La goniometria , dal greco γωνία (Gonia: angolo) e μέτρον (Metron: misura), studia la misurazione degli angoli mettendoli in relazione con gli archi corrispondenti.
Di solito comprende la trigonometria analitica , ovvero lo studio delle funzioni trigonometriche. Le origini della goniometria si possono trovare nelle opere di François Viète e Lagni.
Nel piano cartesiano si dice circonferenza goniometrica una circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi cartesiani e il raggio uguale a 1, ovvero la circonferenza che ha equazione
x
2
+
y
2
=
1
{\textstyle x^{2}+y^{2}=1}
Si considera positivo il verso di rotazione antiorario.
Descrizione di angolo orientato Un angolo è una parte di piano compresa tra due semirette.
Definiscesi angolo orientato un angolo per il quale si è stabilito qual è il primo lato e quale il secondo.
Se il primo lato, nel descrivere l'angolo, si muove in senso antiorario l'angolo è orientato positivamente , in caso contrario, quando si descrive un angolo in senso orario, l'angolo è orientato negativamente .
I sistemi di misura degli angoli
modifica
Un grado costituisce la trecentosessantesima parte (
1
360
{\displaystyle {\frac {1}{360}}}
Nel sistema sessagesimale, l'unità di misura è il grado , da cui si definiscono i primi e i secondi:
Il primo è la sessantesima parte (
1
60
{\displaystyle {\frac {1}{60}}}
Il secondo è la sessantesima parte (
1
60
{\displaystyle {\frac {1}{60}}}
1
/
3600
{\displaystyle 1/3600}
Circonferenza goniometrica L'unità di misura del sistema sessadecimale è sempre il grado , ma differisce dal sistema sessagesimale in quanto i sottomultipli del grado sono espressi in forma decimale (con la virgola).
L'unità di misura all'interno del sistema matematico è il radiante (rad). esso è definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza o dell'arco dall'angolo circoscritto e il raggio:
α
=
l
R
{\displaystyle \alpha ={\frac {l}{R}}}
α è l'angolo, l la lunghezza dell'arco sotteso e R il raggio della circonferenza.
2π rad = 360°, π rad = 180°,
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
rad = 90°
Per convertire l'ampiezza di un angolo da gradi a radianti, o viceversa, si può usare la proporzione:
α
∘
:
α
r
a
d
=
180
:
π
{\displaystyle \alpha ^{\circ }:\alpha ^{rad}=180:\pi }
La circonferenza goniometrica è una circonferenza che ha centro in C (0,0) e raggio pari a 1 (R = 1 ).
I quadrante : angoli da 0° a 90° o da -271° a -360°
Seno e coseno di un angolo II quadrante : angoli da 91° a 180° o da -181° a -270°
III quadrante : angoli da 181° a 270° o da -91° a -180°
IV quadrante : angoli da 271° a 360° o da -90° a 0°
Si definisce seno di un angolo (sin α ) l'ordinata dello stesso (il segmento AB);
Si definisce coseno di un angolo (cos α ) l'ascissa dell'angolo (il segmento OB). Grafici delle funzioni seno e coseno. Il grafico della funzione seno è definito sinusoide .
Il grafico della funzione coseno è definito cosinusoide .
Le funzioni sono entrambe funzioni periodiche di
T
=
2
π
{\displaystyle T=2\pi }
Relazioni fondamentali della goniometria
modifica
cos
2
α
+
sin
2
α
=
1.
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1.}
Da questa si ricavano
cos
α
=
±
1
−
sin
2
α
,
{\displaystyle \cos \alpha =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }},}
sin
α
=
±
1
−
cos
2
α
.
{\displaystyle \sin \alpha =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}.}
Ricordare di valutare la posizione di
α
{\displaystyle \alpha }
tan
α
=
sin
α
cos
α
,
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},}
che vale solo per
α
≠
π
2
+
k
π
{\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Dalle due precedenti relazioni si ricava che
cos
2
α
=
1
1
+
tan
2
α
,
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\alpha }},}
che vale solo per
α
≠
π
2
+
k
π
{\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Da questa si ricava
cos
α
=
±
1
1
+
tan
2
α
.
