Frazioni e loro operazioni (scuola media)

Le frazioni non sono altro che un modo diverso per rappresentare i numeri. Un modo che ci permette di aumentare il numero dei numeri che si possono rappresentare in modo finito ad esempio

${\frac {1}{3}}=0,3333333...=0,{\overline {3}}$ è più funzionale. ${\frac {1}{3}}$ è più breve di $0,3333333...$ e si usa meglio nei calcoli di $0,{\overline {3}}$.

I calcoli con le frazioni come si fanno? Come si procede per sommare ${\frac {1}{3}}$ ad ${\frac {2}{5}}$? Il risultato è una frazione?

Ovviamente esiste una procedura per sommare le frazioni ed il risultato è ancora una frazione, ma, altrettanto ovviamente, si devono imparare un po' di regole.

Partiamo da un esempio semplice.

Addizione di frazioni con denominatore uguale

Se da una torta ricavo 5 fette delle quali ne prendo 1 e da una seconda torta uguale alla prima e tagliata anch'essa in 5 fette ne prendo 3, quante fette di torta grandi ${\frac {1}{5}}$ ho preso?

Questo esempio corrisponde alla somma di frazioni

${\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}$

in disegni

 + 

E' piuttosto intuitivo comprendere che

${\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}={\frac {\frac {3}{5}}{5}}$

 +  = 

...e ricavarne la regola generale.

la somma di frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che ha lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori.

Come vedremo per sommare frazioni qualsiasi ci si ridurrà a questo caso.

Addizione di frazioni

Video per chi non ama leggere: Matteo Ruffoni, Frazioni addizione, su YouTube, 13 mag 2018. Sappiamo come sommare frazioni aventi lo stesso denominatore, ma come si sommano due frazioni che non hanno lo stesso denominatore? Lo si fa utilizzando le frazioni equivalenti e trasformando le frazioni addendi in frazioni aventi lo stesso denominatore. Ad esempio

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}$

in disegni

 + 

entrambe le frazioni possono essere trasformate in frazioni equivalenti con denominatore $6$. Infatti

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {5}{6}}$

$6$ è il più piccolo denominatore che permette questa trasformazione essendo il $mcm(2,3)$.

E giusto per chiarezza in disegni:

 +  = 

La regola:

per sommare due frazioni le si riduce alle loro frazioni equivalenti aventi come denominatore il mcm dei denominatori, si procede poi come nella somma di frazioni aventi lo stesso denominatore

Negli esercizi è consuetudine scrivere le frazioni equivalenti con una lunga linea di frazione sotto alla quale compare una sola volta il denominatore comune, ad esempio

${\frac {2}{3}}+{\frac {3}{5}}={\frac {10+9}{15}}={\frac {19}{15}}$

Sottrazione di frazioni

Come per l'addizione la sottrazione di frazioni si fa facilmente nel momento in cui le due frazioni hanno lo stesso denominatore e quindi nel caso generale si trasformano le frazioni nelle loro equivalenti aventi lo stesso denominatore e poi si procede a sottrarre il numeratore del sottraendo al numeratore del minuendo delle frazioni equivalenti. Ad esempio:

 ${\frac {3}{4}}-{\frac {3}{5}}={\frac {15-12}{20}}={\frac {3}{20}}$

Esercizi per capire addizione e sottrazione di frazioni

Punto aggiunto per ogni risposta corretta:
Punti sottratti per ogni risposta non corretta:
Ignora i coefficienti di domanda:

1 ${\frac {2}{7}}+{\frac {3}{7}}=?$

	${\frac {5}{14}}$
	${\frac {5}{7}}$
	$5$

2 ${\frac {2}{3}}+{\frac {4}{3}}=?$

	$2$
	${\frac {6}{6}}$
	$1$

3 ${\frac {3}{10}}+{\frac {1}{10}}=?$

	${\frac {4}{20}}$
	${\frac {2}{5}}$
	$40$

4 ${\frac {7}{4}}+{\frac {2}{3}}={\frac {21+8}{?}}$

	${\frac {21+8}{7}}$
	${\frac {9}{7}}$
	${\frac {21+8}{12}}$

5 ${\frac {5}{4}}-{\frac {1}{2}}=?$

	${\frac {5-1}{6}}$
	${\frac {5-1}{2}}$
	${\frac {5-2}{4}}$

Moltiplicazione di frazioni

Algebra1 03 fig027 frazmol

Moltiplicare una frazione per una quantità corrisponde a suddividerla in un numero di parti pari al denominatore e di quelle parti prenderne un numero corrispondente al numeratore.

Nella figura qui a fianco la base del quadrato unità è suddivisa in 5 pezzi dei quali ne vengono presi quattro ${\frac {4}{5}}$. Il quadrato risulta così tagliato in quattro colonne che vengono a loro volta divise in 3 righe, e di queste tre righe vengono presi due pezzi.

Il quadrato risulta in totale tagliato in 15 pezzi da ${\frac {1}{15}}$ e di questi ne vengono presi 8.

Questa operazione corrisponde alla moltiplicazione tra frazioni

${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}={\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}={\frac {8}{15}}$

Semplificare prima di moltiplicare

Una volta svolta la moltiplicazione la frazione prodotto si può semplificare nella sua forma ai minimi termini, dove numeratore e denominatore non hanno fattori comuni

${\frac {8}{3}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {8\cdot 9}{3\cdot 10}}={\frac {72}{30}}={\frac {{\bcancel {72}}^{12}}{{\bcancel {30}}_{5}}}=={\frac {12}{5}}$

dove numeratore e denominatore sono stati entrambi divisi per 6 fattore comune a entrambi, 6 è $MCD(72,30)=6$.

