Gli Angoli Particolari (superiori)

Possiamo ricavare per via geometrica il valore esatto delle funzioni trigonometriche di angoli particolari.

lezione
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Gli Angoli Particolari (superiori)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica per le superiori 5
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%

Angoli di 45° modifica

 
Triangolo rettangolo isoscele

Il triangolo rettangolo isoscele ha gli angoli acuti di   ed è la metà di un quadrato di lato  . Sappiamo che  ; poiché il calcolo delle funzioni trigonometriche per un angolo non dipende dal particolare triangolo usato, possiamo concludere per le definizioni date:   e anche   e per la definizione di tangente dell’angolo  .

Angoli di 30° e 60° modifica

 
Triangolo rettangolo con angoli di 30 e 60 gradi

Il triangolo rettangolo con un angolo di   ha l’altro angolo acuto di   pertanto possiamo trattare insieme la ricerca delle funzioni trigonometriche di tali angoli.

Il triangolo rettangolo in questione è la metà di un triangolo equilatero di lato   e altezza  ; poiché   è metà del lato possiamo subito dire che  . Per le definizioni date si ha  . Applicando il teorema di Pitagora si ottiene

 

Infine  .

Ricordando che per angoli complementari è   e   ed essendo   possiamo scrivere:

 

e infine

 

Angoli di 0° e 90° modifica

 
Triangolo rettangolo

Ovviamente non esiste un triangolo con un angolo di  : si tratta di un triangolo che degenera in un segmento. Possiamo pensare ad un triangolo rettangolo come nella figura, avente   e immaginare di muovere il vertice   in modo da rimpicciolire sempre più l’angolo  ; quando   diventa   il segmento   si riduce ad un punto e si ha   e quindi  , l’ipotenusa   coincide con il cateto   quindi   e infine  .

Allo stesso modo, se deformiamo il triangolo fino ad avere l’angolo   di  , quindi   di  , otteniamo che   e  ; applicando la formula della tangente si avrà una frazione con denominatore nullo e quindi diremo che   non è definita.

Possiamo riassumere i valori trovati per questi angoli particolari in una tabella:

 

Come possiamo ottenere i valori delle funzioni trigonometriche per angoli diversi da quelli sopra considerati?