File:GuscioSfericocontreraggi.png
Una carica
Q
{\displaystyle Q\ }
è distribuita uniformemente su un guscio sferico
di raggio interno
R
1
{\displaystyle R_{1}\ }
e raggio esterno
R
2
{\displaystyle R_{2}\ }
. Determinare il campo
nel punto
R
3
{\displaystyle R_{3}\ }
equidistante tra le due superfici del guscio sferico
e la differenza di potenziale tra le due superfici del guscio.
(dati del problema
Q
=
1
n
C
{\displaystyle Q=1\ nC}
,
R
1
=
10
c
m
{\displaystyle R_{1}=10\ cm}
,
R
2
=
30
c
m
{\displaystyle R_{2}=30\ cm}
. )
→ Vai alla soluzione
Un guscio sferico isolante di spessore trascurabile di raggio
R
{\displaystyle R\ }
e carica
Q
{\displaystyle Q\ }
ha un piccolo foro di raggio
r
o
{\displaystyle r_{o}\ }
.
La carica è distribuita con densità superficiale uniforme (se il guscio fosse conduttore la carica sarebbe non uniforme).
Tale foro non modifica la distribuzione uniforme di carica sulla sfera ed ai fini del calcolo si approssima il foro con una carica
puntiforme (di valore opportuno e di segno chiaramente negativo).
Determinare il campo nel centro della sfera e in che posizione dello spazio il campo elettrico è nullo. Discutere se l'approssimazione con una carica puntiforme sia giusta.
(Dati del problema
Q
=
1
μ
C
{\displaystyle Q=1\ \mu C}
,
R
=
1.5
m
{\displaystyle R=1.5\ m}
,
r
o
=
5
c
m
{\displaystyle r_{o}=5\ cm}
)
→ Vai alla soluzione
Il campo elettrostatico sulla superficie della terra in condizioni di bel tempo
vale circa
E
t
{\displaystyle E_{t}\ }
, diretto verso il centro della terra.
La terra che ha un raggio
R
t
{\displaystyle R_{t}\ }
è globalmente neutra, per cui fino
ad una quota di
h
{\displaystyle h\ }
vi è una densità volumetrica approssimativamente distribuita uniformemenente, tale carica deve essere eguale e contraria alla carica superficiale.
Determinare a) la carica totale sulla superficie della terra, b)La differenza di potenziale tra il punto a quota
h
{\displaystyle h\ }
e la superficie della terra. c) la capacità equivalente
della terra in senso lato.
(dati del problema
R
t
=
6350
k
m
{\displaystyle R_{t}=6350\ km}
,
h
=
10
k
m
{\displaystyle h=10\ km}
,
E
t
=
100
V
/
m
{\displaystyle E_{t}=100\ V/m}
)
→ Vai alla soluzione
Tre gusci sferici concentrici conduttori hanno raggi
R
{\displaystyle R\ }
,
1.5
R
{\displaystyle 1.5R\ }
e
2
R
{\displaystyle 2R\ }
. Il guscio esterno ed interno
sono allo stesso potenziale nullo (rispetto all'infinito). Sul guscio intermedio è depositata una carica
Q
{\displaystyle Q\ }
.
Determinare la d.d.p tra il guscio intermedio e gli altri due, la capacità elettrica del sistema ed il campo elettrico massimo in valore assoluto.
(dati del problema
Q
=
3
μ
C
R
=
10
m
{\displaystyle Q=3\ \mu C\quad R=10\ m}
,
suggerimento perché il potenziale sia nullo occorre
che la carica totale sui tre gusci sia nulla)
→ Vai alla soluzione
Una nuvola cilindrica di raggio
R
{\displaystyle R\ }
ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse secondo la legge:
ρ
=
A
+
B
r
{\displaystyle \rho =A+Br\ }
Se il campo ad
R
/
2
{\displaystyle R/2\ }
vale in modulo
E
1
{\displaystyle E_{1}\ }
mentre a
5
R
{\displaystyle 5R\ }
vale
E
2
{\displaystyle E_{2}\ }
.
Determinare il campo elettrico sul bordo della nuvola e la d.d.p. tra il bordo della nuvola ed il centro della nuvola.
(Dati del problema:
R
=
10
m
{\displaystyle R=10\ m}
,
E
1
=
10
4
V
/
m
{\displaystyle E_{1}=10^{4}\ V/m}
,
E
2
=
5
⋅
10
3
V
/
m
{\displaystyle E_{2}=5\cdot 10^{3}\ V/m}
)
→ Vai alla soluzione
Un doppio strato è costituito da due regioni planari
(ai fini dei conti infinite) di densità di carica
ρ
{\displaystyle \rho \ }
e
−
ρ
{\displaystyle -\rho \ }
e di spessore d . Determinare il campo massimo e la d.d.p. tra -d e d .
(Dati del problema:
ρ
=
50
C
/
m
3
{\displaystyle \rho =50\ C/m^{3}}
,
d
=
0.3
μ
m
{\displaystyle d=0.3\ \mu m\ }
)
→ Vai alla soluzione
Una sfera non conduttrice di raggio
R
2
{\displaystyle R_{2}\ }
contiene una cavità sferica concentrica di raggio
R
1
{\displaystyle R_{1}\ }
. Tra
R
1
{\displaystyle R_{1}\ }
ed
R
2
{\displaystyle R_{2}\ }
è distribuita
uniformemente una carica
Q
{\displaystyle Q\ }
.
Determinare il valore del campo massimo ed il potenziale del centro della distribuzione di carica rispetto all'infinito.
(dati del problema
Q
=
18
n
C
{\displaystyle Q=18\ nC}
,
R
1
=
2
c
m
{\displaystyle R_{1}=2\ cm}
,
R
2
=
9
c
m
{\displaystyle R_{2}=9\ cm}
)
→ Vai alla soluzione
8. Differenza di potenziale di una nuvola sferica
modifica
Una nuvola sferica carica ha un raggio
R
{\displaystyle R\ }
ed ha una densità di carica uniforme, la carica totale della nuvola è
Q
{\displaystyle Q\ }
. Determinare la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il bordo della nuvola.
(Dati del problema:
R
=
3
k
m
{\displaystyle R=3\ km}
,
Q
=
1
C
{\displaystyle Q=1\ C}
.)
La soluzione è approssimata alla prima cifra dopo la virgola.
→ Vai alla soluzione
Una sfera conduttrice isolata di raggio
R
{\displaystyle R\ }
viene caricata ad un potenziale rispetto all'infinito di
V
0
{\displaystyle V_{0}\ }
(e isolata dall'alimentatore). In seguito viene connessa mediante un filo ad una sfera lontana scarica
di raggio la metà:
Determinare il potenziale a cui si portano le sfere.
(dati del problema
V
0
=
500
V
{\displaystyle V_{0}=500\ V}
,
R
=
10
c
m
{\displaystyle R=10\ cm}
)
→ Vai alla soluzione
In una regione di spazio, limitata da due piani paralleli al piano cartesiano
y
z
{\displaystyle yz\ }
ed infiniti, distanti
d
{\displaystyle d\ }
l'uno dall'altro, vi è una distribuzione di carica costante
ρ
{\displaystyle \rho \ }
.
Calcolare il campo elettrico nella regione di spazio compresa tra i due piani e la differenza di potenziale (in modulo) tra il centro della regione di spazio ed un estremo.
(dati del problema:
ρ
=
10
−
8
C
/
m
3
{\displaystyle \rho =10^{-8}\ C/m^{3}\ }
,
d
=
1
m
{\displaystyle d=1\ m}
)
→ Vai alla soluzione
Una goccia sferica di acqua, un conduttore liquido, su cui è presente una carica
q
o
{\displaystyle q_{o}\ }
, ha un potenziale
V
0
{\displaystyle V_{0}\ }
rispetto all'infinito.
Determinare il raggio della sfera.
(dati del problema
q
o
=
10
p
C
{\displaystyle q_{o}=10\ pC}
,
V
0
=
100
V
{\displaystyle V_{0}=100\ V}
)
→ Vai alla soluzione
Una nuvola sferica carica ha un raggio
R
{\displaystyle R\ }
. La densità
di carica è uniforme tra
0
{\displaystyle 0\ }
ed
R
/
2
{\displaystyle R/2\ }
e vale
ρ
/
2
{\displaystyle \rho /2\ }
, mentre nel
resto della nuvola (il guscio esterno restante) la densità
è ancora uniforme, ma vale
ρ
{\displaystyle \rho \ }
.
La carica totale della nuvola
è nota e vale Q.
Determinare il campo elettrico a distanza
2
/
3
R
{\displaystyle 2/3R\ }
dal centro della nuvola sferica.
(Dati del problema:
R
=
1
m
{\displaystyle R=1\ m\ }
,
Q
=
4
⋅
10
−
6
C
{\displaystyle Q=4\cdot 10^{-6}\ C}
)
→ Vai alla soluzione
13. Un corpo di massa m e carico
modifica
Un corpo di massa
m
{\displaystyle m\ }
e carica
−
e
{\displaystyle -e\ }
si muove all'interno di una
sfera di raggio
R
{\displaystyle R\ }
sulla quale è distribuita uniformemente una
carica
e
{\displaystyle e\ }
.
La forza esercitata è di tipo elastico (come si può dimostrare), calcolare la frequenza delle oscillazioni.
(dati del problema
m
=
9.11
⋅
10
−
31
K
g
{\displaystyle m=9.11\cdot 10^{-31}\ Kg}
,
−
e
=
−
1.6
⋅
10
−
19
C
{\displaystyle -e=-1.6\cdot 10^{-19}\ C}
,
R
=
10
−
10
m
{\displaystyle R=10^{-10}\ m}
)
→ Vai alla soluzione
Una giunzione p-n tra due semiconduttori, che è rappresentabile
come un doppio strato (piano) di spessore
2
d
{\displaystyle 2d\ }
, ha una densità di carica volumetrica che varia secondo la legge:
ρ
=
A
t
−
d
<
t
<
d
{\displaystyle \rho =At\qquad -d<t<d\ }
.
Al di fuori dello strato la carica è nulla.
Determinare il campo elettrico sulla superficie dello strato e la differenza di potenziale tra
i due estremi dello strato
(Dati del problema:
d
=
1
μ
m
{\displaystyle d=1\ \mu m}
,
A
=
1
⋅
10
7
C
/
m
4
{\displaystyle A=1\cdot 10^{7}\ C/m^{4}}
)
→ Vai alla soluzione
15. Nuvola sferica con due densità
modifica
Una nuvola sferica di raggio
2
R
=
6
m
{\displaystyle 2R=6\ m\ }
carica ha una densità di carica
ρ
=
1
⋅
10
−
8
C
/
m
3
{\displaystyle \rho =1\cdot 10^{-8}\ C/m^{3}\ }
uniforme a distanza dal centro tra
0
{\displaystyle 0\ }
ed
R
{\displaystyle R\ }
e diventa di segno opposto
−
ρ
{\displaystyle -\rho \ }
, ma sempre uniforme tra
R
{\displaystyle R\ }
e
2
R
{\displaystyle 2R\ }
.
Determinare a) la carica
Q
2
{\displaystyle Q_{2}\ }
tra
R
{\displaystyle R\ }
e
2
R
{\displaystyle 2R\ }
;
b) il campo elettrico in
4
R
{\displaystyle 4R\ }
; c) a che distanza dal centro (escludendo il centro e l'infinito) il campo è nullo;
d) La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola (
2
R
{\displaystyle 2R\ }
) ed la regione di transizione (
R
{\displaystyle R\ }
).
→ Vai alla soluzione
Un filo rettilineo, di lunghezza infinita, uniformemente carico, con una densità di carica lineare
λ
{\displaystyle \lambda \ }
, è parallelo ed è ad una distanza
d
{\displaystyle d\ }
da una superficie piana isolante (di spessore trascurabile) uniformemente carica con densità di carica superficiale
σ
{\displaystyle \sigma \ }
.
