 2 + k π {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .
Da questa si ricava
cos α = ± 1 1 + tan 2 α . {\displaystyle \cos \alpha =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}.} Ricordare di valutare la posizione di α {\displaystyle \alpha } per la scelta opportuna dei segni.
Terza relazione fondamentale
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cot α = cos α sin α , {\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},} che vale solo per α ≠ k π {\displaystyle \alpha \neq k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .
Quarta relazione fondamentale
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sec α = 1 cos α , {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},} che vale solo per α ≠ π 2 + k π {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .
Quinta relazione fondamentale
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csc α = 1 sin α , {\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},} che vale solo per α ≠ k π {\displaystyle \alpha \neq k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } .
Formule goniometriche
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In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.
Formule di addizione
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sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }
tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β {\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}
cot ( α + β ) = cot α cot β − 1 cot α + cot β {\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}} La formula della tangente vale per α , β , α + β ≠ π 2 + k π {\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
La formula della cotangente vale per α , β , α + β ≠ k π {\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Formule di sottrazione
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sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β {\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta }
cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }
tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β {\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}}
cot ( α − β ) = cot α cot β + 1 cot β − cot α {\displaystyle \cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}} La formula della tangente vale per α , β , α − β ≠ π 2 + k π {\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
La formula della cotangente vale per α , β , α − β ≠ k π {\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Formule di duplicazione
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sin ( 2 α ) = 2 sin α cos α {\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha } cos ( 2 α ) = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 {\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1} tan ( 2 α ) = 2 tan α 1 − tan 2 α {\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}} L'ultima formula vale per α ≠ π 2 + k π {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } e α ≠ ± π 4 + k π {\displaystyle \alpha \neq \pm {\frac {\pi }{4}}+k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Formule di linearità
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cos 2 α = 1 + cos ( 2 α ) 2 {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}}} sin 2 α = 1 − cos ( 2 α ) 2 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}}} tan 2 α = sin 2 α cos 2 α = 1 − cos ( 2 α ) 1 + cos ( 2 α ) {\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos(2\alpha )}{1+\cos(2\alpha )}}} L'ultima formula vale per α ≠ π 2 + k π {\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Formule di bisezione
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Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade α 2 {\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}} per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule
cos ( α 2 ) = ± 1 + cos α 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}} sin ( α 2 ) = ± 1 − cos α 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}} tan ( α 2 ) = ± 1 − cos α 1 + cos α {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}} L'ultima formula vale per α ≠ π + 2 k π {\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi } .
Formule parametriche
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cos α = 1 − t 2 1 + t 2 {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}} sin α = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}}} tan α = 2 t 1 − t 2 {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}} dove t = tan ( α 2 ) {\displaystyle t=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)} con α ≠ π + 2 k π {\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi } .
Formule di prostaferesi
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sin p + sin q = 2 sin ( p + q 2 ) cos ( p − q 2 ) {\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)} sin p − sin q = 2 cos ( p + q 2 ) sin ( p − q 2 ) {\displaystyle \sin p-\sin q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)} cos p + cos q = 2 cos ( p + q 2 ) cos ( p − q 2 ) {\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)} cos p − cos q = − 2 sin ( p + q 2 ) sin ( p − q 2 ) {\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)} Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.
Formule di Werner (inverse delle formule di prostaferesi)
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sin α cos β = 1 2 [ sin ( α + β ) + sin ( α − β ) ] {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right]} cos α cos β = 1 2 [ cos ( α + β ) + cos ( α − β ) ] {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]} sin α sin β = − 1 2 [ cos ( α + β ) − cos ( α − β ) ] {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right]} cos α sin β = 1 2 [ sin ( α + β ) − sin ( α − β ) ] {\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right]} Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.
Formule dell'angolo aggiunto
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a sin x + b cos x = A sin ( x + ϕ ) {\displaystyle a\sin x+b\cos x=A\sin(x+\phi )} La seguente uguaglianza è verificata sotto le seguenti condizioni
A = a 2 + b 2 {\displaystyle A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
{ cos ϕ = a a 2 + b 2 sin ϕ = b a 2 + b 2 {\displaystyle {\begin{cases}\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{cases}}} tan ϕ = b a {\displaystyle \tan \phi ={\frac {b}{a}}} Fare attenzione che la tangente goniometrica è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di ϕ {\displaystyle \phi } dunque
ϕ = { arctan ( b a ) se a > 0 arctan ( b a ) + π se a < 0 {\displaystyle \phi ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}})&{\mbox{se }}a>0\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi &{\mbox{se }}a<0\end{cases}}}