Tenuto conto però che numeratori e denominatori saranno fattori del numeratore e del denominatore della frazione risultato si può anticipare di un passaggio la semplificazione, togliendo prima di procedere alla moltiplicazione i fattori comuni, così:

${\frac {8}{3}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {{\bcancel {8}}^{4}}{{\bcancel {3}}_{1}}}\cdot {\frac {{\bcancel {9}}^{3}}{{\bcancel {10}}_{5}}}={\frac {4\cdot 3}{1\cdot 5}}={\frac {12}{5}}$

cosa che rende i numeri da moltiplicare più piccoli e, forse, i calcoli più semplici.

Semplificazione in croce, osservazioni

La semplificazione anticipata viene chiamata comunemente semplificazione in croce, un altro esempio:

${\frac {6}{5}}\cdot {\frac {5}{12}}={\frac {{\bcancel {6}}^{1}}{{\bcancel {5}}_{1}}}\cdot {\frac {{\bcancel {5}}^{1}}{{\bcancel {12}}_{2}}}={\frac {1}{2}}$

Può capitare però che non tutte le frazioni siano irriducibili, e l'eventuale fattore in comune tra numeratore e denominatore può essere semplificato in anticipo:

${\frac {18}{15}}\cdot {\frac {5}{12}}={\frac {{\bcancel {18}}^{{\bcancel {6}}^{1}}}{{\bcancel {15}}_{{\bcancel {5}}_{1}}}}\cdot {\frac {{\bcancel {5}}^{1}}{{\bcancel {12}}_{2}}}={\frac {1}{2}}$

${\frac {18}{15}}$ non è una frazione ridotta ai minimi termini e quindi può essere semplificata.

Fare la frazione di un numero

La regola della moltiplicazione delle frazioni può essere applicata anche alla moltiplicazione di una frazione per un numero naturale, che non è altro che una frazione con denominatore 1,

$48={\frac {48}{1}}$ 

e dunque nel fare la frazione di un numero si può procedere moltiplicando, ed usando di conseguenza la semplificazione in croce.

Per calcolare i ${\frac {5}{8}}$ di 48 si può dunque procedere in due modi, con il classico:

$48:8=6\rightarrow 6\cdot 5=30$

oppure, forse, più comodamente:

${\frac {5}{{\bcancel {8}}^{1}}}\cdot {\bcancel {48}}^{6}=5\cdot 6=30$

Divisione di frazioni

Per prima cosa diamo un senso all'operazione di divisione tra frazioni ricordando che la divisione può essere interpretata anche come la ricerca del numero di volte che il divisore sta nel dividendo, quindi

${\frac {4}{5}}:{\frac {2}{3}}=$

corrisponde a chiedersi quante volte ${\frac {2}{3}}$ sta in ${\frac {4}{5}}$, è lecito che la risposta sia a sua volta una frazione.

Una frazione, divisore, può stare una frazione di volte nella frazione dividendo.

Ed infatti:

${\frac {4}{5}}:{\frac {2}{3}}={\frac {6}{5}}=1{\frac {1}{5}}$

dove il risultato è stato trasformato in un numero misto per evidenziare come ${\frac {2}{3}}$ sta in ${\frac {4}{5}}$ una volta e un quinto $1{\frac {1}{5}}$.

Per svolgere la divisione tra frazioni ci viene in aiuto la proprietà invariantiva ed il fatto che tutte le frazioni hanno una frazione reciproca, o inversa. La proprietà invariantiva ci dice che:

moltiplicando o dividendo il dividendo ed il divisore per una stessa quantità il risultato della divisione non cambia

Possiamo quindi usare un trucco nella divisione tra frazioni moltiplicando dividendo e divisore per la stessa frazione scelta in modo opportuno. Applichiamo la proprietà invariantiva moltiplicando per il reciproco della frazione divisore:

${\frac {4}{5}}:{\frac {2}{3}}=\left({\frac {4}{5}}\cdot {\frac {3}{2}}\right):\left({\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{2}}\right)=\left({\frac {4}{5}}\cdot {\frac {3}{2}}\right):1={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {3}{2}}$

così facendo otteniamo che la divisione si trasforma in una moltiplicazione, poichè il divisore diventa 1.

Possiamo cosi procedere:

$\left({\frac {4}{5}}\cdot {\frac {3}{2}}\right):\left({\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{2}}\right)=\left({\frac {{\bcancel {4}}^{2}}{5}}\cdot {\frac {3}{{\bcancel {2}}_{1}}}\right)={\frac {6}{5}}$

La regola:

la divisione tra frazioni è equivalente alla moltiplicazione della frazione dividendo per il reciproco della frazione divisore

Casi particolari

Ripartendo da un ulteriore esempio si procederà così

${\frac {8}{7}}:{\frac {12}{35}}={\frac {{\bcancel {8}}^{2}}{{\bcancel {7}}_{1}}}\cdot {\frac {{\bcancel {35}}^{5}}{{\bcancel {12}}_{3}}}={\frac {10}{3}}$

che nel caso di divisione per una frazione unitaria diventa moltiplicazione per un intero

${\frac {3}{4}}:{\frac {1}{2}}={\frac {3}{{\bcancel {4}}_{2}}}\cdot {{\bcancel {2}}^{1}}={\frac {3}{2}}$

ed invece con un divisore intero

${\frac {5}{4}}:10=\left({\frac {5}{4}}\cdot {\frac {1}{10}}\right)={\frac {{\bcancel {5}}^{1}}{4}}\cdot {\frac {1}{{\bcancel {10}}_{2}}}={\frac {1}{8}}$