Determinare: a) la forza per unità di lunghezza che si ha tra il filo e la superficie. b) la distanza dal piano, sulla verticale passante per il filo, per la quale il campo elettrico è nullo.
(dati del problema
σ
=
10
−
5
C
/
m
2
{\displaystyle \sigma =10^{-5}\ C/m^{2}\ }
,
λ
=
−
4
⋅
10
−
6
C
/
m
{\displaystyle \lambda =-4\cdot 10^{-6}\ C/m\ }
,
d
=
3
c
m
{\displaystyle d=3\ cm\ }
)
→ Vai alla soluzione
Una nuvola cilindrica molto lunga (lunghezza praticamente infinita) di raggio
R
{\displaystyle R\ }
, ha una densità di carica uniforme
pari a
ρ
{\displaystyle \rho \ }
. Una particella di carica
q
{\displaystyle q\ }
e massa
m
{\displaystyle m\ }
inizialmente ferma va da una posizione a distanza
R
1
=
R
/
2
{\displaystyle R_{1}=R/2\ }
dall'asse fino a
R
2
=
4
R
{\displaystyle R_{2}=4R\ }
. Determinare a) l'accelerazione nel punto
R
1
{\displaystyle R_{1}\ }
, b) l'accelerazione nel punto
R
2
{\displaystyle R_{2}\ }
,
3) La velocità con cui la particella arriva nel punto
R
2
{\displaystyle R_{2}\ }
.
(dati del problema
R
=
1
m
{\displaystyle R=1\ m\ }
,
ρ
=
10
−
6
C
/
m
3
{\displaystyle \rho =10^{-6}\ C/m^{3}\ }
,
m
=
10
−
19
k
g
{\displaystyle m=10^{-19}\ kg\ }
,
q
=
1.6
⋅
10
−
19
C
{\displaystyle q=1.6\cdot 10^{-19}\ C\ }
)
→ Vai alla soluzione
18. Nuvola sferica con densità cubica
modifica
Una nuvola sferica di raggio
R
{\displaystyle R\ }
, ha una densità di carica variabile rapidamente con la distanza dal centro con legge:
ρ
=
A
r
3
{\displaystyle \rho =Ar^{3}\ }
ed una carica totale
Q
{\displaystyle Q\ }
.
Determinare: a) il valore di A; b) il valore del campo elettrico a
R
/
2
{\displaystyle R/2\ }
; c) la differenza di potenziale tra i centro della nuvola e l'infinito.
(dati del problema
Q
=
1
n
C
{\displaystyle Q=1\ nC\ }
,
R
=
3
c
m
{\displaystyle R=3\ cm\ }
)
→ Vai alla soluzione
19. Nuvola sferica con densità variabile
modifica
Una nuvola sferica di raggio
R
=
3
m
{\displaystyle R=3\ m\ }
ha una densità di carica variabile radialmente secondo la legge:
ρ
=
ρ
o
(
r
R
−
r
2
R
2
)
{\displaystyle \rho =\rho _{o}\left({\frac {r}{R}}-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)\ }
con
ρ
o
=
5.9
⋅
10
−
8
C
/
m
3
{\displaystyle \rho _{o}=5.9\cdot 10^{-8}\ C/m^{3}\ }
.
Determinare a ) la carica totale ; b ) dove il campo elettrico è massimo ed il suo valore; c ) la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il suo bordo.
→ Vai alla soluzione
Due sfere di raggio
R
=
40
c
m
{\displaystyle R=40\ cm\ }
come in figura sono cariche uniformemente con densità di carica eguale
ρ
=
6
⋅
10
−
7
C
/
m
3
{\displaystyle \rho =6\cdot 10^{-7}\ C/m^{3}\ }
e sono a distanza pari a due volte il raggio. Determinare a) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle x all'interno della sfera di destra e in particolare nel punto di coordinate
x
=
R
{\displaystyle x=R\ }
; b) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle y e in particolare nel punto di coordinate
y
=
R
{\displaystyle y=R\ }
; c) la velocità minima che deve avere un protone di massa
m
p
=
1.67
⋅
10
−
27
k
g
{\displaystyle m_{p}=1.67\cdot 10^{-27}\ kg\ }
e carica
e
=
1.6
⋅
10
−
19
C
{\displaystyle e=1.6\cdot 10^{-19}\ C\ }
per riuscire ad attraversare il sistema passando per l'origine delle coordinate provenendo da distanza molto grande (l'infinito).
→ Vai alla soluzione
21. Carica dentro guscio sferico
modifica
Al centro di un guscio sferico spesso di raggio interno
a
=
0.8
m
{\displaystyle a=0.8\ m\ }
e raggio esterno
b
=
1.5
m
{\displaystyle b=1.5\ m\ }
è collocata una carica puntiforme
q
o
=
0.3
μ
C
{\displaystyle q_{o}=0.3\ \mu C}
. All’interno del guscio sferico, per
a
≤
r
≤
b
{\displaystyle a\leq r\leq b\ }
, esiste una distribuzione di carica con densità di volume
ρ
=
K
/
r
{\displaystyle \rho =K/r\ }
, con
K
{\displaystyle K\ }
una costante. Il campo elettrico radiale all'interno del guscio sferico è costante in modulo.
Si determini: a) il campo elettrico sul bordo interno del guscio ; b) il valore della costante
K
{\displaystyle K\ }
che rende all'interno della distribuzione il campo elettrico costante in modulo; c) il valore della carica totale dell’intero sistema; d) la differenza di potenziale tra il bordo esterno ed interno del guscio sferico .
→ Vai alla soluzione
Una distribuzione ha simmetria planare ed ha una densità che diminuisce esponenzialmente a partire dalla regione centrale:
ρ
=
ρ
0
e
−
|
x
|
/
a
{\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{-|x|/a}\ }
Con
a
=
2
m
m
{\displaystyle a=2\ mm\ }
,
ρ
0
=
1.1
⋅
10
−
5
C
/
m
3
{\displaystyle \rho _{0}=1.1\cdot 10^{-5}\ C/m^{3}\ }
.
Determinare a) il campo elettrico al centro e in
x
=
a
{\displaystyle x=a\ }
; b) il campo elettrico a grande distanza
x
>>
a
{\displaystyle x>>a\ }
; c) la differenza di potenziale tra
0
{\displaystyle 0\ }
e
x
=
a
{\displaystyle x=a\ }
.
→ Vai alla soluzione
Due strati piani carichi di spessore
d
=
2
c
m
{\displaystyle d=2\ cm\ }
con densità di carica uniforme eguale e contraria
ρ
=
3
⋅
10
−
5
C
/
m
3
{\displaystyle \rho =3\cdot 10^{-5}\ C/m^{3}\ }
sono posti a distanza
d
{\displaystyle d\ }
. In figura è disegnato l'asse delle
x
{\displaystyle x\ }
e la sua origine. Determinare: a) il campo a grande distanza ; b) L'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle x e in particolare al centro lungo al centro; c) la velocità minima che deve avere una particella di massa
m
=
1.67
⋅
10
−
27
k
g
{\displaystyle m=1.67\cdot 10^{-27}\ kg\ }
e carica
q
=
1.67
⋅
10
−
19
C
{\displaystyle q=1.67\cdot 10^{-19}\ C\ }
per potere attraversare i due strati provenendo da grande distanza (
+
∞
{\displaystyle +\infty \ }
) da destra nella figura.
→ Vai alla soluzione
Una sfera di densità di carica uniforme
ρ
{\displaystyle \rho \ }
e raggio
R
{\displaystyle R\ }
contiene due zone prive di carica al suo interno sferiche di raggio
R
/
2
{\displaystyle R/2\ }
come indicato in figura. Determinare a) l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle
z
{\displaystyle z\ }
per
−
R
≤
z
≤
R
{\displaystyle -R\leq z\leq R\ }
; b) lungo l'asse delle
x
{\displaystyle x\ }
per
−
R
≤
x
≤
R
{\displaystyle -R\leq x\leq R\ }
; c) verificare che all'interno della sfera di destra la divergenza del campo elettrico sia ovunque nulla.
(dati del problema
ρ
=
1
⋅
10
−
4
C
/
m
3
{\displaystyle \rho =1\cdot 10^{-4}\ C/m^{3}\ }
,
R
=
10
c
m
{\displaystyle R=10\ cm\ }
).
→ Vai alla soluzione
→ Vai alla traccia
La densità di carica vale:
ρ
=
Q
4
/
3
π
(
R
2
3
−
R
1
3
)
{\displaystyle \rho ={\frac {Q}{4/3\pi (R_{2}^{3}-R_{1}^{3})}}}
Quindi dal teorema di Gauss ad una distanza generica
R
{\displaystyle R\ }
tra
R
1
{\displaystyle R_{1}\ }
ed
R
2
{\displaystyle R_{2}\ }
:
4
π
R
2
E
(
R
)
=
1
ε
o
∫
R
1
R
ρ
4
π
r
2
d
r
=
1
ε
o
ρ
4
π
[
r
3
3
]
R
1
R
=
ρ
4
π
3
ε
o
[
R
3
−
R
1
3
]
{\displaystyle 4\pi R^{2}E(R)={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\int _{R_{1}}^{R}\rho 4\pi r^{2}dr={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\rho 4\pi \left[{\frac {r^{3}}{3}}\right]_{R_{1}}^{R}={\frac {\rho 4\pi }{3\varepsilon _{o}}}[R^{3}-R_{1}^{3}]}
E
(
r
)
=
ρ
3
ε
o
(
r
−
R
1
3
r
2
)
{\displaystyle E(r)={\frac {\rho }{3\varepsilon _{o}}}\left(r-{\frac {R_{1}^{3}}{r^{2}}}\right)}
Quindi per
R
=
R
3
=
(
R
1
+
R
2
)
/
2
=
20
c
m
{\displaystyle R=R_{3}=(R_{1}+R_{2})/2=20\ cm}
:
E
(
R
3
)
=
61
V
/
m
{\displaystyle E(R_{3})=61\ V/m}
mentre ovviamente la d.d.p. tra i gusci, in modulo vale:
Δ
V
=
∫
R
1
R
2
ρ
3
ε
o
(
R
−
R
1
3
R
2
)
d
R
=
ρ
3
ε
o
[
1
2
(
R
2
2
−
R
1
2
)
+
R
1
3
R
2
−
R
1
2
]
=
12
V
{\displaystyle \Delta V=\int _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {\rho }{3\varepsilon _{o}}}\left(R-{\frac {R_{1}^{3}}{R^{2}}}\right)dR={\frac {\rho }{3\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {1}{2}}(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})+{\frac {R_{1}^{3}}{R_{2}}}-R_{1}^{2}\right]=12\ V}
→ Vai alla traccia
Il campo elettrico è quello di una superficie sferica carica con una densità di carica:
σ
=
Q
4
π
R
2
{\displaystyle \sigma ={\frac {Q}{4\pi R^{2}}}}
più una carica puntiforme posta sulla superficie esterna di carica:
q
o
=
−
σ
π
r
o
2
=
−
Q
r
o
2
4
R
2
=
−
0.28
n
C
{\displaystyle q_{o}=-\sigma \pi r_{o}^{2}=-Q{\frac {r_{o}^{2}}{4R^{2}}}=-0.28\ nC}
Quindi il campo al centro è quello dovuto alla sola carica puntiforme (come direzione diretto verso il foro) e vale:
E
(
0
)
=
1
4
π
ε
o
|
q
o
|
R
2
=
1.1
V
/
m
{\displaystyle E(0)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {|q_{o}|}{R^{2}}}=1.1\ V/m}
All'interno del guscio sferico in nessun punto il campo è nullo, all'esterno sulla retta passante per il centro del guscio sferico e per il foro vi è un punto a distanza
x
{\displaystyle x\ }
dalla superficie del guscio sferico per cui i campi prodotti dal guscio sferico:
E
(
R
+
x
)
=
1
4
π
ε
o
Q
(
R
+
x
)
2
{\displaystyle E(R+x)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {Q}{(R+x)^{2}}}\ }
e dalla carica puntiforme:
E
(
x
)
=
1
4
π
ε
o
q
o
x
2
{\displaystyle E(x)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{o}}{x^{2}}}\ }
Si compensano, da cui segue con semplici passaggi che:
4
R
2
x
2
=
r
o
2
(
R
+
x
)
2
{\displaystyle 4R^{2}x^{2}=r_{o}^{2}(R+x)^{2}\ }
Con due soluzioni, rigettando la negativa che corrisponde a stare dentro il guscio sferico dove non vale il sistema:
x
=
0.025
m
{\displaystyle x=0.025\ m}
La distanza trovata di
x
=
2.5
c
m
{\displaystyle x=2.5\ cm\ }
è chiaramente non trscurabile rispetto alle dimensioni del foro
r
o
=
5
c
m
{\displaystyle r_{o}=5\ cm}
. Quindi l'esercizio richiedeva un calcolo più sofisticato essendo la combinazione non di una carica puntiforme e di
un guscio uniformemente carico, ma il caso
più complesso di un disco uniformemente
carico e di un guscio sferico.
