Funzioni monotone

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Si dice che una funzione $f:A\to \mathbb {R}$ è monotona

• crescente quando $f(x_{1})\leq f(x_{2}),\ \forall x_{1}\leq x_{2}\in A$
• strettamente crescente quando $f(x_{1})<f(x_{2}),\ \forall x_{1}<x_{2}\in A$
• decrescente quando $f(x_{1})\geq f(x_{2}),\ \forall x_{1}\leq x_{2}\in A$
• strettamente decrescente quando $f(x_{1})>f(x_{2}),\ \forall x_{1}<x_{2}\in A$

nota

Per indicare una funzione monotona crescente o decrescente, a volte scriveremo $f\uparrow$ e $f\downarrow$.

Esistenza del limite per le funzioni monotone

Sia $f:A\to \mathbb {R} ,\ f\uparrow$. Allora:

1. $x_{0}\in D(A)\cap ]x_{0},+\infty [\ \exists \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)$ e $\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\inf _{A\cap ]x_{0},+\infty [}f$
2. $x_{0}\in D(A)\cap ]-\infty ,x_{0}[\ \exists \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)$ e $\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\sup _{A\cap ]-\infty ,x_{0}[}f$
3. $+\infty \in D(A)\ \exists \lim _{x\to +\infty }f(x)$ e $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\sup _{A}f$
4. $-\infty \in D(A)\ \exists \lim _{x\to -\infty }f(x)$ e $\lim _{x\to -\infty }f(x)=\inf _{A}f$

In conclusione: ogni funzione monotona ha limite in ogni punto del suo dominio.

Dimostrazione

Dimostriamo solo la prima come titolo di esempio.
Supponiamo dapprima $\inf _{A\cap ]x_{0},+\infty [}f=\lambda \in \mathbb {R}$.
Per definizione di estremo inferiore, se $\lambda$ è l'estremo inferiore, allora è il più grande dei minoranti (in $f$, non dimentichiamolo) di $A\cap ]x_{0},+\infty [$. Dunque, se aggiungiamo qualcosa a $\lambda$, non è più un minorante e dunque esiste in $A\cap ]x_{0},+\infty [$ un qualche valore che chiamiamo $x'$ tale che $f(x')$ sia minore di $\lambda +\varepsilon$, cioè

$\forall \varepsilon >0\exists x'\in A\cap ]x_{0},+\infty [\ :\ f(x')<\lambda +\varepsilon$.

D'altra parte, per la monotonia (crescente) di $f$,

$f(x)\leq f(x'),\forall x\in A\cap ]x_{0},+\infty [,x\leq x'$ ed in particolare se $x<x'$. Conseguentemente

$f(x)<\lambda +\varepsilon ,\forall x\in A\cap ]x_{0},+\infty [,x<x'$ e questo vale quindi, per ogni $x$ tale che $x_{0}<x<x'$.

D'altra parte, poiché $\lambda =\inf _{A\cap ]x_{0},+\infty [}f$, abbiamo che

$\lambda \leq f(x),\ \forall x\in A\cap ]x_{0},+\infty [$ e conseguentemente

$\lambda -\varepsilon <f(x),\forall x\in A\cap ]x_{0},+\infty [$.

Dunque abbiamo visto che $f(x)$ è compresa tra $\lambda -\varepsilon$ e $\lambda +\varepsilon$ per degli opportuni $x$ e sentiamo già odore di definizione di limite!
Infatti

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ \lambda -\varepsilon <f(x)<\lambda +\varepsilon ,\ \forall x\in A,x\in ]x_{0},x'[$

Volendo trovare una definizione più simile a quella a cui siamo abituati, poniamo $\delta =x'-x_{0}$ (che è maggiore di zero) si ha

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ \lambda -\varepsilon <f(x)<\lambda +\varepsilon ,\ \forall x\in A,x\in ]x_{0},x_{0}+\delta [$

che è la definizione di questo limite:

$\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\lambda =\inf _{A\cap ]x_{0},+\infty [}f$

Se invece $\inf _{A\cap ]x_{0},+\infty [}f=-\infty$, abbiamo che

$\forall y\in \mathbb {R} \exists x'A\cap ]x_{0},+\infty [\ :\ f(x')<y\in$.

Poiché $f$ è monotona crescente, si ha $f(x)\leq f(x'),\ \forall x<x'$ (e naturalmente $x\in A\cap ]x_{0},+\infty [)$. Dunque, ponendo anche qui $\delta =x'-x_{0}$, abbiamo:

$\forall y\in \mathbb {R} \exists \delta >0\ :\ f(x)<y,\ \forall x\in A,x\in ]x_{0},x_{0}+\delta [$

che è la definizione di questo limite:

$\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=-\infty =\inf _{A\cap ]x_{0},+\infty [}f$

$\Box$

Esempi conclusivi

Esempio 1

1

$\lim _{x\to \infty }\ln x=+\infty$

La funzione logaritmo è monotona crescente strettamente in quanto se $x<x'\in A=\mathbb {R} ^{+}$, si ha che $y=\ln x<y'=\ln x'$ perché $e^{y}<e^{y'},\forall y<y'$.

Dunque, per il Teorema visto prima, dovremmo avere $\lim _{x\to \infty }\ln x$ esiste ed è uguale al $\sup _{\mathbb {R} ^{+}}\ln$.
d'altra parte, $\ln e^{n}=n,\forall n\in \mathbb {N}$ che diverge, dunque non ci può essere estremo superiore reale (visto che non converge) e $\sup _{R^{+}}\ln =+\infty$. Dunque, per il precedente Teorema,

$\lim _{x\to \infty }\ln x=+\infty$

come si voleva dimostrare.

2

$\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$

Per quanto visto prima, la funzione logaritmo è strettamente crescente, dunque ci aspettiamo che il limite che vogliamo dimostrare sia effettivamente $-\infty$ (sempre per il Teorema).
Per il Teorema precedente, dovremmo avere $\lim _{x\to 0^{+}}\ln x$ esiste ed è uguale al $\inf _{\mathbb {R} ^{+}}\ln$. Ora, come abbiamo fatto prima, notiamo che $\ln e^{-n}=\ln {\frac {1}{e^{n}}}=-n,\forall n\in \mathbb {N}$ e siccome $(a_{n})=-n$ è una successione divergente a $-\infty$, allora certamente $\inf _{\mathbb {R} ^{+}}\ln$ sarà anche lui $-\infty$. Dunque, per il Teorema precedente, $\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$.

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