Una carica è distribuita uniformemente su un guscio sferico
di raggio interno e raggio esterno . Determinare il campo
nel punto equidistante tra le due superfici del guscio sferico
e la differenza di potenziale tra le due superfici del guscio.
Un guscio sferico isolante di spessore trascurabile di raggio e carica ha un piccolo foro di raggio .
La carica è distribuita con densità superficiale uniforme (se il guscio fosse conduttore la carica sarebbe non uniforme).
Tale foro non modifica la distribuzione uniforme di carica sulla sfera ed ai fini del calcolo si approssima il foro con una carica
puntiforme (di valore opportuno e di segno chiaramente negativo).
Determinare il campo nel centro della sfera e in che posizione dello spazio il campo elettrico è nullo. Discutere se l'approssimazione con una carica puntiforme sia giusta.
Il campo elettrostatico sulla superficie della terra in condizioni di bel tempo
vale circa , diretto verso il centro della terra.
La terra che ha un raggio è globalmente neutra, per cui fino
ad una quota di vi è una densità volumetrica approssimativamente distribuita uniformemenente, tale carica deve essere eguale e contraria alla carica superficiale.
Determinare a) la carica totale sulla superficie della terra, b)La differenza di potenziale tra il punto a quota e la superficie della terra. c) la capacità equivalente
della terra in senso lato.
Tre gusci sferici concentrici conduttori hanno raggi , e . Il guscio esterno ed interno
sono allo stesso potenziale nullo (rispetto all'infinito). Sul guscio intermedio è depositata una carica .
Determinare la d.d.p tra il guscio intermedio e gli altri due, la capacità elettrica del sistema ed il campo elettrico massimo in valore assoluto.
(dati del problema ,
suggerimento perché il potenziale sia nullo occorre
che la carica totale sui tre gusci sia nulla)
Una nuvola cilindrica di raggio ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse secondo la legge:
Se il campo ad vale in modulo mentre a vale .
Determinare il campo elettrico sul bordo della nuvola e la d.d.p. tra il bordo della nuvola ed il centro della nuvola.
Un doppio strato è costituito da due regioni planari
(ai fini dei conti infinite) di densità di carica e
e di spessore d. Determinare il campo massimo e la d.d.p. tra -d e d.
Una sfera non conduttrice di raggio contiene una cavità sferica concentrica di raggio . Tra ed è distribuita
uniformemente una carica .
Determinare il valore del campo massimo ed il potenziale del centro della distribuzione di carica rispetto all'infinito.
8. Differenza di potenziale di una nuvola sfericamodifica
Una nuvola sferica carica ha un raggio ed ha una densità di carica uniforme, la carica totale della nuvola è . Determinare la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il bordo della nuvola.
(Dati del problema: , .)
La soluzione è approssimata alla prima cifra dopo la virgola.
Una sfera conduttrice isolata di raggio viene caricata ad un potenziale rispetto all'infinito di (e isolata dall'alimentatore). In seguito viene connessa mediante un filo ad una sfera lontana scarica
di raggio la metà:
Determinare il potenziale a cui si portano le sfere.
In una regione di spazio, limitata da due piani paralleli al piano cartesiano ed infiniti, distanti l'uno dall'altro, vi è una distribuzione di carica costante .
Calcolare il campo elettrico nella regione di spazio compresa tra i due piani e la differenza di potenziale (in modulo) tra il centro della regione di spazio ed un estremo.
Una nuvola sferica carica ha un raggio . La densità
di carica è uniforme tra ed e vale , mentre nel
resto della nuvola (il guscio esterno restante) la densità
è ancora uniforme, ma vale .
La carica totale della nuvola
è nota e vale Q.
Determinare il campo elettrico a distanza dal centro della nuvola sferica.
(Dati del problema: , )
Una giunzione p-n tra due semiconduttori, che è rappresentabile
come un doppio strato (piano) di spessore , ha una densità di carica volumetrica che varia secondo la legge:
.
Al di fuori dello strato la carica è nulla.
Determinare il campo elettrico sulla superficie dello strato e la differenza di potenziale tra
i due estremi dello strato
Una nuvola sferica di raggio carica ha una densità di carica
uniforme a distanza dal centro tra ed e diventa di segno opposto , ma sempre uniforme tra e .
Determinare a) la carica tra e ;
b) il campo elettrico in ; c) a che distanza dal centro (escludendo il centro e l'infinito) il campo è nullo;
d) La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola () ed la regione di transizione ().
Un filo rettilineo, di lunghezza infinita, uniformemente carico, con una densità di carica lineare , è parallelo ed è ad una distanza da una superficie piana isolante (di spessore trascurabile) uniformemente carica con densità di carica superficiale .