→ Vai alla traccia
a) Dal teorema di Coulomb:
σ
=
−
E
t
ε
o
=
−
8.86
⋅
10
−
10
C
/
m
2
{\displaystyle \sigma =-E_{t}\varepsilon _{o}=-8.86\cdot 10^{-10}\ C/m^{2}}
Quindi:
Q
t
=
σ
4
π
R
t
2
=
−
4.6
⋅
10
5
C
{\displaystyle Q_{t}=\sigma 4\pi R_{t}^{2}=-4.6\cdot 10^{5}\ C}
b) Detta la densità di carica nell'atmosfera
ρ
t
{\displaystyle \rho _{t}\ }
, poiché lo spessore dell'atmosfera utile ai fini del calcolo
h
{\displaystyle h\ }
è piccolo rispetto al raggio della
terra, si può approssimare il suo volume con
4
π
R
t
2
h
{\displaystyle 4\pi R_{t}^{2}h\ }
e quindi:
ρ
t
≈
−
Q
t
4
π
R
t
2
h
{\displaystyle \rho _{t}\approx {\frac {-Q_{t}}{4\pi R_{t}^{2}h}}}
Quindi detta
z
{\displaystyle z\ }
una quota generica tra
0
{\displaystyle 0\ }
ed
h
{\displaystyle h\ }
, considerando una sfera
concentrica alla terra all'interno dell'atmosfera, l'applicazione del teorema di Gauss:
−
E
z
4
π
(
R
t
+
z
)
2
=
Q
t
ε
o
+
ρ
t
4
π
R
t
2
z
ε
o
{\displaystyle -E_{z}4\pi (R_{t}+z)^{2}={\frac {Q_{t}}{\varepsilon _{o}}}+{\frac {\rho _{t}4\pi R_{t}^{2}z}{\varepsilon _{o}}}}
Trascurando
z
{\displaystyle z\ }
rispetto a
R
t
{\displaystyle R_{t}\ }
e sostituendo
−
E
z
4
π
R
t
2
=
Q
t
ε
o
−
Q
t
z
h
ε
o
{\displaystyle -E_{z}4\pi R_{t}^{2}={\frac {Q_{t}}{\varepsilon _{o}}}-{\frac {Q_{t}z}{h\varepsilon _{o}}}}
Quindi:
E
z
=
Q
t
ε
o
4
π
R
t
2
(
z
h
−
1
)
{\displaystyle E_{z}={\frac {Q_{t}}{\varepsilon _{o}4\pi R_{t}^{2}}}\left({\frac {z}{h}}-1\right)}
Quindi la d.d.p. tra la quota
h
{\displaystyle h\ }
e la superficie della terra vale:
Δ
V
=
−
∫
h
0
E
z
d
z
=
−
Q
t
4
π
ε
o
R
t
2
(
h
−
h
2
2
h
)
=
−
Q
t
h
8
π
ε
o
R
t
2
=
500
k
V
{\displaystyle \Delta V=-\int _{h}^{0}E_{z}dz=-{\frac {Q_{t}}{4\pi \varepsilon _{o}R_{t}^{2}}}\left(h-{\frac {h^{2}}{2h}}\right)=-{\frac {Q_{t}h}{8\pi \varepsilon _{o}R_{t}^{2}}}=500\ kV}
c) Quindi la capacità in senso lato vale:
C
=
Q
t
Δ
V
=
0.9
F
{\displaystyle C={\frac {Q_{t}}{\Delta V}}=0.9\ F}
→ Vai alla traccia
Chiamiamo
Q
1
{\displaystyle Q_{1}\ }
e
Q
2
{\displaystyle Q_{2}\ }
la carica sulle sfere interna ed esterna dovrà essere che:
Q
1
+
Q
2
=
−
Q
{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}=-Q\ }
Inoltre dal teorema di Gauss essendo radiale tra
R
1
{\displaystyle R_{1}\ }
ed
R
2
{\displaystyle R_{2}\ }
vale:
E
=
Q
1
4
π
ϵ
o
r
2
{\displaystyle E={\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}r^{2}}}}
Quindi la d.d.p. tra la sfera interna e quella intermedia vale:
Δ
V
1
=
Q
1
4
π
ϵ
o
R
1
−
R
2
R
1
R
2
{\displaystyle \Delta V_{1}={\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {R_{1}-R_{2}}{R_{1}R_{2}}}}
mentre tra quella esterna e quella intermedia vale:
Δ
V
2
=
Q
+
Q
1
4
π
ϵ
o
R
3
−
R
2
R
2
R
3
{\displaystyle \Delta V_{2}={\frac {Q+Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {R_{3}-R_{2}}{R_{2}R_{3}}}}
Imponendo che:
Δ
V
1
=
Δ
V
2
{\displaystyle \Delta V_{1}=\Delta V_{2}\ }
Q
1
4
π
ϵ
o
R
1
−
R
2
R
1
R
2
=
Q
+
Q
1
4
π
ϵ
o
R
3
−
R
2
R
2
R
3
{\displaystyle {\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {R_{1}-R_{2}}{R_{1}R_{2}}}={\frac {Q+Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {R_{3}-R_{2}}{R_{2}R_{3}}}}
Quindi
Q
1
R
−
1.5
R
1.5
R
2
=
(
Q
+
Q
1
)
2
R
−
1.5
R
3
R
2
{\displaystyle Q_{1}{\frac {R-1.5R}{1.5R^{2}}}=(Q+Q_{1}){\frac {2R-1.5R}{3R^{2}}}}
−
2
Q
1
=
Q
+
Q
1
{\displaystyle -2Q_{1}=Q+Q_{1}}
Q
1
=
−
Q
3
=
−
1
μ
C
{\displaystyle Q_{1}=-{\frac {Q}{3}}=-1\ \mu C}
Δ
V
=
Q
1
4
π
ϵ
o
R
1
−
R
2
R
1
R
2
=
300
V
{\displaystyle \Delta V={\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {R_{1}-R_{2}}{R_{1}R_{2}}}=300\ V}
La capacità elettrica vale dunque:
C
=
Q
Δ
V
=
10
n
F
{\displaystyle C={\frac {Q}{\Delta V}}=10\ nF}
La densità di carica sulla sfera interna vale:
σ
1
=
Q
1
4
π
R
2
{\displaystyle \sigma _{1}={\frac {Q_{1}}{4\pi R^{2}}}}
Quindi nelle immediate vicinanze il campo vale:
E
1
=
σ
1
ε
o
=
−
90
V
/
m
{\displaystyle E_{1}={\frac {\sigma _{1}}{\varepsilon _{o}}}=-90\ V/m}
che è il massimo campo presente nello spazio tra le sfere, è facile verificare come nelle immediate vicinanze
della sfera intermedia il campo sia minore:
80
V
/
m
{\displaystyle 80\ V/m}
.
→ Vai alla traccia
per r<R si ha dal Teorema di Gauss, detta
h
{\displaystyle h\ }
l'altezza di un cilindro Gaussiano, che:
E
r
h
2
π
r
=
1
ϵ
o
∫
0
r
(
A
+
B
r
′
)
2
π
r
′
d
r
′
h
{\displaystyle E_{r}h2\pi r={\frac {1}{\epsilon _{o}}}\int _{0}^{r}(A+Br')2\pi r'dr'h\ }
da cui:
E
r
=
1
ϵ
o
(
A
r
2
+
B
r
2
3
)
{\displaystyle E_{r}={\frac {1}{\epsilon _{o}}}(A{\frac {r}{2}}+B{\frac {r^{2}}{3}})\ }
mentre per r>R si ha dal Teorema di Gauss:
E
r
h
2
π
r
=
1
ϵ
o
∫
0
R
(
A
+
B
r
)
2
π
r
d
r
h
{\displaystyle E_{r}h2\pi r={\frac {1}{\epsilon _{o}}}\int _{0}^{R}(A+Br)2\pi rdrh\ }
da cui:
E
r
=
1
ϵ
o
(
A
R
2
2
r
+
B
R
3
3
r
)
{\displaystyle E_{r}={\frac {1}{\epsilon _{o}}}(A{\frac {R^{2}}{2r}}+B{\frac {R^{3}}{3r}})\ }
Dai dati iniziali del problema si ha che:
10
4
ϵ
o
=
2.5
A
+
8.3
B
{\displaystyle 10^{4}\epsilon _{o}=2.5A+8.3B\ }
510
3
ϵ
o
=
A
+
6.66
B
{\displaystyle 510^{3}\epsilon _{o}=A+6.66B\ }
Da cui:
A
=
2.65
⋅
10
−
8
C
/
m
3
{\displaystyle A=2.65\cdot 10^{-8}\ C/m^{3}}
B
=
2.65
⋅
10
−
9
C
/
m
4
{\displaystyle B=2.65\cdot 10^{-9}\ C/m^{4}}
Quindi per r=R:
E
(
R
)
=
25000
V
/
m
{\displaystyle E(R)=25000\ V/m}
Mentre la d.d.p. vale:
Δ
V
=
−
∫
0
R
E
r
d
r
=
−
1
ϵ
o
(
A
R
2
4
+
B
R
3
9
)
=
−
108
k
V
{\displaystyle \Delta V=-\int _{0}^{R}E_{r}dr=-{\frac {1}{\epsilon _{o}}}(A{\frac {R^{2}}{4}}+B{\frac {R^{3}}{9}})=-108\ kV}
→ Vai alla traccia
Consideriamo un solo stato e spostiamo l'origine nel suo centro come mostrato in figura.
Distinguiamo tre zone di spazio. La prima è
−
d
/
2
<
x
′
<
d
/
2
{\displaystyle -d/2<x'<d/2\ }
e consideriamo un cilindro perpendicolare al piano di sezione
S
{\displaystyle S\ }
ed altezza
2
x
{\displaystyle 2x\ }
con il suo centro coincidente con il centro della regione.
Attraverso le basi del cilindro il campo è uscente e vale in modulo
|
E
|
{\displaystyle |E|\ }
. Il flusso attraverso la superficie laterale è identicamente nullo poiché il campo è parallelo alla superficie.
