Funzioni di più variabili

Ciò di cui ci occuperemo in queste lezioni: rappresentazione di una funzione di due variabili

Introduzione

Le funzioni di più variabili sono un'estensione del concetto di funzione di una sola variabile. Entrambe abbinano ad ogni elemento del dominio (insieme di partenza) un solo elemento del codominio (insieme d'arrivo o immagine). Tuttavia, mentre gli elementi dell'insieme di partenza delle funzioni ad una variabile sono composti da un solo valore scalare, le funzioni a più variabili hanno elementi dell'insieme di partenza composti da n-uple (ennuple) ordinate di valori scalari.

Tuttavia entrambe hanno come elementi dell'insieme immagine valori scalari (dunque non n-uple).

Ad esempio (1,-2,4,12) è una n-upla composta da 4 valori, il cui ordine è determinante, in quanto se invertissimo le posizioni dei valori avremmo un'n-upla diversa da quella da cui siamo partiti.

Definizione

Detto $V$ l'insieme di partenza, $W$ l'insieme d'arrivo ed $f$ la funzione,

$f:V\subseteq \mathbb {R^{n}} \to W\subseteq \mathbb {R}$

$(x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n})\mapsto w=f(x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n})$

Ovvero: $f$ di $V$ in $W$, che ad un elemento $v$ (di n variabili) appartenente a $V$ abbina tramite la legge $f$ un elemento $w$ (scalare) appartenente a $W$.

• Il dominio di una funzione $f$ a più variabili infatti è il prodotto cartesiano (ovvero l'insieme delle coppie ordinate) di due o più insiemi, perciò la funzione agisce su coppie (o terne, o n-uple) di elementi.

(Esempi di domini comuni: $\mathbb {N} \times \mathbb {N} =\mathbb {N} ^{2},\mathbb {Z} ^{2},\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}$, o loro restrizioni.)

• Il codominio, come già anticipato, è invece l'insieme $W$, insieme mono-dimensionale, composto da valori scalari $w$.

(Esempi di codomini comuni: i singoli insiemi $\mathbb {N,Z,R,C}$, o loro restrizioni.)

• La funzione, per propria definizione, lega ad ogni elemento (n-upla) del dominio un solo elemento del codominio (non vale la relazione inversa, vedi in seguito iniettività).

Esempi

• Le seguenti ad esempio sono funzioni di due variabili:

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$

$f(x,y)={\frac {x^{2}\cdot y^{2}}{log(3x)}}$

$f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{e}+x_{2}^{3}$

Si vede come ad ogni coppia ordinata di valori $(x,y)=v\in V$ la funzione abbini un solo valore scalare w = f(x,y), che apparterrà dunque all'immagine ($w\in W$).

• A seguire, esempi di funzioni in più di due variabili:

$f(x,y,z)=2x^{3}+y^{2}-z$

$f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}\cdot x_{4}-(7x_{2}^{2-x_{3}}+x_{3})$

Proprietà

Le proprietà di iniettività e suriettività sono anch'esse un'estensione delle stesse proprietà in una variabile.

Iniettività

Una funzione si dice iniettiva se ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento distinto del dominio:

$f:X\rightarrow Y$ è iniettiva se e solo se $\forall x_{1},x_{2}\in X,x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Suriettività

Una funzione si dice suriettiva se ad ogni elemento del codominio corrisponde (per mezzo della funzione) almeno un elemento del dominio. Ciò vuol dire che l'insieme immagine prodotto dalla funzione a partire da un certo dominio corrisponde al codominio.

Formalmente, una funzione $f:X\rightarrow Y$ è suriettiva se $\forall y\in Y,\exists x\in X|f(x)=y$.

Rappresentazione geometrica di funzioni di più variabili in $\mathbb {R} ^{n}$

Mentre le funzioni reali ad una variabile reale (es: $y=f(x)$, con $x,y$ reali) erano rappresentabili efficacemente su un piano cartesiano bi-dimensionale, dove veniva posto il dominio (la variabile x) sulle ascisse e l'immagine ($y=f(x)$) sull'asse delle ordinate, ora questo piano non sarà più sufficiente.

La funzione con il massimo numero di variabili rappresentabile in uno spazio fisico, ovvero tridimensionale $(\mathbb {R} ^{3})$, è la funzione di due variabili. Ciò perché se il dominio è composto da due variabili reali ($\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}$), che porremo sul piano $xy$, e il codominio da valori scalari reali $z=f(x,y)$ (in $\mathbb {R}$), che porremo su di un terzo asse perpendicolare al piano x-y, allora abbiamo già completato le tre dimensioni dello spazio geometrico tridimensionale ($\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}$).

Una superficie nello spazio 3D

In questo modo vediamo che ad ogni punto bi-dimensionale del piano x-y la funzione abbina una certa altezza o quota dal piano base: ciò che si ottiene è una superficie.

