Forza elettrica e campo elettrostatico

Carica Elettrica

In natura esistono due tipi di cariche elettriche: positiva e negativa. La carica elettrica è una grandezza fisica scalare dotata di segno e nel SI l'unità di misura è il coulomb indicata con C.

La più piccola carica conosciuta in natura è la carica dell'elettrone o del protone pari a:

$e=1.602\cdot 10^{-19}\ \mathrm {C}$

ed in particolare la carica dell'elettrone ha segno negativo e la carica del protone ha segno positivo. La carica elettrica di un qualsiasi oggetto è sempre un multiplo intero della carica elementare $e\$, per questo si dice che la carica elettrica è quantizzata. In un sistema chiuso, la carica elettrica si conserva, ovvero la carica elettrica non si crea e non si distrugge (principio di conservazione della carica elettrica).

La carica elettrica dell'elettrone fu determinata nel 1909 con grande precisione dal fisico statunitense Robert Millikan, nel celebre esperimento della goccia d'olio (vedi Esperimento di Millikan).

La Legge di Coulomb

Legge di Coulomb

Si considerino due cariche puntiformi, $q_{1}\$ e $q_{2}\$, nel vuoto ad una distanza $r\$ una dall'altra. La forza elettrica esercitata da $q_{1}\$ su $q_{2}\$ è data dalla Legge di Coulomb:

${\vec {F}}_{12}=k_{e}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}$

dove $k_{e}\$ è detta costante di Coulomb mentre ${\hat {r}}\$ rappresenta il versore da $q_{1}\$ a $q_{2}\$.

In accordo con la terza legge di Newton, la forza esercitata da $q_{2}\$ su $q_{1}\$ è pari a:

${\vec {F_{21}}}=-{\vec {F_{12}}}$.

In figura sono riportati due esempi in cui si ha attrazione (caso a)) fra le due cariche e repulsione (caso b))

Il valore della costante di Coulomb, espressa nelle unità di misura del SI vale:

$k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=8.98\cdot 10^{9}\ \mathrm {C^{-2}m^{2}N}$

dalla quale si può ricavare il valore di $\varepsilon _{0}$, chiamata costante dielettrica del vuoto:

$\varepsilon _{0}={\frac {1}{4\pi k_{e}}}=8,85\cdot 10^{-12}\ \mathrm {C^{2}m^{-2}N^{-1}}$

Forza Elettrica vs Forza Gravitazionale

Come si può notare la formula che permette di calcolare la forza elettrica tra due cariche è molto simile alla formula della forza gravitazionale che attrae due corpi di massa $m_{1}\$ e $m_{2}\$:

${\vec {F_{12e}}}=k_{e}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}\ \ \backsim \ \ {\vec {F_{12g}}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}$

dove G la costante di gravitazione universale il cui valore, determinato sperimentalmente, è:

$G=(6.67428\pm 0.0007)\cdot 10^{-11}\mathrm {{m}^{3}{Kg}^{-1}{s}^{-2}}$

Facciamo ora un confronto tra le due forze all'interno di un atomo. Qual è quella più intensa?

Consideriamo un atomo di idrogeno composto da un protone ed un elettrone. Considerando la distanza tra le due cariche pari al Raggio di van der Waals, la massa del protone e la massa dell'elettrone:

$r=120\cdot 10^{-12}\ \mathrm {m}$

$m_{1}=1.67\cdot 10^{-27}\ \mathrm {Kg}$

$m_{2}=9.10\cdot 10^{-31}\ \mathrm {Kg}$

calcoliamo l'intensità della forza gravitazionale:

$|F_{12g}|=6.67\cdot 10^{-11}{\frac {1.67\cdot 10^{-27}\cdot 9.10\cdot 10^{-31}}{(1,20\cdot 10^{-12})^{2}}}\thickapprox 7.0\cdot 10^{-48}\ \mathrm {N}$

che risulta esser ben 39 ordini di grandezza più piccola dell'intensità della forza elettrica:

$|F_{12e}|=8.98\cdot 10^{9}{\frac {(1.602\cdot 10^{-19})^{2}}{(1,20\cdot 10^{-12})^{2}}}\thickapprox 1.6\cdot 10^{-8}\ \mathrm {N}$

È quindi palese che la forza costitutrice degli atomi è quella elettrostatica.

Principio di Sovrapposizione

Come abbiamo visto la Legge di Coulomb permette di calcolare la forza elettrica che una carica esercita su una seconda carica (e viceversa). Quando sono presenti più di due cariche, la forza complessiva esercitata su una carica è la somma vettoriale delle forze elettriche esercitata dalle altre cariche sulla carica elettrica che stiamo considerando. Per esempio, se sono presenti 3 cariche, la forza elettrica esercitata da $q_{1}\$ e da $q_{2}\$ su $q_{3}\$ sarà:

${\vec {F}}_{3}={\vec {F}}_{13}+{\vec {F}}_{23}$

Per un sistema composto da $N$ cariche, la forza a cui è sottoposta una generica carica $q_{j}\$ (appartenente al sistema) sarà:

${\vec {F}}_{j}=\sum _{{}_{i\neq j}^{i=1}}^{N}{\vec {F}}_{ij}\qquad \qquad \qquad j=1..N$

dove con ${\vec {F}}_{ij}$ indichiamo la forza esercitata dalla carica $q_{i}\$ sulla carica $q_{j}\$.