Quindi applicando il teorema di Gauss:
|
E
+
|
2
S
=
ρ
S
2
x
′
ϵ
o
p
e
r
−
d
/
2
<
x
′
<
d
/
2
{\displaystyle |E^{+}|2S={\frac {\rho S2x'}{\epsilon _{o}}}\qquad per\ -d/2<x'<d/2\ }
Quindi:
E
+
=
ρ
x
′
2
ϵ
o
p
e
r
−
d
/
2
<
x
′
<
d
/
2
{\displaystyle E^{+}={\frac {\rho x'}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ -d/2<x'<d/2\ }
Mentre se
|
x
′
|
>
d
/
2
{\displaystyle |x'|>d/2\ }
:
|
E
+
|
2
S
=
ρ
S
d
ϵ
o
{\displaystyle |E^{+}|2S={\frac {\rho Sd}{\epsilon _{o}}}\ }
Quindi:
E
+
=
ρ
d
2
ϵ
o
p
e
r
x
′
≥
d
/
2
{\displaystyle E^{+}={\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x'\geq d/2\ }
E
+
=
−
ρ
d
2
ϵ
o
p
e
r
x
′
≤
−
d
/
2
{\displaystyle E^{+}=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x'\leq -d/2}
Se la densità di carica fosse stata negativa avrei avuto:
E
−
=
−
ρ
x
′
2
ϵ
o
p
e
r
−
d
/
2
<
x
′
<
d
/
2
{\displaystyle E^{-}=-{\frac {\rho x'}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ -d/2<x'<d/2\ }
E
−
=
−
ρ
d
2
ϵ
o
p
e
r
x
′
≤
−
d
/
2
{\displaystyle E^{-}=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x'\leq -d/2\ }
E
−
=
−
ρ
d
2
ϵ
o
p
e
r
x
′
≥
d
/
2
{\displaystyle E^{-}=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x'\geq d/2\ }
Ritorniamo al problema reale facendo due cambiamenti di coordinare per
x
′
{\displaystyle x'\ }
in maniera diversa
tra + e -.
x
′
=
x
+
d
2
{\displaystyle x'=x+{\frac {d}{2}}\ }
Le equazioni divengono:
E
+
=
−
ρ
d
2
ϵ
o
p
e
r
x
≤
−
d
{\displaystyle E^{+}=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x\leq -d\ }
E
+
=
ρ
(
x
+
d
/
2
)
ϵ
o
p
e
r
−
d
<
x
<
0
{\displaystyle E^{+}={\frac {\rho (x+d/2)}{\epsilon _{o}}}\qquad per\ -d<x<0\ }
E
+
=
ρ
d
2
ϵ
o
p
e
r
x
≥
0
{\displaystyle E^{+}={\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x\geq 0}
x
′
=
x
−
d
2
{\displaystyle x'=x-{\frac {d}{2}}\ }
Le equazioni divengono:
E
−
=
ρ
d
2
ϵ
o
p
e
r
x
≤
0
{\displaystyle E^{-}={\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x\leq 0\ }
E
−
=
−
ρ
(
x
−
d
/
2
)
ϵ
o
p
e
r
0
<
x
<
d
{\displaystyle E^{-}=-{\frac {\rho (x-d/2)}{\epsilon _{o}}}\qquad per\ 0<x\ <d}
E
−
=
−
ρ
d
2
ϵ
o
p
e
r
x
≥
d
{\displaystyle E^{-}=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x\geq d\ }
Quindi il campo totale nelle 4 regioni di spazio diviene:
E
=
−
ρ
d
2
ϵ
o
+
ρ
d
2
ϵ
o
=
0
p
e
r
x
≤
−
d
{\displaystyle E=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}+{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}=0\qquad per\ x\leq -d}
E
=
ρ
(
x
+
d
/
2
)
ϵ
o
+
ρ
d
2
ϵ
o
=
ρ
(
x
+
d
)
ϵ
o
p
e
r
−
d
<
x
<
0
{\displaystyle E={\frac {\rho (x+d/2)}{\epsilon _{o}}}+{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}={\frac {\rho (x+d)}{\epsilon _{o}}}\qquad per\ -d<x<0}
E
=
−
ρ
(
x
−
d
/
2
)
ϵ
o
+
ρ
d
2
ϵ
o
=
ρ
(
−
x
+
d
)
ϵ
o
p
e
r
0
<
x
<
d
{\displaystyle E=-{\frac {\rho (x-d/2)}{\epsilon _{o}}}+{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}={\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon _{o}}}\qquad per\ 0<x<d}
E
=
ρ
d
2
ϵ
o
−
ρ
d
2
ϵ
o
=
0
p
e
r
x
≥
d
{\displaystyle E={\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}=0\qquad per\ x\geq d}
Quindi il massimo di
E
{\displaystyle E\ }
si ha nell'origine in cui:
lim
x
→
0
−
ρ
(
x
+
d
)
ϵ
o
=
lim
x
→
0
+
−
ρ
(
−
x
+
d
)
ϵ
o
=
ρ
d
ϵ
o
=
3.4
⋅
10
6
V
/
m
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0^{-}}{\frac {\rho (x+d)}{\epsilon _{o}}}=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}-{\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon _{o}}}={\frac {\rho d}{\epsilon _{o}}}=3.4\ \cdot 10^{6}\ V/m}
Mentre la d.d.p. tra i due lati vale:
Δ
V
=
−
∫
−
d
0
ρ
(
x
+
d
)
ϵ
o
d
x
−
∫
0
d
ρ
(
−
x
+
d
)
ϵ
o
=
−
ρ
ϵ
o
{
[
x
2
2
+
x
d
]
−
d
0
+
[
x
d
−
x
2
2
]
0
d
}
=
ρ
d
2
ϵ
o
=
1.02
V
{\displaystyle \Delta V=-\int _{-d}^{0}{\frac {\rho (x+d)}{\epsilon _{o}}}dx-\int _{0}^{d}{\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon _{o}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{o}}}\left\{\left[{\frac {x^{2}}{2}}+xd\right]_{-d}^{0}+\left[xd-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{d}\right\}={\frac {\rho d^{2}}{\epsilon _{o}}}=1.02\ V}
→ Vai alla traccia
Il campo elettrico, sempre radiale, si ricava dal teorema di Gauss.
All'esterno della distribuzione si ha che:
E
r
4
π
r
2
=
Q
ε
o
p
e
r
r
>
R
2
{\displaystyle E_{r}4\pi r^{2}={\frac {Q}{\varepsilon _{o}}}\qquad per\quad r>R_{2}}
E
r
=
Q
4
π
ε
o
r
2
{\displaystyle E_{r}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\ }
Nella cavità il campo è nullo.
Mentre la densità di carica, nella regione dove è uniforme, vale:
ρ
=
Q
4
/
3
π
(
R
2
3
−
R
1
3
)
=
6
⋅
10
−
6
C
/
m
3
{\displaystyle \rho ={\frac {Q}{4/3\pi (R_{2}^{3}-R_{1}^{3})}}=6\cdot 10^{-6}\ C/m^{3}}
Quindi applicando Gauss:
E
r
4
π
r
2
=
ρ
4
π
3
ε
o
(
r
3
−
R
1
3
)
p
e
r
R
1
<
r
<
R
2
{\displaystyle E_{r}4\pi r^{2}=\rho {\frac {4\pi }{3\varepsilon _{o}}}\left(r^{3}-R_{1}^{3}\right)\qquad per\quad R_{1}<r<R_{2}}
E
r
=
ρ
1
3
ε
o
r
2
(
r
3
−
R
1
3
)
p
e
r
R
1
<
r
<
R
2
{\displaystyle E_{r}=\rho {\frac {1}{3\varepsilon _{o}r^{2}}}\left(r^{3}-R_{1}^{3}\right)\qquad per\quad R_{1}<r<R_{2}}
Il campo è ovviamente massimo per
r
=
R
2
{\displaystyle r=R_{2}\ }
dove vale:
E
m
=
Q
4
π
ε
o
R
2
2
=
20
k
V
/
m
{\displaystyle E_{m}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}R_{2}^{2}}}=20\ kV/m}
V
=
−
∫
∞
0
E
r
d
r
=
−
∫
∞
R
2
E
r
d
r
−
∫
R
2
R
1
E
r
d
r
=
{\displaystyle V=-\int _{\infty }^{0}E_{r}dr=-\int _{\infty }^{R_{2}}E_{r}dr-\int _{R_{2}}^{R_{1}}E_{r}dr=\ }
=
1
4
π
ε
o
q
R
2
+
ρ
6
ε
o
[
R
2
2
−
R
1
2
]
+
ρ
R
1
3
3
ε
o
[
1
R
1
−
1
R
2
]
=
2732
V
{\displaystyle ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{R_{2}}}+{\frac {\rho }{6\varepsilon _{o}}}\left[R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right]+{\frac {\rho R_{1}^{3}}{3\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right]=2732\ V}
8. Differenza di potenziale di una nuvola sferica
modifica
→ Vai alla traccia
Dal teorema di Gauss essendo il campo elettrico radiale la sua intensità all'interno della sfera vale:
|
E
|
=
Q
4
π
ϵ
o
R
3
r
{\displaystyle |E|={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}}}r}
Quindi:
Δ
V
=
Q
4
π
ϵ
o
R
3
∫
0
R
r
d
r
=
Q
8
π
ϵ
o
R
=
1.5
⋅
10
6
V
{\displaystyle \Delta V={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}}}\int _{0}^{R}rdr={\frac {Q}{8\pi \epsilon _{o}R}}=1.5\cdot 10^{6}\ V}
→ Vai alla traccia
La carica cui si porta la prima sfera è:
Q
0
=
4
π
ϵ
o
R
V
0
=
5.6
n
C
{\displaystyle Q_{0}=4\pi \epsilon _{o}RV_{0}=5.6\ nC}
Dovendo portarsi allo stesso potenziale, detta
Q
1
{\displaystyle Q_{1}\ }
e
Q
2
{\displaystyle Q_{2}\ }
le cariche
finali delle due sfere:
Q
1
4
π
ϵ
o
R
=
Q
2
4
π
ϵ
o
R
{\displaystyle {\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}R}}={\frac {Q_{2}}{4\pi \epsilon _{o}R}}}
ma anche:
Q
1
+
Q
2
=
Q
0
{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}=Q_{0}\ }
da cui:
Q
2
=
Q
0
3
=
1.86
n
C
{\displaystyle Q_{2}={\frac {Q_{0}}{3}}=1.86\ nC}
Q
1
=
2
Q
0
3
=
3.74
n
C
{\displaystyle Q_{1}={\frac {2Q_{0}}{3}}=3.74\ nC}
Il potenziale finale (comune) vale:
V
f
=
Q
1
4
π
ϵ
o
