Estensione del problema di Saint Venant

Il problema di Saint Venant, e di conseguenza le soluzioni a cui si è giunti, non sarebbe in teoria applicabile a nessun caso della pratica tecnica. In realtà, basandosi sulle notevoli esperienze reali in questo campo, è possibile utilizzare i risultati ottenuti anche in altri casi, oltre a quelli strettamente previsti dalle ipotesi del problema.

In particolare, è possibile estendere la soluzione del problema di Saint Venant a:

• elementi non cilindrici, e cioè con asse baricentrico non rettilineo purché avente curvatura molto maggiore della dimensione della sezione;
• elementi non a sezione costante, a patto che la variazione di sezione avvenga con gradualità e continuità;
• elementi caricati sulla superficie laterale;
• elementi sottoposti a forze di volume.

Se si assume, poi, che in corrispondenza degli estremi dell'elemento strutturale (e cioè delle sue basi) la distribuzione delle tensioni sia effettivamente quella ipotizzata da Saint Venant nelle sue soluzioni, queste ultime sono valide in ogni punto del corpo.

Restano escluse dalla trattazione, dunque, le zone soggette a brusche variazioni di sezione e a curvatura molto pronunciata. Oltre a queste zone sono escluse anche quelle zone degli elementi strutturali che sono sede di forze o coppie concentrate. Si fa notare, tuttavia, che queste entità sono in realtà delle astrazioni matematiche, le quali non esistono sul piano fisico: in ogni caso, infatti, le azioni mutue che qualsiasi corpo scambia con un altro è caratterizzato da una forza distribuita su una superficie, che per quanto possa essere ridotta è comunque estesa e mai puntuale. Nella risoluzione degli elementi strutturali, dunque, si ritroveranno comunque azioni concentrate, senza per questo pregiudicare la validità della soluzione.

In linea generale l'elemento strutturale che soddisfa le condizioni geometriche ipotizzate da Saint Venant e qui in parte corrette viene definito trave.

Per lo studio di questi elementi, nel caso più generale di trave ad asse curvilineo, si è soliti utilizzare una coppia di sistemi di riferimento:

• un sistema di riferimento globale, avente origine nel baricentro di una delle due sezioni di estremità, un asse $z$ coincidente con la direzione che l'asse della trave ha in quel punto, due assi perpendicolari al precedente e tra loro $x,y$ e mutuamente ortogonali;
• un sistema di riferimento locale, definito in maniera analoga a quello globale ma con riferimento al baricentro della generica sezione della trave.

Nel caso di trave rettilinea è possibile trascurare il secondo sistema di riferimento e utilizzare solo il primo.