Funzioni continue reali di variabile reale

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Sia $f:A\to \mathbb {R}$, $A\subseteq \mathbb {R}$ e $x_{0}$ un punto di accumulazione di $A$.
La funzione $f$ si dice continua in $x_{0}$ se

$\forall V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}\ \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)\in V,\ \forall x\in A\cap H$

oppure

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ,\ \forall x\in A,x\in |x-x_{0}|<\delta$

La definizione esprime il seguente concetto: a piccole variazioni dei valori del domino corrispondono piccole variazione dei valore della funzione.

Se $f$ è continua in ogni punto del suo dominio, allora si dice che $f$ è continua su $A$.

nota

Si indica con $C(A,\mathbb {R} )$ l'insieme delle funzioni da $A$ ad $\mathbb {R}$ continue in ogni punto di $A$.

Continuità

Se $x_{0}\not \in D(A)$ e $x_{0}\in A$, esiste $H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ A\cap H=\{x_{0}\}$ e dunque, per ogni intorno di $V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}$ si ha che $f(x)\in V,\ \forall x\in A\cap H$. Infatti, se $x\in A\cap H$ si ha per forza che $x=x_{0}$ e dunque certamente $f(x_{0})\in ]f(x_{0})-\delta ,f(x_{0})+\delta [$.

Se invece $x_{0}\in D(A)$, $f$ è continua se e solo se $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$. Infatti, se il limite di $f(x)$ è $f(x_{0})$, per la definizione di limite si ha:

Nota:
dimostrazione non chiara. rivedere

.

Criteri di continuità

Lemma (esistenza di una successione convergente)

Siano $A\subseteq \mathbb {R} ,\ x_{0}\in A,\ f:A\to \mathbb {R}$.

$f$ è continua in $x_{0}$ $\Longleftrightarrow$ $\lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=f(x_{0}),\ \forall (x_{n})\in A$ convergente a $x_{0}$

Dimostrazione

$\Rightarrow )$ . Supponiamo $f$ continua in $x_{0}$ e $(x_{n})$ convergente a $x_{0}$. Se $f$ è continua in $x_{0}$ si ha

$\forall V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}\exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)\in V,\ \forall x\in A\cap H$.

Inoltre, se $(x_{n})\to x_{0}$, si ha

$\forall L\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\exists m\in \mathbb {N} \ :\ x_{n}\in L,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$.

Abbiamo che $x_{n}\in A,\ \forall n\in \mathbb {N}$ (essendo una successione in $A$) e $x_{n}\in A\cap H$ solo se $n>m$.
Otteniamo dunque

$\forall V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}\exists m\in \mathbb {N} \ :\ f(x_{n})\in V,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

che è la definizione del limite $\lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=f(x_{0})$.

$\Leftarrow )$ . Supponiamo $f(x_{n})\to f(x_{0})$, qualunque sia la successione $(x_{n})\in A$ convergente a $x_{0}$. Per provare che $f$ è continua, ragioniamo per assurdo e supponiamo che non lo sia. Allora

$\exists V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}:\forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ \exists x\in A\cap H\ :\ f(x)\not \in V$.

In parole povere, c'è un qualche intervallo di $f(x_{0})$ per cui, per ogni intervallo di $x_{0}$, si ha che $f(x)$ non sta in quell'intervallo, per un qualche $x$ nell'intervallo di $x_{0}$.
Ora, la successione $(x_{n})$ è convergente a $x_{0}$, dunque per ogni intervallo di $x_{0}$ ci saranno dei termini di $(x_{n})$. L'affermazione sopra dice che per ogni intervallo di $x_{0}$, il valore della funzione di ogni punto di questi intervalli non sta in $V$ (cioè in quell'intervallo per cui non vale la continuità di $f$). Dunque, in particolare, possiamo prendere questo

$\forall n\in \mathbb {N} \exists x_{n}\in A\cap \left]x_{0}-{\frac {1}{n}},x_{0}+{\frac {1}{n}}\right[\ :\ f(x_{n})\not \in V$ (*)

La successione è convergente in $x_{0}$ ma $f(x_{n})\not \to f(x_{0})$ perché (*) è addirittura la negazione della definizione di limite!
Questo contraddice l'ipotesi che $f(x_{n})\to f(x_{0})$ e prova il Lemma.

$\Box$

Proposizione (continuità di della funzione composta)

Se $f:A\to B,g:B\to \mathbb {R}$ sono funzioni continue in tutto il loro dominio, allora la funzione composta

$g\circ f$

è continua su tutto $A$ (cioè su tutto il suo dominio).

Dimostrazione

$g\circ f$ è continua in $A$ se è continua in $x_{0}$, per ogni $x_{0}\in A$. Allora, per il Lemma precedente, prendiamo una successione in $A$ convergente a $x_{0}\in A$. Siccome, per ipotesi, $f$ è continua in $x_{0}$ (lo è addirittura in tutto il suo dominio) e dunque $f(x_{n})\to f(x_{0})$. Per ipotesi, anche $g$ è continua in tutto il suo dominio ed in particolare anche in $f(x_{0})=y_{0}\in B$.
Dunque, sempre per il Lemma,

$g(y_{n})\to g(y_{0})\Longleftrightarrow g(f(x_{n}))\to g(f(x_{0})),\ \forall x_{0}\in A$.

$\Box$

Algebra delle funzioni continue

Enunciamo qui le quattro proprietà delle funzioni continue. Dimostriamo solo la prima per ragioni di brevità, ma provare a dimostrarle è un utile esercizio che vi invitiamo a fare.

Siano $A\subseteq \mathbb {R}$, $f,g$ funzioni continue su tutto $A$.

Somma di funzioni continue

$f+g\in C(A,\mathbb {R} )$

Infatti:

$\lim _{x\to x_{0}}\left(f(x)+g(x)\right)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)=f(x_{0})+g(x_{0})$.

Prodotto di funzioni continue

$fg\in C(A,\mathbb {R} )$

Quoziente di funzioni continue

${\frac {f}{g}}\in C(A,\mathbb {R} )$