Formulazione degli algoritmi delle funzioni di correlazione

Le funzioni di correlazione

L'integrale

$C=1/To\int _{0}^{To}[f1(t)]\cdot [f2(t)]\,dt\ \ \ \$ 1)

sviluppato in una lezione precedente prevede il computo del fattore di correlazione $C$ (che è un valore numerico) per infiniti valori che $f1(t)\ e\ f2(t)$ hanno negli stessi tempi.

Una estensione del concetto ora esposto porta ad un nuovo integrale che pur rappresentando implicitamente anche la 1) si presta in una più ampia generalità delle applicazioni tecniche.

Molte delle funzioni con le quali si ha a che fare nel campo delle tecniche applicate rappresentano dei segnali e le informazioni che esse contengono dipendono dal modo col quale esse variano nel tempo.

Quindi è interessante determinare non solo il fattore di correlazione fra i valori delle funzioni prese nello stesso attimo ma, ad esempio, fra i valori delle due funzioni presi uno al tempo $t$ e l'altro non al tempo $t$ ma al tempo $t+\tau$ .

In questo caso il nuovo integrale tra le due funzioni si otterra direttamente dalla 1) mediante la sostituzione della variabile indipendente $t$ di $f2(t)$ con la nuova variabile $t+\tau$.

Si passa cioè dal fattore numerico $C$ ad una funzione di correlazione $C(\tau )1,2$ come mostra la 2) :

$C(\tau )1,2=1/To\int _{0}^{To}[f1(t)]\cdot [f2(t+\tau )]\,dt\ \ \ \$ 2).

I pedici $1,2$ di $C(\tau )$, ad indicare la presenza delle due funzioni $f1(t)\ e\ f2(t)$.

L'integrale $C(\tau )1,2$ espresso dalla 2) è definito come FUNZIONE DI CORRELAZIONE INCROCIATA dato che i prodotti all'interno di esso sono eseguiti tra due diverse funzioni del tempo in dipendenza di $\tau$.

La figura 1 illustra graficamente il processo di trasformazione:

figura 1

Naturalmente con questo cambiamento di variabile il valore di $C(\tau )1,2$ non sarà dipendente soltanto dalle caratteristiche intrinseche di $f1(t)\ e\ f2(t),$ ma sarà variabile anche in funzione di $\tau$.

E' inteso che per ottenere i valori di $C(\tau )1,2$ bisognerà per ogni valore di $\tau$ prendere le coppie di valori $fl(t)\ e\ f2(t+r)$ per tutto it tempo $To$, moltiplicarli e poi farne il valore medio durante $To.$

Note sulle variabili temporali della 2)

Per comprendere meglio il significato della funzione $C(\tau )1,2$ e bene notare che ci sono in essa tre diversi simboli del tempo.

La variabile $\tau$ che ci dà la differenza di tempo fra due attimi, $t\ e\ t+\tau$ nei quali dobbiamo misurare e moltiplicare i valori di $f1\ e\ f2$, la variabile $t$ comune alle due funzioni $f1(t)\ e\ f2(t)$ e $To$ che è la durata durante la quale si osserva it fenomeno.

Oltre alle funzioni di correlazione incrociata sono state studiate altre funzioni definite come FUNZIONI DI AUTOCORRELAZIONE, funzioni che andremo ad illustrare in seguito, indicandole con il simbolo $C(\tau )$ per diversificarle dalle precedenti.

Le funzioni di autocorrelazione

L'introduzione della variabile addizionale $\tau$ permette di ampliare il concetto di correlazione espresso in precedenza; applicando lo stesso ragionamento alla sola funzione del tempo $f1(t)$ e alla sua traslata temporale $f1(t+\tau )$ si può formulare un nuovo integrale:

$C(\tau )=1/To\int _{0}^{To}[f1(t)]\cdot [f1(t+\tau )]\,dt\ \ \ \$ 3).

L'integrale della 3) esprime doe il valore medio del prodotto di una funzione del tempo per se stessa ritardata di un tempo $\tau$

La funzione di correlazione espressa dalla 3) prende pertanto i nome di FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.

I valori estremi delle funzioni di correlazione

Anche le funzioni di autocorrelazione e di correlazione incrociata, similmente ai fattori di correlazione definiti in precedenza, possono assumere valori positivi, negativi o nulli in dipendenza della legge di interdipendenza tra le grandezze in gioco.

Se il valore di $C(\tau )\ o\ C(\tau )1,2$ sarà il massimo positivo si dirà che le funzioni del tempo sono CORRELATE.

Se il valore di $C(\tau )\ o\ C(\tau )1,2$ sarà zero si dirà che le funzioni del tempo sono SCORRELATE.

Se il valore di $C(\tau )\ o\ C(\tau )1,2$ sarà il massimo negativo si dirà che le funzioni del tempo sono INVERSOCORRELATE.

Bibliografia

• Cesare Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993