{\displaystyle \cos \alpha =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}.}
Ricordare di valutare la posizione di
α
{\displaystyle \alpha }
cot
α
=
cos
α
sin
α
,
{\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},}
che vale solo per
α
≠
k
π
{\displaystyle \alpha \neq k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
sec
α
=
1
cos
α
,
{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},}
che vale solo per
α
≠
π
2
+
k
π
{\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
csc
α
=
1
sin
α
,
{\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},}
che vale solo per
α
≠
k
π
{\displaystyle \alpha \neq k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }
tan
(
α
+
β
)
=
tan
α
+
tan
β
1
−
tan
α
tan
β
{\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}
cot
(
α
+
β
)
=
cot
α
cot
β
−
1
cot
α
+
cot
β
{\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}}
La formula della tangente vale per
α
,
β
,
α
+
β
≠
π
2
+
k
π
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
La formula della cotangente vale per
α
,
β
,
α
+
β
≠
k
π
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
sin
(
α
−
β
)
=
sin
α
cos
β
−
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta }
cos
(
α
−
β
)
=
cos
α
cos
β
+
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }
tan
(
α
−
β
)
=
tan
α
−
tan
β
1
+
tan
α
tan
β
{\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}}
cot
(
α
−
β
)
=
cot
α
cot
β
+
1
cot
β
−
cot
α
{\displaystyle \cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}}
La formula della tangente vale per
α
,
β
,
α
−
β
≠
π
2
+
k
π
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
La formula della cotangente vale per
α
,
β
,
α
−
β
≠
k
π
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
sin
(
2
α
)
=
2
sin
α
cos
α
{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha }
cos
(
2
α
)
=
cos
2
α
−
sin
2
α
=
1
−
2
sin
2
α
=
2
cos
2
α
−
1
{\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1}
tan
(
2
α
)
=
2
tan
α
1
−
tan
2
α
{\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}
L'ultima formula vale per
α
≠
π
2
+
k
π
{\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }
α
≠
±
π
4
+
k
π
{\displaystyle \alpha \neq \pm {\frac {\pi }{4}}+k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
cos
2
α
=
1
+
cos
(
2
α
)
2
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}}}
sin
2
α
=
1
−
cos
(
2
α
)
2
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}}}
tan
2
α
=
sin
2
α
cos
2
α
=
1
−
cos
(
2
α
)
1
+
cos
(
2
α
)
{\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos(2\alpha )}{1+\cos(2\alpha )}}}
L'ultima formula vale per
α
≠
π
2
+
k
π
{\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade
α
2
{\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}
cos
(
α
2
)
=
±
1
+
cos
α
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}}
sin
(
α
2
)
=
±
1
−
cos
α
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}}
tan
(
α
2
)
=
±
1
−
cos
α
1
+
cos
α
{\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}}
L'ultima formula vale per
α
≠
π
+
2
k
π
{\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi }
cos
α
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
sin
α
=
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
tan
α
=
2
t
1
−
t
2
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}}
dove
t
=
tan
(
α
2
)
{\displaystyle t=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}
α
≠
π
+
2
k
π
{\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi }
sin
p
+
sin
q
=
2
sin
(
p
+
q
2
)
cos
(
p
−
q
2
)
{\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)}
sin
p
−
sin
q
=
2
cos
(
p
+
q
2
)
sin
(
p
−
q
2
)
{\displaystyle \sin p-\sin q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)}
cos
p
+
cos
q
=
2
cos
(
p
+
q
2
)
cos
(
p
−
q
2
)
{\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)}
cos
p
−
cos
q
=
−
2
sin
(
p
+
q
2
)
sin
(
p
−
q
2
)
{\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)}
Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.
sin
α
cos
β
=
1
2
[
sin
(
α
+
β
)
+
sin
(
α
−
β
)
]
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right]}
cos
α
cos
β
=
1
2
[
cos
(
α
+
β
)
+
cos
(
α
−
β
)
]
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]}
sin
α
sin
β
=
−
1
2
[
cos
(
α
+
β
)
−
cos
(
α
−
β
)
]
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right]}
cos
α
sin
β
=
1
2
[
sin
(
α
+
β
)
−
sin
(
α
−
β
)
]
{\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right]}
Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.
a
sin
x
+
b
cos
x
=
A
sin
(
x
+
ϕ
)
{\displaystyle a\sin x+b\cos x=A\sin(x+\phi )}
La seguente uguaglianza è verificata sotto le seguenti condizioni
A
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
{
cos
ϕ
=
a
a
2
+
b
2
sin
ϕ
=
b
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\begin{cases}\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{cases}}}
tan
ϕ
=
b
a
{\displaystyle \tan \phi ={\frac {b}{a}}}
Fare attenzione che la tangente goniometrica è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
=
{
arctan
(
b
a
)
se
a
>
0
arctan
(
b
a
)
+
π
se
a
<
0
{\displaystyle \phi ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}})&{\mbox{se }}a>0\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi &{\mbox{se }}a<0\end{cases}}}
![{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02acdfe5075b319048e5f447d02407e4dc88afbf)
![{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32bfb791e836bb267ff10add60930d6491694a3)
![{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76485a74e3cd4c027b40eb2321bb21879ccd1a2a)
![{\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabf386847338d72c56e31c672b247aee8816d38)
