Funzioni di correlazione incrociata di segnali in bande di frequenze rettangolari

Impostazione degli algoritmi di calcolo delle funzioni di correlazione incrociata

Nell'esposizione delle diverse formule per il calcolo di $C(\tau )$ abbiamo sempre osservato che il valore massimo della funzione di autocorrelazione corrisponde con il valore di $\tau =0.$

Questa condizione dipende dal fatto che la $f(t)$ presa in esame, viene correlata, per $\tau =0,$ con se stessa negli stessi istanti, per cui si ha il massimo grado di interdipendenza.

Appena i valori temporali del confronto cambiano, con il crescere di $\tau$ le funzioni di autocorrelazione decrescono mostrando i caratteristici andamenti riportati nelle lezioni precedenti.

Nel caso delle funzioni di correlazione incrociata, indicate con il simbolo $C(\tau )1,2$, possono verificarsi due casi diversi nei quali la $C(\tau )1,2$ normalizzata raggiunge il massimo valore uguale a $1$.

I due possibili casi

• Le $C(r)1,2$ hanno il massimo valore di correlazione incrociata per $\tau =0$; che significa che $fl(t)\ e\ f2(t)$ sono interdipendenti per $\tau =0$ e che il loro grado di interdipendenza decresce con il crescere di $\tau$ così come per le funzioni di autocorrelazione.

In questo caso le formule illustrate nella lezione precedente, impiegate per il calcolo della $C(\tau )$, sono applicabili direttamente anche per il calcolo della $C(\tau )1,2$ e valgono per queste ultime tutte le osservazioni fatte per le funzioni di autocorrelazione.

• Le $C(r)1,2$ hanno il massimo valore di correlazione incrociata per $\tau =\tau *$ ; ciò significa che $fl(t)\ e\ f2(t)$ sono interdipendenti per $\tau =\tau *$ e che il loro grado di interdipendenza decresce quando $\tau$ aumenta o diminuisce rispetto al valore di $\tau *$.

interpretazione fisica del fenomeno

Una tra le tante possibili giustificazioni fisiche di questo comportamento può essere ad esempio attribuita al caso di un'unica sorgente di segnale che emette $f(t)$ e che questo segnale si presenta poi al correlatore, tramite due sensori che lo ricevono da percorsi diversi rispetto alla sorgente; la $f(t)$ si sarà trasformata temporalmente in $f1(t)\ e\ f2(t).$

La $f(t)$ si trasformerà in $f2(t)$ dopo aver subito un ritardo $\tau ,$ dovuto al percorso così da poter scrivere:

$f2(t)=f(t+\tau )$.

La f(t) si trasformerà invece in $f1(t)$ dopo aver subito un ritardo $(\tau +\tau *)$ , maggiore del precedente, così da poter scrivere:

$fl(t)=f(t+\tau +\tau *)$

A questo punto l'interdipendenza massima si avrà quando la $fl(t)$ già ritardata per il maggior percorso di $\tau *$ sarà correlata con la $f2(t)$ ritardata di $\tau *$ parte del sistema di ritardo del circuito di di correlazione.

Esempio di funzione di correlazione incrociata in banda 0 - F1

Riportiamo un esempio di funzione di correlazione incrociata che mostra la condizione di interdipendenza di cui al secondo punto del paragrafo precedente.

Il grafico della funzione di correlazione incrociata, per grandezze definite in bande di frequenze comprese tra $0\ e\ F1$ sarà simile a quello della funzione di autocorrelazione, ma traslato nell'asse di $\tau *$ con il massimo per $\tau *$ e un profilo simmetrico per valori rispettivamente inferiori e superiore di $\tau *$, cosi come mostrato in figura 1 per $\tau *=500\ \mu s\ e\ F1=2500\ Hz.$

figura 1

Questo tipo di funzione è talvolta ricorrente nelle applicazioni tecniche dato che numerosi problemi comportano che il massimo della $C(\tau )$ non coincida con $\tau =0$ ma generalmente con valori di $\tau$ diversi da $0.$

Molte volte, con la ricerca e la successiva determinazione di $\tau *$, si possono risolvere importanti problemi di varia natura.

In questo caso la funzione di autocorrelazione:

$C(\tau )=\left[{\frac {\sin \ (2\cdot \pi \cdot F1\cdot \tau ))}{(2\cdot \pi \cdot F1\cdot \tau )}}\right]\ \ \$

si trasforma nella funzione di correlazione incrociata:

$C(\tau )1,2=\left[{\frac {\sin \ \{2\cdot \pi \cdot F1\cdot (\tau -\tau *)\}}{2\cdot \pi \cdot F1\cdot (\tau -\tau *)}}\right]\ \ \$ 1)

Osservazioni

Come per i grafici delle funzioni di autocorrelazione anche i grafici delle funzioni di correlazione incrociata, che hanno il massimo per $\tau =\tau *$, si prestano ad alcune osservazioni caratteristiche.

Nel grafico di figura 1 si individuano due valori di $\tau$ :

$\tau '\ e\ \tau ''$, simmetrici rispetto a

$\tau *$, per i quali la

$C(\tau )1,2=0$ ; $\tau '=300\ \mu s\ e\ \tau ''=700\ \mu s$ ;

questi valori si ricavano semplicemente risolvendo l'equazione :

$\sin \ \ 2\cdot \pi \cdot F1\cdot (\tau -\tau *)=0$

dalla quale si ha immediatamente

$[2\cdot \pi \cdot F1\cdot (\tau -\tau *)]=n\cdot \pi$

dove $n$ è un intero.

Nel caso di $n=1$ si ha $\tau -\tau *=1/(2\ F1)$ e i due valori di $\tau '\ e\ \tau ''$ si ottengono come segue:

$\tau '=[\tau *{-}(1/2F1)]=[0.0005{-}(1/2\cdot 2500\ Hz)]=300\ \mu s$

$\tau ''=[\tau *+(1/2F1)]=[0.0005+(1/2\cdot 2500\ Hz)]=700\ \mu s$

La funzione di correlazione incrociata per segnali in banda F1 -F2

In modo analogo al punto precedente si può calcolare la funzione di correlazione incrociata per grandezze del tempo definite in bande di frequenze comprese fra $F1\ e\ F2$ che hanno il massimo grado di interdipendenza per $\tau =\tau *$; essa sarà simile a quella di figura 1 ma traslata nell'asse $\tau$ con il valore massimo per $\tau *$ secondo la seguente espressione :

$C(\tau )=\left[{\frac {\sin \ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})\cdot \cos \ (2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \{\tau -\tau *\})}{(2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})}}\right]\ \ \$ 2)

Lo sviluppo della 2) per:

$F1=7000\ Hz$

$F2=10000\ Hz$

$\tau *=500\mu s$

dove $DF=(F2-F1)/2\ e\ Fo=(F2+F1)/2$ è mostrato in figura 2

figura 2

Bibliografia

• Cesare Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993