In un sistema in cui le cariche sono fisse, il principio di sovrapposizione implica che la forza esercitata fra due cariche qualsiasi è indipendente dalla presenza delle altre cariche.

Esempio

Forze elettriche in un sistema di tre cariche

Siano $q_{1}\$, $q_{2}\$, $q_{3}\$tre cariche elettriche unitarie, disposte in un piano come in figura;

sia $a=3\cdot 10^{-2}m$ la distanza di $q_{1}\$ da $q_{2}\$ e $b=2\cdot 10^{-2}m$ la distanza di $q_{2}\$ da $q_{3}\$;

si considerino $q_{1}\$ negativa e $q_{2}\$, $q_{3}\$ positive.

La forza elettrica a cui è sottoposta $q_{3}\$, per il principio di sovrapposizione, sarà:

${\vec {F}}_{3}={\vec {F}}_{13}+{\vec {F}}_{23}=k_{e}{\frac {q_{1}q_{3}}{c^{2}}}{\hat {r}}_{13}+k_{e}{\frac {q_{2}q_{3}}{b^{2}}}{\hat {r}}_{23}\qquad \qquad \qquad \qquad c^{2}=a^{2}+b^{2}$

I vettori possono essere riscritti come:

${\hat {r}}_{13}=b{\hat {i}}+a{\hat {j}}$

${\hat {r}}_{23}=b{\hat {i}}$

e considerando il segno delle cariche e che sono unitarie, si ottiene:

${\begin{aligned}{\vec {F}}_{3}&=k_{e}q^{2}\left[-{\frac {1}{c^{2}}}(b{\hat {i}}+a{\hat {j}})+{\frac {1}{b^{2}}}b{\hat {i}}\right]\\&=k_{e}q^{2}\left[\left({\frac {b}{b^{2}}}-{\frac {b}{c^{2}}}\right){\hat {i}}-{\frac {a}{c^{2}}}{\hat {j}}\right]\\&=k_{e}{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {a^{2}}{b}}{\hat {i}}-a{\hat {j}}\right)=F_{3i}{\hat {i}}+F_{3j}{\hat {j}}\end{aligned}}$

Ora possiamo calcolare il modulo:

$\left|{\vec {F}}_{3}\right|={\sqrt {(F_{3i})^{2}+(F_{3j})^{2}}}=k_{e}{\frac {q^{2}}{c^{2}}}{\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{b}}\right)^{2}+(a)^{2}}}=k_{e}{\frac {q^{2}}{c^{2}}}{\sqrt {\frac {a^{2}(a^{2}+b^{2})}{b^{2}}}}=k_{e}{\frac {q^{2}a}{b{\sqrt {(a^{2}+b^{2})}}}}$

mentre per la direzione, l'angolo $\theta \$ indicato in figura risulta:

$\left|\theta \right|=\arctan \left({\frac {\left|F_{3j}\right|}{\left|F_{3i}\right|}}\right)=\arctan \left({\frac {ab}{a^{2}}}\right)=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)\qquad \qquad \qquad \theta \in [0,\pi [$

come era prevedibile osservando la figura.

Campo Elettrico

Linee del campo elettrico per una carica positiva (+) e negativa (-)

Linee del campo elettrico in un dipolo

La forza elettrica, come la forza gravitazionale, è una forza che agisce a distanza, anche quando gli oggetti non sono in contatto diretto tra di loro. Per giustificare questo comportamento a distanza si dice che una carica crea un "campo" nel quale interagiscono le altre cariche. Una carica elettrica $q\$ produce un campo elettrico in ogni punto attorno alla carica stessa. Per quantificare l'intensità del campo elettrico creato dalla presenza della carica, immaginiamo di avere una carica di prova $q_{0}$ positiva, di posizionarla in un punto e di poter misurare la forza esercitata da $q\$ su $q_{0}$. Il campo elettrico ${\vec {E}}$ è definito come:

${\vec {E}}=\lim _{{q_{0}}\to 0}{\frac {{\vec {F}}_{e}}{q_{0}}}$

Si noti che "l'operazione di limite" viene utilizzata per assicurarsi che il campo elettrico generato dalla carica $q_{0}$ non interferisca con il campo elettrico che vogliamo misurare (operazione puramente concettuale, poiché, come abbiamo visto la carica elettrica in natura è quantizzata). L'analogia con il campo gravitazionale è immediata:

${\vec {g}}=\lim _{{m_{0}}\to 0}{\frac {{\vec {F}}_{g}}{m_{0}}}$

Possiamo quindi dire che la carica $q\$ genera un campo elettrico che esercita una forza ${\vec {F}}_{e}=q_{0}{\vec {E}}$ su una carica campione $q_{0}$

Utilizzando la definizione di campo elettrico appena mostrata e la legge di Coulomb, il campo elettrico ad una distanza $r\$ da una carica $q\$ è dato da:

${\vec {F}}_{qq_{0}}=k_{e}{\frac {qq_{0}}{r^{2}}}{\hat {r}}=q_{0}{\vec {E}}\Leftrightarrow {\vec {E}}=k_{e}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {r}}$

Allo stesso modo, utilizzando il principio di sovrapposizione, il campo elettrico generato da un sistema di cariche ad una distanza $r\$ è dato dalla somma vettoriale dei campi generati dalle singole cariche:

${\vec {E}}=\sum _{i}{\vec {E}}_{i}=k_{e}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{r_{i}^{2}}}{\hat {r_{i}}}\qquad \qquad \qquad \qquad i=1\dots N$