Date due variabili casuali
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
e
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
con distribuzione
![{\displaystyle U[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4a82b2a883d751cf53e5ac11ea12b9e36298f0)
, calcolare la funzione di densità di probabilità della variabile casuale
![{\displaystyle Z={\frac {X}{Y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f0d834690582a44c26c797d3cb2cf494987423)
Sfruttiamo un metodo chiamato della variabile ausiliaria:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}Z=g_{1}(X,Y)={\frac {X}{Y}}\\W=g_{2}(X,Y)=X\end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}Y=g_{1}^{-1}(Z,W)=WZ\\X=g_{2}^{-1}(Z,W)=\cdots \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bbce13af59d163f472f4cc0f629f71f33afeb71)
Si ha
![{\displaystyle J_{g}=\left[{\begin{matrix}-{\frac {1}{x^{2}}}&{\frac {1}{x}}\\1&0\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ab578058a50234009be51199479cdae716605)
con determinante
![{\displaystyle \det(J_{g})=-{\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713e86f7999064326eacdb0d3eafee8d97154f8e)
Si ha
![{\displaystyle f_{ZW}={\frac {f_{XY}(W,ZW)}{|\det(J_{g})|}}={\frac {2}{\frac {1}{|W|}}}=2\cdot |W|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03199ff79f8700710c2182fac8d52e1d1559141)
Il dominio è
![{\displaystyle W\in [-1,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9b95ab95fb507eec89ed226ff20bf49af99bf2)
![{\displaystyle Z\in [-\infty ,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7957b83b351f7b9f1426435d82c9271906904c)
da cui si ottiene
![{\displaystyle Y=(X+1)\cdot rect\left(X+{\frac {1}{2}}\right)\Rightarrow Z={\frac {(X+1)}{X}}\cdot rect\left(X+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {W+1}{W}}\cdot rect\left(W+{\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3b13775089519236e72116b04ffe2760545c69)
File:TFA esempio X diviso Y variabile ausiliaria.png
Si ha
![{\displaystyle f_{X}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{ZW}(z,w)dw=\int _{\frac {1}{z-1}}^{0}2w\cdot dw}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04e109d7cf0055f331f0e452a7547188d656951)
siccome
![{\displaystyle Z={\frac {W+1}{1}}\Rightarrow w=-{\frac {1}{(z-1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d07503e72983bea485ae8352f923b302799e27)
allora si ottiene
![{\displaystyle f_{X}(z)=\left[\not 2\cdot {\frac {w^{2}}{\not 2}}\right]_{\frac {1}{(z-1)^{2}}}^{0}=-{\frac {1}{(z-1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7652d56b5df043f38bcaeea182fe0b19ec30ecc6)
Quindi, si ha
![{\displaystyle f_{Z}(z)=\left|{\frac {1}{(z-1)^{2}}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3654c9ca26e83672d10d3c15a38304ebb863bfdc)
visto che prima si è lasciato indietro un modulo.
Esercizio:
Date due variabili casuali
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
e
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
con funzioni di densità di probabilità di tipo
![{\displaystyle U[0,1]\times U[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a9cea76afbd23aa0710d6106293bf8c12f430b)
, determinare la densità di probabilità della variabile casuale
![{\displaystyle Z={\frac {\max(X,Y)}{\min(X,Y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d85009272ebfc10e6963a01be2b39d079d327d)
Per risolvere questo problema ci sono due metodi:
Metodo 1:
Si va a calcolare prima
![{\displaystyle F_{Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087cedf7a50b6bcf38c737465e266530c40d7131)
, per poi derivare
![{\displaystyle f_{Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fdc798bb6fba42a3abfbe11882709382cd1659)
. Si ha
![{\displaystyle F_{Z}(z)=P(Z\leq z)=P\left({\frac {\max(X,Y)}{\min(X,Y)}}\leq z\right)=_{X,Y\geq 0}P(\max(X,Y)\leq z\cdot \min(X,Y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eac1b7545758165406c6c5c45d17da20042a55a)
- se vale che
, allora si ha
![{\displaystyle P(Y\leq _{Z}X)=\left\{{\begin{matrix}0&z<1\\\int _{0}^{1}\left(\int _{y/z}^{y}dx\right)dy={\frac {1}{2}}\left({\frac {z-1}{z}}\right)&z\geq 1\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920d34a7a5de2b9ec75fa8cdf99145066288b5cd)
- se vale, al contrario,
, allroa
![{\displaystyle P(X\leq _{Z}Y)=\left\{{\begin{matrix}0&z-1\\\int _{0}^{1}\left(\int _{\frac {x}{y}}^{x}dy\right)dx={\frac {1}{2}}\left({\frac {z-1}{z}}\right)&z\geq 1\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966a52f0c222501bf64c6f72347325c4d1ca6f78)
Da qui si ottiene
Metodo 2: Lasciato per esercizio
La definizione di
![{\displaystyle Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd)
può essere rivista come
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {X}{Y}}&X\geq Y\\{\frac {Y}{X}}&X<Y\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f171d0bab490a360806fb634ef7ec81dae3321c)
quindi si ha