R
=
167
V
{\displaystyle V_{f}={\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}R}}=167\ V}
→ Vai alla traccia
Assunta come origine dell'asse delle
x
{\displaystyle x\ }
il centro e normale ai piani. Consideriamo un cilindro gaussiano di base
S
{\displaystyle S\ }
con asse parallelo all'asse delle
x
{\displaystyle x\ }
di altezza
2
x
<
d
{\displaystyle 2x<d\ }
. Applicando il teorema di Gauss, vi è flusso del campo elettrico solo attraverso le due superfici di base ed è eguale ed uscente per entrambe le superfici per cui
2
|
E
x
|
(
x
)
S
=
ρ
S
2
x
ε
o
{\displaystyle 2|E_{x}|(x)S={\frac {\rho S2x}{\varepsilon _{o}}}\ }
Quindi:
E
x
=
ρ
x
ε
o
{\displaystyle E_{x}={\frac {\rho x}{\varepsilon _{o}}}\ }
La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'estremo vale:
|
Δ
V
|
=
∫
0
d
/
2
ρ
x
ε
o
d
x
=
ρ
d
2
8
ε
o
=
141
V
{\displaystyle |\Delta V|=\int _{0}^{d/2}{\frac {\rho x}{\varepsilon _{o}}}dx={\frac {\rho d^{2}}{8\varepsilon _{o}}}=141\ V}
→ Vai alla traccia
Una sfera conduttrice con carica
q
o
{\displaystyle q_{o}\ }
genera un campo radiale di intensità, applicando il teorema di Gauss:
|
E
|
=
q
o
4
π
ϵ
o
r
2
{\displaystyle |E|={\frac {q_{o}}{4\pi \epsilon _{o}r^{2}}}}
Per cui la d.d.p. tra la superficie della goccia e l'infinito:
vale:
V
=
∫
R
∞
q
o
4
π
ϵ
o
r
2
=
q
o
4
π
ϵ
o
R
{\displaystyle V=\int _{R}^{\infty }{\frac {q_{o}}{4\pi \epsilon _{o}r^{2}}}={\frac {q_{o}}{4\pi \epsilon _{o}R}}\ }
quindi:
R
=
q
o
4
π
ϵ
o
V
=
900
μ
m
{\displaystyle R={\frac {q_{o}}{4\pi \epsilon _{o}V}}=900\ \mu m}
→ Vai alla traccia
La carica totale vale:
Q
=
4
3
π
(
R
2
)
3
ρ
2
+
4
3
π
[
R
3
−
(
R
2
)
3
]
ρ
=
5
4
π
ρ
R
3
{\displaystyle Q={\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {R}{2}}\right)^{3}{\frac {\rho }{2}}+{\frac {4}{3}}\pi \left[R^{3}-\left({\frac {R}{2}}\right)^{3}\right]\rho ={\frac {5}{4}}\pi \rho R^{3}}
quindi:
ρ
=
4
Q
5
π
R
3
=
1
⋅
10
−
6
C
/
m
3
{\displaystyle \rho ={\frac {4Q}{5\pi R^{3}}}=1\cdot 10^{-6}\ C/m^{3}}
Q
i
=
4
3
π
(
R
2
)
3
ρ
2
=
4
3
π
(
R
2
)
3
2
Q
5
π
R
3
=
Q
15
=
2.7
⋅
10
−
7
C
{\displaystyle Q_{i}={\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {R}{2}}\right)^{3}{\frac {\rho }{2}}={\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {R}{2}}\right)^{3}{\frac {2Q}{5\pi R^{3}}}={\frac {Q}{15}}=2.7\cdot 10^{-7}\ C}
Nel guscio sferico compreso tra
R
/
2
{\displaystyle R/2\ }
e
2
R
/
3
{\displaystyle 2R/3}
vi è una carica:
Q
e
=
4
3
π
[
(
2
R
3
)
3
−
(
R
2
)
3
]
ρ
=
7.3
⋅
10
−
7
C
{\displaystyle Q_{e}={\frac {4}{3}}\pi \left[\left({\frac {2R}{3}}\right)^{3}-\left({\frac {R}{2}}\right)^{3}\right]\rho =7.3\cdot 10^{-7}\ C}
Dal teorema di Gauss:
E
=
Q
i
+
Q
e
4
π
ϵ
o
(
2
3
R
)
2
=
2
⋅
10
4
V
/
m
{\displaystyle E={\frac {Q_{i}+Q_{e}}{4\pi \epsilon _{o}\left({\frac {2}{3}}R\right)^{2}}}=2\cdot 10^{4}\ V/m}
13. Un corpo di massa m e carico
modifica
→ Vai alla traccia
La densità di carica vale:
ρ
=
3
e
4
π
R
3
{\displaystyle \rho ={\frac {3e}{4\pi R^{3}}}}
Dal teorema di Gauss:
4
π
r
2
E
r
=
4
3
π
r
3
ρ
ϵ
o
r
<
R
{\displaystyle 4\pi r^{2}E_{r}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}{\frac {\rho }{\epsilon _{o}}}\qquad r<R}
E
r
=
e
r
4
π
ϵ
o
R
3
{\displaystyle E_{r}={\frac {er}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}}}\ }
L'equazione del moto per quanto riguarda la componente radiale dello
spostamento vale:
m
r
¨
=
−
e
E
r
{\displaystyle m{\ddot {r}}=-eE_{r}}
m
r
¨
=
−
e
2
r
4
π
ϵ
o
R
3
{\displaystyle m{\ddot {r}}=-{\frac {e^{2}r}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}}}\ }
Che l'equazione di un oscillatore armonico con pulsazione:
ω
=
e
2
4
π
ϵ
o
R
3
m
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}m}}}\ }
ν
=
1
2
π
e
2
4
π
ϵ
o
R
3
m
=
2.5
⋅
10
15
H
z
{\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}m}}}=2.5\cdot 10^{15}Hz\ }
→ Vai alla traccia
Avendo il problema simmetria piana si hanno tre regioni di spazio, di cui due in cui il campo è nullo
x
<
−
d
{\displaystyle x<-d\ }
,
x
>
d
{\displaystyle x>d\ }
e una regione centrale
−
d
<
x
<
d
{\displaystyle -d<x<d\ }
in cui in cui il campo è diverso da 0. La ragione per cui al di fuori dello strato il campo
è identicamente nullo dipende dal fatto che la zona carica ha carica
totale nulla, e quindi al di fuori della zona le cariche opposte da esse possedute si bilanciano completamente.
All'interno della distribuzione invece non si ha un bilanciamento.
Per ragioni di continuità sulle superfici dello strato il campo elettrico è nullo.
A partire da questo fatto si calcola mediante il teorema di Gauss il
campo elettrico nella regione centrale.
Si considera un cilindro gaussiano retto di superficie di base
S
{\displaystyle S\ }
.
Disponiamo il cilindro con le generatrici ortogonali al piano dello strato e con una
superficie all'esterno dello strato (dove il campo è nullo) e l'altra in un punto generico della regione centrale (di coordinata x), applicando il teorema di Gauss:
E
x
S
=
S
ε
o
∫
−
d
x
ρ
d
t
=
S
A
x
2
2
ε
o
−
C
o
s
t
{\displaystyle E_{x}S={\frac {S}{\varepsilon _{o}}}\int _{-d}^{x}\rho dt=S{\frac {Ax^{2}}{2\varepsilon _{o}}}-Cost\ }
da cui imponendo che per
x
=
−
d
{\displaystyle x=-d\ }
sia
E
x
=
0
{\displaystyle E_{x}=0\ }
:
E
x
(
x
)
=
A
2
ε
o
(
x
2
−
d
2
)
{\displaystyle E_{x}(x)={\frac {A}{2\varepsilon _{o}}}(x^{2}-d^{2})\ }
La d.d.p. tra un estremo e il centro della distribuzione vale:
Δ
V
(
d
,
0
)
=
∫
−
d
d
E
x
d
x
=
∫
−
d
d
A
x
2
d
x
2
ε
o
=
A
3
ε
o
d
3
=
0.38
V
{\displaystyle \Delta V(d,0)=\int _{-d}^{d}E_{x}dx=\int _{-d}^{d}{\frac {Ax^{2}dx}{2\varepsilon _{o}}}={\frac {A}{3\varepsilon _{o}}}d^{3}=0.38\ V}
Si risolveva ancora più semplicemente ricorrendo al teorema di Gauss
in forma locale che all'interno
della nuvola si riduce in:
d
E
x
d
x
=
A
x
ε
o
{\displaystyle {\frac {dE_{x}}{dx}}={\frac {Ax}{\varepsilon _{o}}}\ }
Che integrato diviene:
E
x
=
A
x
2
2
ε
o
+
C
o
s
t
{\displaystyle E_{x}={\frac {Ax^{2}}{2\varepsilon _{o}}}+Cost\ }
da cui imponendo che per
x
=
−
d
{\displaystyle x=-d\ }
sia
E
x
=
0
{\displaystyle E_{x}=0\ }
:
E
x
(
x
)
=
A
2
ε
o
(
x
2
−
d
2
)
{\displaystyle E_{x}(x)={\frac {A}{2\varepsilon _{o}}}(x^{2}-d^{2})\ }
15. Nuvola sferica con due densità
modifica
→ Vai alla traccia
a)
La carica totale tra
R
{\displaystyle R\ }
e
2
R
{\displaystyle 2R\ }
vale:
Q
2
=
−
ρ
4
3
π
[
(
2
R
)
3
−
R
3
]
=
−
7.9
μ
C
{\displaystyle Q_{2}=-\rho {\frac {4}{3}}\pi [(2R)^{3}-R^{3}]=-7.9\ \mu C\ }
b)
La carica tra
0
{\displaystyle 0\ }
ed
R
{\displaystyle R\ }
vale:
Q
1
=
ρ
4
3
π
R
3
=
1.1
μ
C
{\displaystyle Q_{1}=\rho {\frac {4}{3}}\pi R^{3}=1.1\ \mu C\ }
Quindi la carica totale tra
0
{\displaystyle 0\ }
e
2
R
{\displaystyle 2R\ }
vale:
Q
=
Q
1
+
Q
2
=
−
6.8
μ
C
{\displaystyle Q=Q_{1}+Q_{2}=-6.8\ \mu C\ }
Quindi per il teorema di Gauss il campo elettrico all'esterno della distribuzione (
r
>
2
R
{\displaystyle r>2R\ }
) vale:
E
r
(
r
)
=
Q
4
π
ε
o
r
2
{\displaystyle E_{r}(r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\ }
Quindi per
r
=
4
R
{\displaystyle r=4R\ }
:
E
(
4
R
)
=
−
424
V
/
m
{\displaystyle E(4R)=-424\ V/m\ }
Cioè punta verso l'interno.