Per rappresentare funzioni di più di due variabili reali, in uno spazio euclideo a n dimensioni è necessario astrarre dallo spazio fisico tradizionale, al quale siamo ben abituati.

Analisi di funzione reale a due variabili reali (introduzione)

I passi principali per analizzare una funzione a due variabili saranno individuare il dominio di definizione e l'insieme immagine, verificare il segno, trovare i punti stazionari (tra cui massimi, minimi e selle) e individuare la concavità. In questa lezione tuttavia si parlerà solo di dominio, immagine e segno.

Esempi di individuazione del dominio

Definiamo una funzione di esempio:

$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

$(x,y)\mapsto z=f(x,y)=x+y$

Questa funzione è ben definita in tutto il dominio $\mathbb {R} ^{2}$ poiché essa esiste in tutto l'insieme, in quanto l'operazione di somma (f=x+y) esiste per ogni valore. L'insieme immagine sarà dunque $\mathbb {R}$, poiché somma di due valori reali.

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Se invece definiamo una diversa funzione, con l'operazione di divisione:

$z=f(x,y)={\frac {1}{x\cdot y}}$

allora possiamo vedere che, come accadrebbe in una funzione ad una sola variabile, la funzione non esiste per i valori per cui il denominatore è nullo: tuttavia ora il valore per cui si annulla il denominatore non è più un singolo punto, bensì due rette. Infatti la funzione descritta non esiste per tutti i punti in cui si annulla x $(x=0,\forall y)$ o si annulla y $(\forall x,y=0)$: questi punti sono le due rette x=0 e y=0, ovvero gli assi del piano x-y.

Anche qui il codominio sarà tutto $\mathbb {R}$ eccetto 0.

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Possiamo invece definire una funzione in un dominio ristretto a piacere:

$z\ =f(x,y)=x^{2}+y^{2}$

con $x>0,\ z<x+2y+9$

Questa funzione, un paraboloide (parabola bidimensionale ruotata attorno all'asse z), avrebbe come insieme di definizione tutto $\mathbb {R}$, ma le condizioni poste sono: che x>0, ovvero che si considerino solo i valori positivi dell'asse x; e che z<x+2y+9, ovvero che i valori di z siano minori di un'equazione dipendente da (x,y). Quest'equazione vista come z=x+2y+9 rappresenta un piano inclinato nello spazio tridimensionale e la disequazione z<x+2y+9 impone che i valori z del paraboloide devono essere minori di quelli del piano (quindi considererò solo i punti del paraboloide che stanno sotto il piano, usando come altezza l'asse z).

Insiemi di livello

Un insieme di livello è l'insieme dei punti che verifica l'equazione:

$f(x_{1},x_{2}...x_{n})=C\quad con\ C\in \mathbb {R}$

Si chiama infatti livello il valore C e l'insieme di livello relativo si chiama insieme di livello C.

L'insieme di livello ha di solito dimensione minore dell'insieme di definizione della funzione, infatti se parliamo di funzioni di due variabili reali l'insieme di livello, se esiste, è nella maggioranza dei casi o una linea o un punto (spesso infatti si parla semplicemente di linea di livello).

• Ad esempio, la linea di livello C=0 della funzione z=x+y (un piano passante per l'origine degli assi) è la linea di equazione 0=x+y, dunque y=-x, ovvero la bisettrice del secondo e quarto quadrante del piano x-y.
• Ad esempio, la linea di livello C=4 del paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$ è il luogo dei punti che verifica l'equazione $4=x^{2}+y^{2}$, dunque $x^{2}+y^{2}=2^{2}$ che riconosciamo facilmente come una circonferenza, centrata nell'origine, di raggio 2 e posta ovviamente a quota z=C=4.

Segno

Per analizzare il segno della funzione nel dominio (ovvero le zone in cui il valore z = f(v) è positivo, negativo o nullo) è utile individuare l'insieme di livello zero ( f(x,y)=0 ). L'insieme di livello zero evidenzia gli elementi nulli, mentre nel rimanente spazio del dominio si avranno valori positivi o negativi, che si evidenzieranno risolvendo le disequazioni f(x,y)>0 e f(x,y)<0.

Esempi

• Il paraboloide:

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$

ha come insieme di livello zero solo il punto (0,0) mentre per il resto dei valori reali ha valori positivi, come si vede dal fatto che la funzione è la somma di due quadrati, dunque sempre positivi o al più nulli.

• Il piano:

$f(x,y)=2x+y$

ha come linea di livello zero: 2x + y = 0, dunque la retta y = -2x. La retta individua gli elementi nulli, mentre per individuare gli elementi positivi si deve risolvere la disequazione 2x + y > 0, ovvero i valori per cui vale la relazione y > -2x (rappresentati da tutto il semipiano del dominio che sta sopra la retta y = -2x). Saranno infine negativi tutti i valori rimanenti.

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