Esercizi sulla trasformazione di variabili casuali

Esercizio:

Date due variabili casuali $X$ e $Y$ con distribuzione $U[0,1]$, calcolare la funzione di densità di probabilità della variabile casuale

$Z={\frac {X}{Y}}$

Sfruttiamo un metodo chiamato della variabile ausiliaria:

$\left\{{\begin{matrix}Z=g_{1}(X,Y)={\frac {X}{Y}}\\W=g_{2}(X,Y)=X\end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}Y=g_{1}^{-1}(Z,W)=WZ\\X=g_{2}^{-1}(Z,W)=\cdots \end{matrix}}\right.$

Si ha

$J_{g}=\left[{\begin{matrix}-{\frac {1}{x^{2}}}&{\frac {1}{x}}\\1&0\end{matrix}}\right]$

con determinante

$\det(J_{g})=-{\frac {1}{x}}$

Si ha

$f_{ZW}={\frac {f_{XY}(W,ZW)}{|\det(J_{g})|}}={\frac {2}{\frac {1}{|W|}}}=2\cdot |W|$

Il dominio è

• $W\in [-1,0]$
• $Z\in [-\infty ,0]$

da cui si ottiene

$Y=(X+1)\cdot rect\left(X+{\frac {1}{2}}\right)\Rightarrow Z={\frac {(X+1)}{X}}\cdot rect\left(X+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {W+1}{W}}\cdot rect\left(W+{\frac {1}{2}}\right)$

File:TFA esempio X diviso Y variabile ausiliaria.png

Si ha

$f_{X}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{ZW}(z,w)dw=\int _{\frac {1}{z-1}}^{0}2w\cdot dw$

siccome

$Z={\frac {W+1}{1}}\Rightarrow w=-{\frac {1}{(z-1)^{2}}}$

allora si ottiene

$f_{X}(z)=\left[\not 2\cdot {\frac {w^{2}}{\not 2}}\right]_{\frac {1}{(z-1)^{2}}}^{0}=-{\frac {1}{(z-1)^{2}}}$

Quindi, si ha

$f_{Z}(z)=\left|{\frac {1}{(z-1)^{2}}}\right|$

visto che prima si è lasciato indietro un modulo.

Esercizio:

Date due variabili casuali $X$ e $Y$ con funzioni di densità di probabilità di tipo $U[0,1]\times U[0,1]$, determinare la densità di probabilità della variabile casuale

$Z={\frac {\max(X,Y)}{\min(X,Y)}}$

Per risolvere questo problema ci sono due metodi:

Metodo 1:

Si va a calcolare prima $F_{Z}$, per poi derivare $f_{Z}$. Si ha

$F_{Z}(z)=P(Z\leq z)=P\left({\frac {\max(X,Y)}{\min(X,Y)}}\leq z\right)=_{X,Y\geq 0}P(\max(X,Y)\leq z\cdot \min(X,Y))$

• se vale che $Y\geq X$, allora si ha

$P(Y\leq _{Z}X)=\left\{{\begin{matrix}0&z<1\\\int _{0}^{1}\left(\int _{y/z}^{y}dx\right)dy={\frac {1}{2}}\left({\frac {z-1}{z}}\right)&z\geq 1\end{matrix}}\right.$

• se vale, al contrario, $Y<X$, allroa

$P(X\leq _{Z}Y)=\left\{{\begin{matrix}0&z-1\\\int _{0}^{1}\left(\int _{\frac {x}{y}}^{x}dy\right)dx={\frac {1}{2}}\left({\frac {z-1}{z}}\right)&z\geq 1\end{matrix}}\right.$

Da qui si ottiene

$F_{Z}(z)={\frac {z-1}{z}}\Rightarrow f_{Z}(z)={\frac {1}{^{2}}}\ z\geq 1$

Metodo 2: Lasciato per esercizio

La definizione di $Z$ può essere rivista come

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {X}{Y}}&X\geq Y\\{\frac {Y}{X}}&X<Y\end{matrix}}\right.$

quindi si ha

$f_{Z}(z)=f_{Z|X\geq Y}(z|x\geq y)P(X\geq Y)+f_{Z|X<Y}(z|x<y)P(X<Y)$