c)
Il campo è nullo nella sfera di raggio
r
x
{\displaystyle r_{x}\ }
all'interno della regione con carica negativa per cui la carica
Q
2
′
=
−
ρ
4
3
π
[
(
r
x
)
3
−
R
3
]
{\displaystyle Q_{2}'=-\rho {\frac {4}{3}}\pi [(r_{x})^{3}-R^{3}]\ }
è eguale ed opposta a:
Q
2
′
=
−
Q
1
{\displaystyle Q_{2}'=-Q_{1}\ }
−
ρ
4
3
π
[
(
r
x
)
3
−
R
3
]
=
ρ
4
3
π
R
3
{\displaystyle -\rho {\frac {4}{3}}\pi [(r_{x})^{3}-R^{3}]=\rho {\frac {4}{3}}\pi R^{3}\ }
r
x
3
=
2
R
3
{\displaystyle r_{x}^{3}=2R^{3}\ }
r
x
=
R
2
3
=
3.8
m
{\displaystyle r_{x}=R{\sqrt[{3}]{2}}=3.8\ m\ }
d)
Dal teorema di Gauss per
R
≤
r
≤
2
R
{\displaystyle R\leq r\leq 2R\ }
:
4
π
r
2
E
r
=
Q
1
−
4
π
ρ
∫
R
r
r
′
2
d
r
′
ε
o
=
Q
1
−
4
/
3
π
ρ
(
r
3
−
R
3
)
ε
o
{\displaystyle 4\pi r^{2}E_{r}={\frac {Q_{1}-4\pi \rho \int _{R}^{r}r'^{2}dr'}{\varepsilon _{o}}}={\frac {Q_{1}-4/3\pi \rho (r^{3}-R^{3})}{\varepsilon _{o}}}\ }
E
r
=
Q
1
+
4
/
3
π
ρ
R
3
4
π
ε
o
r
2
−
ρ
r
3
ε
o
{\displaystyle E_{r}={\frac {Q_{1}+4/3\pi \rho R^{3}}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}-{\frac {\rho r}{3\varepsilon _{o}}}\ }
La d.d.p. vale:
Δ
V
=
∫
R
2
R
E
r
d
r
=
Q
1
+
4
/
3
π
ρ
R
3
4
π
ε
o
∫
R
2
R
d
r
r
2
−
ρ
3
ε
o
∫
R
2
R
r
d
r
{\displaystyle \Delta V=\int _{R}^{2R}E_{r}dr={\frac {Q_{1}+4/3\pi \rho R^{3}}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{R}^{2R}{\frac {dr}{r^{2}}}-{\frac {\rho }{3\varepsilon _{o}}}\int _{R}^{2R}rdr\ }
Δ
V
=
Q
1
+
Q
1
4
π
ε
o
[
−
1
r
]
R
2
R
−
ρ
6
ε
o
[
r
2
]
R
2
R
=
Q
1
4
π
ε
o
R
−
ρ
R
2
2
ε
o
=
−
1695
V
{\displaystyle \Delta V={\frac {Q_{1}+Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left[-{\frac {1}{r}}\right]_{R}^{2R}-{\frac {\rho }{6\varepsilon _{o}}}\left[r^{2}\right]_{R}^{2R}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}R}}-{\frac {\rho R^{2}}{2\varepsilon _{o}}}=-1695\ V\ }
→ Vai alla traccia
a) Il campo elettrico generato nella parte superiore della superficie piana, diretto verso l'alto visto il segno di
σ
{\displaystyle \sigma \ }
, vale:
E
p
=
σ
2
ε
o
{\displaystyle E_{p}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\ }
Quindi la forza che agisce sulla carica
d
q
{\displaystyle dq\ }
posta a distanza
d
{\displaystyle d\ }
vale:
d
F
=
E
p
d
q
=
E
p
λ
d
l
=
σ
λ
d
l
2
ε
o
{\displaystyle dF=E_{p}dq=E_{p}\lambda dl={\frac {\sigma \lambda dl}{2\varepsilon _{o}}}\ }
di conseguenza, la forza attrattiva vale:
d
F
d
l
=
σ
λ
2
ε
o
=
2.26
N
/
m
{\displaystyle {\frac {dF}{dl}}={\frac {\sigma \lambda }{2\varepsilon _{o}}}=2.26\ N/m\ }
b)
Il campo elettrico, diretto verso il filo per il segno della carica su di esso, creato a distanza
r
{\displaystyle r\ }
dal filo vale:
E
f
=
λ
2
π
ε
o
r
{\displaystyle E_{f}={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{o}r}}\ }
Tra il piano ed il filo il campo elettrico generato dalle due distribuzioni di carica sono concordi e quindi la risultante non si annulla mai. Mentre al di sopra del filo, scelta l'origine sul piano, sulla verticale del filo, si ha che
r
=
z
−
d
{\displaystyle r=z-d\ }
, per cui il campo risultante vale:
E
z
=
σ
2
ε
o
+
λ
2
π
ε
o
(
z
−
d
)
z
>
0
{\displaystyle E_{z}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}+{\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{o}(z-d)}}\qquad z>0\ }
Che si annulla per:
z
=
d
−
λ
π
σ
=
15.7
c
m
{\displaystyle z=d-{\frac {\lambda }{\pi \sigma }}=15.7\ cm\ }
Mentre sotto il piano:
E
z
=
−
σ
2
ε
o
+
λ
2
π
ε
o
(
z
−
d
)
z
<
0
{\displaystyle E_{z}=-{\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}+{\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{o}(z-d)}}\qquad z<0\ }
che si annulla per:
z
=
d
+
λ
π
σ
=
−
9.7
c
m
{\displaystyle z=d+{\frac {\lambda }{\pi \sigma }}=-9.7\ cm\ }
→ Vai alla traccia
Applicando il teorema di Gauss per
r
<
R
{\displaystyle r<R\ }
si ha che:
E
=
ρ
r
2
ε
o
{\displaystyle E={\frac {\rho r}{2\varepsilon _{o}}}\ }
E
(
r
=
R
/
2
)
=
ρ
R
4
ε
o
{\displaystyle E(r=R/2)={\frac {\rho R}{4\varepsilon _{o}}}\ }
a
1
=
q
ρ
R
4
m
ε
o
=
4.5
⋅
10
4
m
/
s
2
{\displaystyle a_{1}={\frac {q\rho R}{4m\varepsilon _{o}}}=4.5\cdot 10^{4}\ m/s^{2}\ }
Applicando il teorema di Gauss per $r>R\ </math> si ha che:
E
=
ρ
R
2
2
ε
o
r
{\displaystyle E={\frac {\rho R^{2}}{2\varepsilon _{o}r}}\ }
E
(
r
=
4
R
)
=
ρ
(
R
)
2
2
ε
o
4
R
=
ρ
R
8
ε
o
{\displaystyle E(r=4R)={\frac {\rho (R)^{2}}{2\varepsilon _{o}4R}}={\frac {\rho R}{8\varepsilon _{o}}}\ }
a
2
=
q
ρ
R
8
m
ε
o
=
2.25
⋅
10
4
m
/
s
2
{\displaystyle a_{2}={\frac {q\rho R}{8m\varepsilon _{o}}}=2.25\cdot 10^{4}\ m/s^{2}\ }
La d.d.p. tra
R
{\displaystyle R\ }
e
4
R
{\displaystyle 4R\ }
vale:
V
1
=
ρ
R
2
2
ε
o
∫
R
4
R
d
r
r
=
ρ
R
2
2
ε
o
ln
4
{\displaystyle V_{1}={\frac {\rho R^{2}}{2\varepsilon _{o}}}\int _{R}^{4R}{\frac {dr}{r}}={\frac {\rho R^{2}}{2\varepsilon _{o}}}\ln 4\ }
La d.d.p tra
R
/
2
{\displaystyle R/2\ }
ed
R
{\displaystyle R\ }
vale:
V
2
=
ρ
2
ε
o
∫
R
/
2
R
r
d
r
=
ρ
4
ε
o
(
R
2
−
R
2
/
4
)
=
ρ
3
R
2
16
ε
o
{\displaystyle V_{2}={\frac {\rho }{2\varepsilon _{o}}}\int _{R/2}^{R}rdr={\frac {\rho }{4\varepsilon _{o}}}(R^{2}-R^{2}/4)={\frac {\rho 3R^{2}}{16\varepsilon _{o}}}\ }
Quindi:
D
V
=
V
1
+
V
2
=
ρ
R
2
ε
o
(
ln
4
2
+
3
16
)
=
10
5
V
{\displaystyle DV=V_{1}+V_{2}={\frac {\rho R^{2}}{\varepsilon _{o}}}\left({\frac {\ln 4}{2}}+{\frac {3}{16}}\right)=10^{5}\ V\ }
v
=
2
q
D
V
/
m
=
564
m
/
s
{\displaystyle v={\sqrt {2qDV/m}}=564\ m/s\ }
18. Nuvola sferica con densità cubica
modifica
→ Vai alla traccia
a)
La carica in ogni guscio sferico di raggio
r
{\displaystyle r\ }
e spessore di
d
r
{\displaystyle dr\ }
vale:
d
Q
=
4
π
r
2
d
r
A
r
3
{\displaystyle dQ=4\pi r^{2}drAr^{3}\ }
Quindi la carica totale vale:
Q
=
4
π
A
∫
0
R
r
5
d
r
=
4
π
A
6
R
6
{\displaystyle Q=4\pi A\int _{0}^{R}r^{5}dr={\frac {4\pi A}{6}}R^{6}\ }
A
=
3
Q
2
π
R
6
=
0.655
C
/
m
6
{\displaystyle A={\frac {3Q}{2\pi R^{6}}}=0.655\ C/m^{6}\ }
b)
Applicando il teorema di Gauss ad una sfera di raggio
0
<
r
<
R
{\displaystyle 0<r<R\ }
concentrica alla nuvola:
E
r
4
π
r
2
=
4
π
A
∫
0
r
x
5
d
x
ε
o
{\displaystyle E_{r}4\pi r^{2}={\frac {4\pi A\int _{0}^{r}x^{5}dx}{\varepsilon _{o}}}\ }
Segue che:
E
r
=
A
r
4
6
ε
o
p
e
r
0
<
r
<
R
{\displaystyle E_{r}={\frac {Ar^{4}}{6\varepsilon _{o}}}\qquad per\ 0<r<R\ }
di conseguenza per
r
=
R
/
2
{\displaystyle r=R/2\ }
E
r
(
r
=
R
/
2
)
=
624
V
/
m
{\displaystyle E_{r}(r=R/2)=624\ V/m\ }
c)
La differenza di potenziale tra il centro della nuvola e il bordo vale:
D
V
1
=
∫
0
R
A
r
4
6
ε
o
d
r
=
A
R
5
30
ε
o
=
60
V
{\displaystyle DV_{1}=\int _{0}^{R}{\frac {Ar^{4}}{6\varepsilon _{o}}}dr={\frac {AR^{5}}{30\varepsilon _{o}}}=60\ V\ }
Il campo fuori della nuvola vale:
E
r
=
Q
4
π
ε
o
r
2
p
e
r
R
<
r
<
∞
{\displaystyle E_{r}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\qquad per\ R<r<\infty \ }
Quindi la d.d.p. tra il bordo della nuvola e l'infinito vale:
D
V
2
=
∫
R
∞
Q
4
π
ε
o
r
2
d
r
=
Q
4
π
ε
o
R
=
300
V
{\displaystyle DV_{2}=\int _{R}^{\infty }{\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}dr={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}R}}=300\ V\ }
Quindi tra il centro della nuvola e l'infinito:
D
V
=
D
V
1
+
D
V
2
=
360
V
{\displaystyle DV=DV_{1}+DV_{2}=360\ V\ }
19. Nuvola sferica con densità variabile
modifica
→ Vai alla traccia
a)
Q
=
∫
0
R
ρ
4
π
r
2
d
r
=
4
π
ρ
0
∫
0
R
(
r
R
−
r
2
R
2
)
r
2
d
r
=
4
π
ρ
0
[
r
4
4
R
−
r
5
5
R
2
]
0
R
=
π
ρ
o
R
3
5
=
1
μ
C
{\displaystyle Q=\int _{0}^{R}\rho 4\pi r^{2}dr=4\pi \rho _{0}\int _{0}^{R}\left({\frac {r}{R}}-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)r^{2}dr=4\pi \rho _{0}\left[{\frac {r^{4}}{4R}}-{\frac {r^{5}}{5R^{2}}}\right]_{0}^{R}={\frac {\pi \rho _{o}R^{3}}{5}}=1\ \mu C\ }
b)
Dal teorema di Gauss per
0
≤
r
≤
R
{\displaystyle 0\leq r\leq R\ }
:
E
r
4
π
r
2
=
1
ε
o
∫
0
r
ρ
4
π
x
2
d
x
=
4
π
ρ
0
ε
o
∫
0
r
(
x
R
−
x
2
R
2
)
x
2
d
x
=
4
π
ρ
0
ε
o
(
r
4
4
R
−
r
5
5
R
2
)
{\displaystyle E_{r}4\pi r^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{r}\rho 4\pi x^{2}dx={\frac {4\pi \rho _{0}}{\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{r}\left({\frac {x}{R}}-{\frac {x^{2}}{R^{2}}}\right)x^{2}dx={\frac {4\pi \rho _{0}}{\varepsilon _{o}}}\left({\frac {r^{4}}{4R}}-{\frac {r^{5}}{5R^{2}}}\right)\ }
E
r
(
r
≤
R
)
=
ρ
0
ε
o
R
(
r
2
4
−
r
3
5
R
)
{\displaystyle E_{r}(r\leq R)={\frac {\rho _{0}}{\varepsilon _{o}R}}\left({\frac {r^{2}}{4}}-{\frac {r^{3}}{5R}}\right)\ }
Mentre per
r
≥
R
{\displaystyle r\geq R\ }
:
E
r
(
r
≥
R
)
=
Q
4
π
ε
o
r
2
{\displaystyle E_{r}(r\geq R)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\ }
Notare che
E
r
(
r
→
R
−
)
=
E
r
(
r
→
R
+
)
=
ρ
0
R
20
ε
o
{\displaystyle E_{r}(r\to R-)=E_{r}(r\to R+)={\frac {\rho _{0}R}{20\varepsilon _{o}}}\ }
Inoltre il campo elettrico è nullo per
r
=
0
{\displaystyle r=0\ }
, quindi all'interno della distribuzione ha un massimo, quando cioè:
∂
E
r
∂
r
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial E_{r}}{\partial r}}=0\ }
cioè per:
∂
∂
r
(
r
2
4
−
r
3
5
R
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {r^{2}}{4}}-{\frac {r^{3}}{5R}}\right)=0\ }
2
r
4
−
3
r
2
5
R
=
0
{\displaystyle {\frac {2r}{4}}-{\frac {3r^{2}}{5R}}=0\ }
r
=
5
6
R
=
2.5
m
{\displaystyle r={\frac {5}{6}}R=2.5\ m\ }
E
r
(
2.5
)
=
1.15
⋅
10
3
V
/
m
{\displaystyle E_{r}(2.5)=1.15\cdot 10^{3}V/m\ }
c)
La d.d.p. vale:
V
=
∫
0
R
E
r
d
r
=
ρ
0
ε
o
R
∫
0
R
(
r
2
4
−
r
3
5
R
)
d
r
{\displaystyle V=\int _{0}^{R}E_{r}dr={\frac {\rho _{0}}{\varepsilon _{o}R}}\int _{0}^{R}\left({\frac {r^{2}}{4}}-{\frac {r^{3}}{5R}}\right)dr\ }
V
=
ρ
0
ε
o
R
(
R
3
12
−
R
4
20
R
)
=
ρ
0
R
2
30
ε
o
=
2000
V
{\displaystyle V={\frac {\rho _{0}}{\varepsilon _{o}R}}\left({\frac {R^{3}}{12}}-{\frac {R^{4}}{20R}}\right)={\frac {\rho _{0}R^{2}}{30\varepsilon _{o}}}=2000\ V\ }
→ Vai alla traccia
a)
La carica di una sfera positiva vale:
Q
=
ρ
4
3
π
R
3
=
160
⋅
10
−
9
C
/
m
3
{\displaystyle Q=\rho {\frac {4}{3}}\pi R^{3}=160\cdot 10^{-9}\ C/m^{3}\ }
$
Dal teorema di Gauss il campo generato dalla sola sfera di destra è nullo al centro e vale all'interno:
E
x
d
=
ρ
(
x
−
R
)
3
ε
o
0
≤
x
≤
2
R
{\displaystyle E_{xd}={\frac {\rho (x-R)}{3\varepsilon _{o}}}\qquad 0\leq x\leq 2R\ }
(come all'interno di una sfera uniformemente carica ma con origine nel punto
x
=
R
{\displaystyle x=R\ }
).
