Funzioni continue reali di variabile reale

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Funzioni continue reali di variabile reale
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 75%.

Sia , e un punto di accumulazione di .
La funzione si dice continua in se

oppure

La definizione esprime il seguente concetto: a piccole variazioni dei valori del domino corrispondono piccole variazione dei valore della funzione.

Se è continua in ogni punto del suo dominio, allora si dice che è continua su .


nota
Si indica con l'insieme delle funzioni da ad continue in ogni punto di .


ContinuitàModifica

Se   e  , esiste   e dunque, per ogni intorno di   si ha che  . Infatti, se   si ha per forza che   e dunque certamente  .

Se invece  ,   è continua se e solo se  . Infatti, se il limite di   è  , per la definizione di limite si ha:

 Nota:
dimostrazione non chiara. rivedere

.

Criteri di continuitàModifica

Lemma (esistenza di una successione convergente)Modifica

Siano  .

  è continua in       convergente a  
DimostrazioneModifica

  . Supponiamo   continua in   e   convergente a  . Se   è continua in   si ha

 .

Inoltre, se  , si ha

 .

Abbiamo che   (essendo una successione in  ) e   solo se  .
Otteniamo dunque

 

che è la definizione del limite  .

  . Supponiamo  , qualunque sia la successione   convergente a  . Per provare che   è continua, ragioniamo per assurdo e supponiamo che non lo sia. Allora

 .

In parole povere, c'è un qualche intervallo di   per cui, per ogni intervallo di  , si ha che   non sta in quell'intervallo, per un qualche   nell'intervallo di  .
Ora, la successione   è convergente a  , dunque per ogni intervallo di   ci saranno dei termini di  . L'affermazione sopra dice che per ogni intervallo di  , il valore della funzione di ogni punto di questi intervalli non sta in   (cioè in quell'intervallo per cui non vale la continuità di  ). Dunque, in particolare, possiamo prendere questo

  (*)

La successione è convergente in   ma   perché (*) è addirittura la negazione della definizione di limite!
Questo contraddice l'ipotesi che   e prova il Lemma.

 


Proposizione (continuità di della funzione composta)Modifica

Se   sono funzioni continue in tutto il loro dominio, allora la funzione composta

 

è continua su tutto   (cioè su tutto il suo dominio).

DimostrazioneModifica

  è continua in   se è continua in  , per ogni  . Allora, per il Lemma precedente, prendiamo una successione in   convergente a  . Siccome, per ipotesi,   è continua in   (lo è addirittura in tutto il suo dominio) e dunque  . Per ipotesi, anche   è continua in tutto il suo dominio ed in particolare anche in  .
Dunque, sempre per il Lemma,

 .
 


Algebra delle funzioni continueModifica

Enunciamo qui le quattro proprietà delle funzioni continue. Dimostriamo solo la prima per ragioni di brevità, ma provare a dimostrarle è un utile esercizio che vi invitiamo a fare.

Siano  ,   funzioni continue su tutto  .

Somma di funzioni continueModifica

 

Infatti:

 .

Prodotto di funzioni continueModifica

 

Quoziente di funzioni continueModifica