Analisi matematica > Funzioni continue reali di variabile reale
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Sia
f
:
A
→
R
{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }
A
⊆
R
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
{\displaystyle A}
f
{\displaystyle f}
continua in
x
0
{\displaystyle x_{0}}
∀
V
∈
I
f
(
x
0
)
∃
H
∈
I
x
0
:
f
(
x
)
∈
V
,
∀
x
∈
A
∩
H
{\displaystyle \forall V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}\ \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)\in V,\ \forall x\in A\cap H}
oppure
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
:
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
<
ε
,
∀
x
∈
A
,
x
∈
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ,\ \forall x\in A,x\in |x-x_{0}|<\delta }
La definizione esprime il seguente concetto: a piccole variazioni dei valori del domino corrispondono piccole variazione dei valore della funzione.
Se
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
nota
Si indica con
C
(
A
,
R
)
{\displaystyle C(A,\mathbb {R} )}
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
A
{\displaystyle A}
Se
x
0
∉
D
(
A
)
{\displaystyle x_{0}\not \in D(A)}
x
0
∈
A
{\displaystyle x_{0}\in A}
H
∈
I
x
0
:
A
∩
H
=
{
x
0
}
{\displaystyle H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ A\cap H=\{x_{0}\}}
V
∈
I
f
(
x
0
)
{\displaystyle V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}}
f
(
x
)
∈
V
,
∀
x
∈
A
∩
H
{\displaystyle f(x)\in V,\ \forall x\in A\cap H}
x
∈
A
∩
H
{\displaystyle x\in A\cap H}
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
f
(
x
0
)
∈
]
f
(
x
0
)
−
δ
,
f
(
x
0
)
+
δ
[
{\displaystyle f(x_{0})\in ]f(x_{0})-\delta ,f(x_{0})+\delta [}
Se invece
x
0
∈
D
(
A
)
{\displaystyle x_{0}\in D(A)}
f
{\displaystyle f}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
Nota: dimostrazione non chiara. rivedere
.
modifica
Siano
A
⊆
R
,
x
0
∈
A
,
f
:
A
→
R
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,\ x_{0}\in A,\ f:A\to \mathbb {R} }
⇒
)
{\displaystyle \Rightarrow )}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
∀
V
∈
I
f
(
x
0
)
∃
H
∈
I
x
0
:
f
(
x
)
∈
V
,
∀
x
∈
A
∩
H
{\displaystyle \forall V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}\exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)\in V,\ \forall x\in A\cap H}
Inoltre, se
(
x
n
)
→
x
0
{\displaystyle (x_{n})\to x_{0}}
∀
L
∈
I
x
0
∃
m
∈
N
:
x
n
∈
L
,
∀
n
∈
N
,
n
>
m
{\displaystyle \forall L\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\exists m\in \mathbb {N} \ :\ x_{n}\in L,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}
Abbiamo che
x
n
∈
A
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle x_{n}\in A,\ \forall n\in \mathbb {N} }
A
{\displaystyle A}
x
n
∈
A
∩
H
{\displaystyle x_{n}\in A\cap H}
n
>
m
{\displaystyle n>m}
∀
V
∈
I
f
(
x
0
)
∃
m
∈
N
:
f
(
x
n
)
∈
V
,
∀
n
∈
N
,
n
>
m
{\displaystyle \forall V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}\exists m\in \mathbb {N} \ :\ f(x_{n})\in V,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}
che è la definizione del limite
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=f(x_{0})}
⇐
)
{\displaystyle \Leftarrow )}
f
(
x
n
)
→
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{n})\to f(x_{0})}
(
x
n
)
∈
A
{\displaystyle (x_{n})\in A}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
{\displaystyle f}
∃
V
∈
I
f
(
x
0
)
:
∀
H
∈
I
x
0
∃
x
∈
A
∩
H
:
f
(
x
)
∉
V
{\displaystyle \exists V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}:\forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ \exists x\in A\cap H\ :\ f(x)\not \in V}
In parole povere, c'è un qualche intervallo di
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
per ogni intervallo di
x
0
{\displaystyle x_{0}}
V
{\displaystyle V}
f
{\displaystyle f}
∀
n
∈
N
∃
x
n
∈
A
∩
]
x
0
−
1
n
,
x
0
+
1
n
[
:
f
(
x
n
)
∉
V
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \exists x_{n}\in A\cap \left]x_{0}-{\frac {1}{n}},x_{0}+{\frac {1}{n}}\right[\ :\ f(x_{n})\not \in V}
La successione è convergente in
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
n
)
↛
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{n})\not \to f(x_{0})}
f
(
x
n
)
→
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{n})\to f(x_{0})}
◻
{\displaystyle \Box }
modifica
Se
f
:
A
→
B
,
g
:
B
→
R
{\displaystyle f:A\to B,g:B\to \mathbb {R} }
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
è continua su tutto
A
{\displaystyle A}
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
A
{\displaystyle A}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
0
∈
A
{\displaystyle x_{0}\in A}
A
{\displaystyle A}
x
0
∈
A
{\displaystyle x_{0}\in A}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
n
)
→
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{n})\to f(x_{0})}
g
{\displaystyle g}
f
(
x
0
)
=
y
0
∈
B
{\displaystyle f(x_{0})=y_{0}\in B}
g
(
y
n
)
→
g
(
y
0
)
⟺
g
(
f
(
x
n
)
)
→
g
(
f
(
x
0
)
)
,
∀
x
0
∈
A
{\displaystyle g(y_{n})\to g(y_{0})\Longleftrightarrow g(f(x_{n}))\to g(f(x_{0})),\ \forall x_{0}\in A}
◻
{\displaystyle \Box }
Algebra delle funzioni continue
modifica
Enunciamo qui le quattro proprietà delle funzioni continue. Dimostriamo solo la prima per ragioni di brevità, ma provare a dimostrarle è un utile esercizio che vi invitiamo a fare.
Siano
A
⊆
R
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }
f
,
g
{\displaystyle f,g}
A
{\displaystyle A}
f
+
g
∈
C
(
A
,
R
)
{\displaystyle f+g\in C(A,\mathbb {R} )}
Infatti:
lim
x
→
x
0
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
+
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
g
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}\left(f(x)+g(x)\right)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)=f(x_{0})+g(x_{0})}
f
g
∈
C
(
A
,
R
)
{\displaystyle fg\in C(A,\mathbb {R} )}
f
g
∈
C
(
A
,
R
)
{\displaystyle {\frac {f}{g}}\in C(A,\mathbb {R} )}
![{\displaystyle f(x_{0})\in ]f(x_{0})-\delta ,f(x_{0})+\delta [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602cbc976b07f3c07fee49538c95c0b876f3da38)
Nota:
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \exists x_{n}\in A\cap \left]x_{0}-{\frac {1}{n}},x_{0}+{\frac {1}{n}}\right[\ :\ f(x_{n})\not \in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cd43079edf484211ea4a967c6ff4b5dd7b1caf)