Mentre quello della sfera di sinistra è semplicemente:
E
x
s
=
Q
4
ε
o
(
R
+
x
)
2
0
≤
x
≤
2
R
{\displaystyle E_{xs}={\frac {Q}{4\varepsilon _{o}(R+x)^{2}}}\qquad 0\leq x\leq 2R\ }
Quindi in totale:
E
x
=
ρ
(
x
−
R
)
3
ε
o
+
Q
4
π
ε
o
(
R
+
x
)
2
=
ρ
3
ε
o
[
x
−
R
+
R
3
(
R
+
x
)
2
]
=
ρ
x
(
x
2
+
R
x
−
R
2
)
3
ε
o
(
R
+
x
)
2
{\displaystyle E_{x}={\frac {\rho (x-R)}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}(R+x)^{2}}}={\frac {\rho }{3\varepsilon _{o}}}\left[x-R+{\frac {R^{3}}{(R+x)^{2}}}\right]={\frac {\rho x(x^{2}+Rx-R^{2})}{3\varepsilon _{o}(R+x)^{2}}}\ }
In particolare per
x
=
R
{\displaystyle x=R\ }
:
E
x
=
ρ
R
12
ε
o
=
2.26
k
V
/
m
{\displaystyle E_{x}={\frac {\rho R}{12\varepsilon _{o}}}=2.26\ kV/m\ }
o anche più semplicemente:
E
x
=
Q
4
π
ε
o
(
2
R
)
2
=
2.26
k
V
/
m
{\displaystyle E_{x}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}(2R)^{2}}}=2.26\ kV/m\ }
b)
In questo caso il campo coincide con quello di due cariche
Q
{\displaystyle Q\ }
puntiformi poste in
(
−
R
,
0
)
{\displaystyle (-R,0)\ }
e
(
R
,
0
)
{\displaystyle (R,0)\ }
. Che generano un campo avente solo componente
y
{\displaystyle y\ }
(l'altra componente è nulla) che vale:
E
y
=
2
Q
y
4
π
ε
o
(
y
2
+
R
2
)
3
/
2
{\displaystyle E_{y}={\frac {2Qy}{4\pi \varepsilon _{o}(y^{2}+R^{2})^{3/2}}}\ }
Quindi per
y
=
R
{\displaystyle y=R\ }
:
E
y
=
2
Q
4
π
ε
o
R
2
(
2
)
3
/
2
=
6.4
k
V
/
m
{\displaystyle E_{y}={\frac {2Q}{4\pi \varepsilon _{o}R^{2}(2)^{3/2}}}=6.4\ kV/m\ }
c)
La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'infinito vale:
V
=
−
∫
∞
0
E
y
d
y
=
∫
0
∞
2
Q
y
4
π
ε
o
(
y
2
+
R
2
)
3
/
2
d
y
=
Q
2
π
ε
o
∫
0
∞
y
d
y
(
y
2
+
R
2
)
3
/
2
{\displaystyle V=-\int _{\infty }^{0}E_{y}dy=\int _{0}^{\infty }{\frac {2Qy}{4\pi \varepsilon _{o}(y^{2}+R^{2})^{3/2}}}dy={\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ydy}{(y^{2}+R^{2})^{3/2}}}\ }
Essendo:
∫
y
d
y
(
y
2
+
R
2
)
3
/
2
=
−
1
y
2
+
R
2
{\displaystyle \int {\frac {ydy}{(y^{2}+R^{2})^{3/2}}}={\frac {-1}{\sqrt {y^{2}+R^{2}}}}\ }
V
=
Q
2
π
ε
o
[
−
−
1
y
2
+
R
2
]
0
∞
=
Q
2
π
ε
o
R
=
7.2
k
V
{\displaystyle V={\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{o}}}\left[-{\frac {-1}{\sqrt {y^{2}+R^{2}}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{o}R}}=7.2\ kV\ }
Quindi imponendo che:
1
2
m
p
v
2
≥
e
V
{\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{p}v^{2}\geq eV\ }
si ha che:
v
m
i
n
=
2
e
V
m
p
=
1.18
⋅
10
6
m
/
s
{\displaystyle v_{min}={\sqrt {\frac {2eV}{m_{p}}}}=1.18\cdot 10^{6}\ m/s\ }
21. Carica dentro guscio sferico
modifica
→ Vai alla traccia
a)
Nella regione
r
≤
a
{\displaystyle r\leq a\ }
dal centro vi è solo la carica puntiforme per cui:
E
(
r
)
=
q
o
4
π
ε
o
r
2
r
≤
a
{\displaystyle E(r)={\frac {q_{o}}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\quad r\leq a\ }
Quindi:
E
(
a
)
=
4.2
K
V
/
m
{\displaystyle E(a)=4.2\ KV/m\ }
b)
All'interno di una sfera gaussiana di raggio
a
≤
r
≤
b
{\displaystyle a\leq r\leq b\ }
la carica totale vale:
Q
(
r
)
=
q
o
+
∫
a
r
K
r
4
π
r
′
2
d
r
′
=
q
o
+
2
π
K
(
r
2
−
a
2
)
{\displaystyle Q(r)=q_{o}+\int _{a}^{r}{\frac {K}{r}}4\pi r'^{2}dr'=q_{o}+2\pi K(r^{2}-a^{2})\ }
Quindi dovendo per il teorema di Gauss:
4
π
r
2
E
(
r
)
=
Q
(
r
)
ε
o
=
q
o
+
2
π
K
(
r
2
−
a
2
)
ε
o
{\displaystyle 4\pi r^{2}E(r)={\frac {Q(r)}{\varepsilon _{o}}}={\frac {q_{o}+2\pi K(r^{2}-a^{2})}{\varepsilon _{o}}}\ }
E
(
r
)
=
q
o
−
2
π
K
a
2
4
π
ε
o
r
2
+
K
2
ε
o
{\displaystyle E(r)={\frac {q_{o}-2\pi Ka^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}+{\frac {K}{2\varepsilon _{o}}}\ }
Perché quindi non dipenda da
r
{\displaystyle r\ }
deve essere:
q
o
−
2
π
K
a
2
=
0
{\displaystyle q_{o}-2\pi Ka^{2}=0\ }
K
=
q
o
2
π
a
2
=
7.5
⋅
10
−
8
C
/
m
2
{\displaystyle K={\frac {q_{o}}{2\pi a^{2}}}=7.5\cdot 10^{-8}\ C/m^{2}\ }
c)
La carica totale vale:
Q
(
b
)
=
q
o
+
2
π
K
(
b
2
−
a
2
)
=
1.05
μ
C
{\displaystyle Q(b)=q_{o}+2\pi K(b^{2}-a^{2})=1.05\ \mu C\ }
d)
Essendo costante il campo elettrico la d.d.p. tra b ed a vale:
Δ
V
=
E
(
a
)
(
b
−
a
)
=
2950
V
{\displaystyle \Delta V=E(a)(b-a)=2950\ V\ }
→ Vai alla traccia
a)
Al centro il campo è nullo per ragioni di simmetria, ma anche se viene usato il teorema di Gauss a una regione cilindrica simmetrica attorno al centro di altezza
2
x
{\displaystyle 2x\ }
risulta:
2
S
E
x
=
2
S
ε
o
∫
0
x
ρ
0
e
−
x
′
/
a
d
x
′
{\displaystyle 2SE_{x}={\frac {2S}{\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{x}\rho _{0}e^{-x'/a}dx'\ }
E
x
=
ρ
0
a
ε
o
(
1
−
e
−
x
/
a
)
{\displaystyle E_{x}={\frac {\rho _{0}a}{\varepsilon _{o}}}\left(1-e^{-x/a}\right)\ }
che è nullo per
x
=
0
{\displaystyle x=0\ }
.
Mentre per
x
=
a
{\displaystyle x=a\ }
vale:
E
x
(
a
)
=
1.57
k
V
/
m
{\displaystyle E_{x}(a)=1.57\ kV/m\ }
b)
A grande distanza cioè per
x
≫
a
{\displaystyle x\gg a\ }
si ha:
E
x
=
ρ
0
a
ε
o
=
2.5
k
V
/
m
{\displaystyle E_{x}={\frac {\rho _{0}a}{\varepsilon _{o}}}=2.5\ kV/m\ }
c)
La differenza di potenziale tra
x
{\displaystyle x\ }
e
0
{\displaystyle 0\ }
:
D
V
(
x
)
=
∫
0
x
ρ
0
a
ε
o
(
1
−
e
−
x
′
/
a
)
d
x
′
=
ρ
0
a
2
ε
o
e
−
x
/
a
{\displaystyle DV(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\rho _{0}a}{\varepsilon _{o}}}\left(1-e^{-x'/a}\right)dx'={\frac {\rho _{0}a^{2}}{\varepsilon _{o}}}e^{-x/a}\ }
Quindi se
x
=
a
{\displaystyle x=a\ }
:
D
V
(
a
)
=
ρ
0
a
2
ε
o
e
−
1
=
1.83
V
{\displaystyle DV(a)={\frac {\rho _{0}a^{2}}{\varepsilon _{o}}}e^{-1}=1.83\ V\ }
→ Vai alla traccia
L'unica componente del campo elettrico è lungo l'asse delle x.
a)
A grande distanza il campo è nullo in quanto la sovrapposizione di due strati carichi con carica eguale ed opposta.