Determinare: a) la forza per unità di lunghezza che si ha tra il filo e la superficie. b) la distanza dal piano, sulla verticale passante per il filo, per la quale il campo elettrico è nullo.
Una nuvola cilindrica molto lunga (lunghezza praticamente infinita) di raggio , ha una densità di carica uniforme
pari a . Una particella di carica e massa inizialmente ferma va da una posizione a distanza dall'asse fino a . Determinare a) l'accelerazione nel punto , b) l'accelerazione nel punto ,
3) La velocità con cui la particella arriva nel punto .
Una nuvola sferica di raggio ha una densità di carica variabile radialmente secondo la legge:
con .
Determinare a) la carica totale ; b) dove il campo elettrico è massimo ed il suo valore; c) la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il suo bordo.
Due sfere di raggio come in figura sono cariche uniformemente con densità di carica eguale e sono a distanza pari a due volte il raggio. Determinare a) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle x all'interno della sfera di destra e in particolare nel punto di coordinate ; b) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle y e in particolare nel punto di coordinate ; c) la velocità minima che deve avere un protone di massa e carica per riuscire ad attraversare il sistema passando per l'origine delle coordinate provenendo da distanza molto grande (l'infinito).
Al centro di un guscio sferico spesso di raggio interno e raggio esterno è collocata una carica puntiforme . All’interno del guscio sferico, per , esiste una distribuzione di carica con densità di volume , con una costante. Il campo elettrico radiale all'interno del guscio sferico è costante in modulo.
Si determini: a) il campo elettrico sul bordo interno del guscio ; b) il valore della costante che rende all'interno della distribuzione il campo elettrico costante in modulo; c) il valore della carica totale dell’intero sistema; d) la differenza di potenziale tra il bordo esterno ed interno del guscio sferico .
Due strati piani carichi di spessore con densità di carica uniforme eguale e contraria sono posti a distanza . In figura è disegnato l'asse delle e la sua origine. Determinare: a) il campo a grande distanza ; b) L'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle x e in particolare al centro lungo al centro; c) la velocità minima che deve avere una particella di massa e carica per potere attraversare i due strati provenendo da grande distanza () da destra nella figura.
Una sfera di densità di carica uniforme e raggio contiene due zone prive di carica al suo interno sferiche di raggio come indicato in figura. Determinare a) l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle per ; b) lungo l'asse delle per ; c) verificare che all'interno della sfera di destra la divergenza del campo elettrico sia ovunque nulla.
Il campo elettrico è quello di una superficie sferica carica con una densità di carica:
più una carica puntiforme posta sulla superficie esterna di carica:
Quindi il campo al centro è quello dovuto alla sola carica puntiforme (come direzione diretto verso il foro) e vale:
All'interno del guscio sferico in nessun punto il campo è nullo, all'esterno sulla retta passante per il centro del guscio sferico e per il foro vi è un punto a distanza dalla superficie del guscio sferico per cui i campi prodotti dal guscio sferico:
e dalla carica puntiforme:
Si compensano, da cui segue con semplici passaggi che:
Con due soluzioni, rigettando la negativa che corrisponde a stare dentro il guscio sferico dove non vale il sistema:
La distanza trovata di è chiaramente non trscurabile rispetto alle dimensioni del foro . Quindi l'esercizio richiedeva un calcolo più sofisticato essendo la combinazione non di una carica puntiforme e di
un guscio uniformemente carico, ma il caso
più complesso di un disco uniformemente
carico e di un guscio sferico.
b) Detta la densità di carica nell'atmosfera , poiché lo spessore dell'atmosfera utile ai fini del calcolo è piccolo rispetto al raggio della
terra, si può approssimare il suo volume con e quindi:
Quindi detta una quota generica tra ed , considerando una sfera
concentrica alla terra all'interno dell'atmosfera, l'applicazione del teorema di Gauss:
Trascurando rispetto a e sostituendo
Quindi:
Quindi la d.d.p. tra la quota e la superficie della terra vale:
Chiamiamo e la carica sulle sfere interna ed esterna dovrà essere che:
Inoltre dal teorema di Gauss essendo radiale tra ed vale:
Quindi la d.d.p. tra la sfera interna e quella intermedia vale:
mentre tra quella esterna e quella intermedia vale:
Imponendo che:
Quindi
La capacità elettrica vale dunque:
La densità di carica sulla sfera interna vale:
Quindi nelle immediate vicinanze il campo vale:
che è il massimo campo presente nello spazio tra le sfere, è facile verificare come nelle immediate vicinanze
della sfera intermedia il campo sia minore: .
Consideriamo un solo stato e spostiamo l'origine nel suo centro come mostrato in figura.
