Funzioni monotone

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Funzioni monotone
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 75%.

Si dice che una funzione è monotona

  • crescente quando
  • strettamente crescente quando
  • decrescente quando
  • strettamente decrescente quando


nota
Per indicare una funzione monotona crescente o decrescente, a volte scriveremo e .


Esistenza del limite per le funzioni monotoneModifica

Sia . Allora:

  1. e
  2. e
  3. e
  4. e

In conclusione: ogni funzione monotona ha limite in ogni punto del suo dominio.

DimostrazioneModifica

Dimostriamo solo la prima come titolo di esempio.
Supponiamo dapprima .
Per definizione di estremo inferiore, se è l'estremo inferiore, allora è il più grande dei minoranti (in , non dimentichiamolo) di . Dunque, se aggiungiamo qualcosa a , non è più un minorante e dunque esiste in un qualche valore che chiamiamo tale che sia minore di , cioè

.

D'altra parte, per la monotonia (crescente) di ,

ed in particolare se . Conseguentemente
e questo vale quindi, per ogni tale che .

D'altra parte, poiché , abbiamo che

e conseguentemente
.

Dunque abbiamo visto che è compresa tra e per degli opportuni e sentiamo già odore di definizione di limite!
Infatti

Volendo trovare una definizione più simile a quella a cui siamo abituati, poniamo (che è maggiore di zero) si ha

che è la definizione di questo limite:



Se invece , abbiamo che

.

Poiché è monotona crescente, si ha (e naturalmente . Dunque, ponendo anche qui , abbiamo:

che è la definizione di questo limite:


Esempi conclusiviModifica

Esempio 1Modifica

1Modifica

 

La funzione logaritmo è monotona crescente strettamente in quanto se  , si ha che   perché  .

Dunque, per il Teorema visto prima, dovremmo avere   esiste ed è uguale al  .
d'altra parte,   che diverge, dunque non ci può essere estremo superiore reale (visto che non converge) e  . Dunque, per il precedente Teorema,

 

come si voleva dimostrare.

2Modifica

 

Per quanto visto prima, la funzione logaritmo è strettamente crescente, dunque ci aspettiamo che il limite che vogliamo dimostrare sia effettivamente   (sempre per il Teorema).
Per il Teorema precedente, dovremmo avere   esiste ed è uguale al  . Ora, come abbiamo fatto prima, notiamo che   e siccome   è una successione divergente a  , allora certamente   sarà anche lui  . Dunque, per il Teorema precedente,  .

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