b)
Per
x
≥
3
/
2
d
{\displaystyle x\geq 3/2d\ }
e
x
≤
−
3
/
2
d
{\displaystyle x\leq -3/2d\ }
:
E
x
=
0
x
≥
3
/
2
d
e
x
≤
−
3
/
2
d
{\displaystyle E_{x}=0\qquad x\geq 3/2d\quad e\quad x\leq -3/2d\ }
Per
−
3
/
2
d
≤
x
≤
−
d
/
2
{\displaystyle -3/2d\leq x\leq -d/2\ }
si ha che cresce in maniera lineare:
∂
E
x
∂
x
=
ρ
ε
o
{\displaystyle {\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}\ }
Quindi (imponendo che sia nullo per
x
=
−
3
/
2
d
{\displaystyle x=-3/2d\ }
:
E
x
=
ρ
x
ε
o
+
3
ρ
d
2
ε
o
=
ρ
ε
o
(
x
+
3
d
/
2
)
−
3
/
2
d
≤
x
≤
−
d
/
2
{\displaystyle E_{x}={\frac {\rho x}{\varepsilon _{o}}}+{\frac {3\rho d}{2\varepsilon _{o}}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}(x+3d/2)\qquad -3/2d\leq \quad x\leq -d/2\ }
Per
−
d
/
2
≤
x
≤
d
/
2
{\displaystyle -d/2\leq x\leq d/2\ }
è costante:
E
x
=
ρ
d
ε
o
=
6.8
⋅
10
4
V
/
m
−
d
/
2
≤
x
≤
d
/
2
{\displaystyle E_{x}={\frac {\rho d}{\varepsilon _{o}}}=6.8\cdot 10^{4}\ V/m\qquad -d/2\leq x\leq d/2\ }
Per
d
/
2
≤
x
≤
3
d
/
2
{\displaystyle d/2\leq x\leq 3d/2\ }
diminuisce linearmente:
E
x
=
ρ
ε
o
(
3
d
/
2
−
x
)
d
/
2
≤
x
≤
3
d
/
2
{\displaystyle E_{x}={\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}(3d/2-x)\qquad d/2\leq \quad x\leq 3d/2\ }
c)
La differenza di potenziale tra
∞
{\displaystyle \infty \ }
e
−
∞
{\displaystyle -\infty \ }
(integrando il campo elettrico tra
x
=
−
3
/
2
d
{\displaystyle x=-3/2d\ }
e
x
=
3
/
2
d
{\displaystyle x=3/2d\ }
)
Δ
V
=
2
ρ
d
2
ε
o
=
2722
V
{\displaystyle \Delta V={\frac {2\rho d^{2}}{\varepsilon _{o}}}=2722\ V\ }
Quindi imponendo che:
1
2
m
v
2
≥
q
Δ
V
{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}\geq q\Delta V\ }
si ha che la velocità deve essere maggiore di:
v
=
2
q
Δ
V
m
=
7.2
⋅
10
5
m
/
s
{\displaystyle v={\sqrt {\frac {2q\Delta V}{m}}}=7.2\cdot 10^{5}\ m/s\ }
Si noti che se proveniva dalla direzione opposta non trova nessuna barriera.
→ Vai alla traccia
a)
Una sfera omogenea di raggio
R
{\displaystyle R\ }
e densità di carica uniforme
ρ
{\displaystyle \rho \ }
, ha in coordinate cartesiane nel punto generico all'interno di coordinate
(
0
,
0
,
z
)
{\displaystyle (0,0,z)\ }
:
E
z
+
(
0
,
0
,
z
)
=
ρ
z
3
ε
o
{\displaystyle E_{z+}(0,0,z)={\frac {\rho z}{3\varepsilon _{o}}}\ }
Sovrapponendo due sfere di raggio
R
/
2
{\displaystyle R/2\ }
e densità di carica uniforme
−
ρ
{\displaystyle -\rho \ }
centrate nei punti
x
=
−
R
/
2
{\displaystyle x=-R/2\ }
e
x
=
R
/
2
{\displaystyle x=R/2\ }
si ottiene la stessa distribuzione di carica e anche lo stesso campo.
La carica totale negativa di ognuna delle sfere negative è:
Q
2
=
−
ρ
4
3
π
(
R
/
2
)
3
=
−
π
6
R
3
ρ
{\displaystyle Q_{2}=-\rho {\frac {4}{3}}\pi (R/2)^{3}=-{\frac {\pi }{6}}R^{3}\rho \ }
i punti sull'asse delle z sono tutti all'esterno di tali regioni
per cui (per cui generano il campo di una carica
Q
2
{\displaystyle Q_{2}\ }
) e la componente lungo l'asse delle
x
{\displaystyle x\ }
si elidono a vicenda quindi
il campo è pari a:
E
z
(
0
,
0
,
z
)
=
ρ
z
3
ε
o
+
2
Q
2
z
4
π
ε
o
[
(
R
/
2
)
2
+
z
2
]
3
/
2
{\displaystyle E_{z}(0,0,z)={\frac {\rho z}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {2Q_{2}z}{4\pi \varepsilon _{o}[(R/2)^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\ }
E
z
(
0
,
0
,
z
)
=
ρ
z
3
ε
o
(
1
−
R
3
4
[
(
R
/
2
)
2
+
z
2
]
3
/
2
)
{\displaystyle E_{z}(0,0,z)={\frac {\rho z}{3\varepsilon _{o}}}\left(1-{\frac {R^{3}}{4[(R/2)^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\right)\ }
Funzione mostrata di lato.
b)
Lungo l'asse delle
x
{\displaystyle x\ }
avremo che la sfera positiva genera un campo
E
x
+
(
x
,
0
,
0
)
=
ρ
x
3
ε
o
−
R
≤
x
≤
R
{\displaystyle E_{x+}(x,0,0)={\frac {\rho x}{3\varepsilon _{o}}}\qquad -R\leq x\leq R\ }
Per
0
≤
x
≤
R
{\displaystyle 0\leq x\leq R\ }
, la zona a carica negativa di sinistra genera un campo:
E
x
−
1
(
x
,
0
,
0
)
=
Q
2
4
π
ε
o
[
(
R
/
2
)
+
x
]
2
0
≤
x
≤
R
{\displaystyle E_{x-1}(x,0,0)={\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{o}[(R/2)+x]^{2}}}\qquad 0\leq x\leq R\ }
Mentre la regione di destra genera un campo:
E
x
−
2
(
x
,
0
,
0
)
=
−
ρ
(
x
−
R
/
2
)
3
ε
o
0
≤
x
≤
R
{\displaystyle E_{x-2}(x,0,0)=-{\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon _{o}}}\qquad 0\leq x\leq R\ }
Quindi per
0
≤
x
≤
R
{\displaystyle 0\leq x\leq R\ }
sommando i tre termini:
E
x
=
ρ
x
3
ε
o
−
ρ
(
x
−
R
/
2
)
3
ε
o
+
Q
2
4
π
ε
o
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
=
ρ
R
6
ε
o
−
ρ
R
3
24
ε
o
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
=
ρ
R
6
ε
o
[
1
−
R
2
4
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
]
{\displaystyle E_{x}={\frac {\rho x}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{o}[x+(R/2)]^{2}}}={\frac {\rho R}{6\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}[x+(R/2)]^{2}}}={\frac {\rho R}{6\varepsilon _{o}}}\left[1-{\frac {R^{2}}{4[x+(R/2)]^{2}}}\right]\ }
Mentre per
−
R
≤
x
≤
0
{\displaystyle -R\leq x\leq 0\ }
:
E
x
=
ρ
x
3
ε
o
−
ρ
(
x
+
R
/
2
)
3
ε
o
−
Q
2
4
π
ε
o
[
x
−
(
R
/
2
)
]
2
=
−
ρ
R
6
ε
o
+
ρ
R
3
24
ε
o
[
x
−
(
R
/
2
)
]
2
=
ρ
R
6
ε
o
[
R
2
4
[
x
−
(
R
/
2
)
]
2
−
1
]
{\displaystyle E_{x}={\frac {\rho x}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho (x+R/2)}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{o}[x-(R/2)]^{2}}}=-{\frac {\rho R}{6\varepsilon _{o}}}+{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}[x-(R/2)]^{2}}}={\frac {\rho R}{6\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {R^{2}}{4[x-(R/2)]^{2}}}-1\right]\ }
Funzione mostrata nella figura qui sopra.
Le componenti
E
y
{\displaystyle E_{y}\ }
ed
E
z
{\displaystyle E_{z}\ }
sono identicamente nulle lungo tale asse.
c)
Nella regione a carica nulla di destra:
0
≤
x
≤
R
,
−
R
/
2
≤
y
≤
R
/
2
;
−
R
/
2
≤
z
≤
R
/
2
{\displaystyle 0\leq x\leq R,\quad -R/2\leq y\leq R/2;\quad -R/2\leq z\leq R/2\ }
il campo elettrico nelle sue tre componenti cartesiane può essere calcolato estendendo le formule precedenti:
E
x
(
x
,
y
,
z
)
=
ρ
x
3
ε
o
−
ρ
(
x
−
R
/
2
)
3
ε
o
+
Q
2
[
x
+
(
R
/
2
)
]
4
π
ε
o
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
/
2
=
ρ
R
6
ε
o
[
1
−
[
x
+
(
R
/
2
)
]
R
2
4
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
/
2
]
{\displaystyle E_{x}(x,y,z)={\frac {\rho x}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {Q_{2}[x+(R/2)]}{4\pi \varepsilon _{o}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}={\frac {\rho R}{6\varepsilon _{o}}}\left[1-{\frac {[x+(R/2)]R^{2}}{4\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}\right]\ }
E
y
(
x
,
y
,
z
)
=
ρ
y
3
ε
o
−
ρ
y
3
ε
o
+
Q
2
y
4
π
ε
o
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
/
2
=
−
ρ
R
3
y
24
ε
o
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
/
2
{\displaystyle E_{y}(x,y,z)={\frac {\rho y}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho y}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {Q_{2}y}{4\pi \varepsilon _{o}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}=-{\frac {\rho R^{3}y}{24\varepsilon _{o}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}\ }
E
z
(
x
,
y
,
z
)
=
ρ
z
3
ε
o
−
ρ
z
3
ε
o
+
Q
2
y
4
π
ε
o
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
/
2
=
−
ρ
R
3
z
24
ε
o
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
/
2
{\displaystyle E_{z}(x,y,z)={\frac {\rho z}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho z}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {Q_{2}y}{4\pi \varepsilon _{o}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}=-{\frac {\rho R^{3}z}{24\varepsilon _{o}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}\ }
Notiamo che le componenti
E
y
{\displaystyle E_{y}\ }
ed
E
z
{\displaystyle E_{z}\ }
sono nulle lungo l'asse delle
x
{\displaystyle x\ }
ma non le derivate parziali:
∂
E
x
∂
x
=
−
ρ
R
3
24
ε
o
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
/
2
−
3
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
1
/
2
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
=
−
ρ
R
3
24
ε
o
y
2
+
z
2
−
2
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
5
/
2
{\displaystyle {\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}-3[x+(R/2)]^{2}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3}}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {y^{2}+z^{2}-2[x+(R/2)]^{2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{5/2}}}\ }
∂
E
y
∂
y
=
−
ρ
R
3
24
ε
o
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
/
2
−
3
y
2
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
1
/
2
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
=
−
ρ
R
3
24
ε
o
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
z
2
−
2
y
2
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
5
/
2
{\displaystyle {\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}-3y^{2}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3}}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {[x+(R/2)]^{2}+z^{2}-2y^{2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{5/2}}}\ }
∂
E
z
∂
z
=
−
ρ
R
3
24
ε
o
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
/
2
−
3
z
2
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
1
/
2
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
3
=
−
ρ
R
3
24
ε
o
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
−
2
z
2
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
5
/
2
{\displaystyle {\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}-3z^{2}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3}}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {[x+(R/2)]^{2}+y^{2}-2z^{2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{5/2}}}\ }
Sommando:
∂
E
x
∂
x
+
∂
E
y
∂
y
+
∂
E
z
∂
z
=
−
ρ
R
3
24
ε
o
y
2
+
z
2
−
2
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
z
2
−
2
y
2
+
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
−
2
z
2
{
[
x
+
(
R
/
2
)
]
2
+
y
2
+
z
2
}
5
/
2
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {y^{2}+z^{2}-2[x+(R/2)]^{2}+[x+(R/2)]^{2}+z^{2}-2y^{2}+[x+(R/2)]^{2}+y^{2}-2z^{2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{5/2}}}=0\ }