Distinguiamo tre zone di spazio. La prima è e consideriamo un cilindro perpendicolare al piano di sezione ed altezza con il suo centro coincidente con il centro della regione.
Attraverso le basi del cilindro il campo è uscente e vale in modulo . Il flusso attraverso la superficie laterale è identicamente nullo poiché il campo è parallelo alla superficie.
Quindi applicando il teorema di Gauss:
Quindi:
Mentre se :
Quindi:
Se la densità di carica fosse stata negativa avrei avuto:
Ritorniamo al problema reale facendo due cambiamenti di coordinare per in maniera diversa
tra + e -.
Le equazioni divengono:
Le equazioni divengono:
Quindi il campo totale nelle 4 regioni di spazio diviene:
Assunta come origine dell'asse delle il centro e normale ai piani. Consideriamo un cilindro gaussiano di base con asse parallelo all'asse delle di altezza . Applicando il teorema di Gauss, vi è flusso del campo elettrico solo attraverso le due superfici di base ed è eguale ed uscente per entrambe le superfici per cui
Quindi:
La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'estremo vale:
Avendo il problema simmetria piana si hanno tre regioni di spazio, di cui due in cui il campo è nullo , e una regione centrale
in cui in cui il campo è diverso da 0. La ragione per cui al di fuori dello strato il campo
è identicamente nullo dipende dal fatto che la zona carica ha carica
totale nulla, e quindi al di fuori della zona le cariche opposte da esse possedute si bilanciano completamente.
All'interno della distribuzione invece non si ha un bilanciamento.
Per ragioni di continuità sulle superfici dello strato il campo elettrico è nullo.
A partire da questo fatto si calcola mediante il teorema di Gauss il
campo elettrico nella regione centrale.
Si considera un cilindro gaussiano retto di superficie di base .
Disponiamo il cilindro con le generatrici ortogonali al piano dello strato e con una
superficie all'esterno dello strato (dove il campo è nullo) e l'altra in un punto generico della regione centrale (di coordinata x), applicando il teorema di Gauss:
da cui imponendo che per sia :
La d.d.p. tra un estremo e il centro della distribuzione vale:
Si risolveva ancora più semplicemente ricorrendo al teorema di Gauss
in forma locale che all'interno
della nuvola si riduce in:
a) Il campo elettrico generato nella parte superiore della superficie piana, diretto verso l'alto visto il segno di , vale:
Quindi la forza che agisce sulla carica posta a distanza vale:
di conseguenza, la forza attrattiva vale:
b)
Il campo elettrico, diretto verso il filo per il segno della carica su di esso, creato a distanza dal filo vale:
Tra il piano ed il filo il campo elettrico generato dalle due distribuzioni di carica sono concordi e quindi la risultante non si annulla mai. Mentre al di sopra del filo, scelta l'origine sul piano, sulla verticale del filo, si ha che , per cui il campo risultante vale:
Dal teorema di Gauss il campo generato dalla sola sfera di destra è nullo al centro e vale all'interno:
(come all'interno di una sfera uniformemente carica ma con origine nel punto ).
Mentre quello della sfera di sinistra è semplicemente:
Quindi in totale:
In particolare per :
o anche più semplicemente:
b)
In questo caso il campo coincide con quello di due cariche puntiformi poste in e . Che generano un campo avente solo componente (l'altra componente è nulla) che vale:
Quindi per :
c)
La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'infinito vale:
Al centro il campo è nullo per ragioni di simmetria, ma anche se viene usato il teorema di Gauss a una regione cilindrica simmetrica attorno al centro di altezza risulta:
Una sfera omogenea di raggio e densità di carica uniforme , ha in coordinate cartesiane nel punto generico all'interno di coordinate :
Sovrapponendo due sfere di raggio e densità di carica uniforme centrate nei punti e si ottiene la stessa distribuzione di carica e anche lo stesso campo.
La carica totale negativa di ognuna delle sfere negative è:
i punti sull'asse delle z sono tutti all'esterno di tali regioni
per cui (per cui generano il campo di una carica ) e la componente lungo l'asse delle si elidono a vicenda quindi
il campo è pari a:
Funzione mostrata di lato.
b)
Lungo l'asse delle avremo che la sfera positiva genera un campo
Per , la zona a carica negativa di sinistra genera un campo:
Mentre la regione di destra genera un campo:
Quindi per sommando i tre termini:
Mentre per :
Funzione mostrata nella figura qui sopra.
Le componenti ed sono identicamente nulle lungo tale asse.
c)
Nella regione a carica nulla di destra:
il campo elettrico nelle sue tre componenti cartesiane può essere calcolato estendendo le formule precedenti:
Notiamo che le componenti ed sono nulle lungo l'asse delle ma non le derivate parziali: