Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

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Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 25%.

Radici artimeticheModifica

Sia   fissato,  . Si chiama radice n-esima aritmetica il numero

 

La radice n-esima di un numero   si indica

 

Esistenza delle radiciModifica

ProposizioneModifica

Siano  . Allora si ha

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  


Teorema (esistenza della radice n-esime di ogni numero reale)Modifica

Ogni numero reale non negativo ha una sola radice n-esima.

TEOREMA (Radice aritmetica): siano dati x>0 e (n appartenente ai reali), n ≥ 2.

Allora esiste uno ed un solo numero reale positivo w tale che  

Dimostrazione dell unicità della soluzione

Ragioniamo per assurdo: supponiamo che esistano 2 numeri che verificano entrambi l'enunciato

a,b appartenenti ai reali diversi fra loro.

 

 

  questo è impossibile, si è giunti a contraddizione:

x < x

Deve esserci un'unica soluzione dimostrata l'unicità.

 Nota:
ancora da completare ho solamente dimostrato l'unicità

Funzione radiceModifica

Consideriamo la funzione radice  . Per il teorema di esistenza della radice, esiste una ed una sola radice n-esima per ogni  , dunque   è una funzione biiettiva e quindi invertibile. La sua inversa è

 

Funzioni esponenzialiModifica