Esercizi sulla Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)

I seguenti esercizi riguardano la Dinamica dei sistemi di punti materiali studiata nella Lezione 5 di Meccanica.

Esercizi

1. Treno

Un treno è composto di una motrice e da tre vagoni, ed ha, inizialmente, una accelerazione $a_{o}\$. Supponiamo che la motrice ed i vagoni abbiano ognuno massa $M\$. Determinare: a) la forza motrice $F_{M}\$ della motrice, b) la forza $f_{1}\$ che esercita la motrice sul I vagone, c) la forza $f_{3}\$ che esercita il II vagone sul III.

(dati del problema $a_{o}=0.5\ m/s^{2}$, $M=2\cdot 10^{4}kg$)

2. Manubrio

Un manubrio è costituito da due masse uguali collegate da una sbarretta di massa trascurabile di lunghezza $2d\$: supponiamo che inizialmente esso ruoti liberamente intorno ad un asse ortogonale al centro della sbarretta con velocità angolare $\omega _{i}\$. Se in virtù di forze interne le due masse vengono avvicinate in maniera da distare alla fine solo $d/2\$ dal centro dell'asse di rotazione.

Determinare: La velocità angolare finale del sistema ed il lavoro fatto dalle forze interne.

(dati del problema $\omega _{i}=20\ rad/s\$, $d=0.5\ m$, $m=2\ kg$)

3. Blocchi con molla

Su un piano orizzontale sono posti due blocchi di masse $M_{1}\$ ed $M_{2}\$ rispettivamente. Tra i due blocchi, inizialmente fermi, è sistemata una molla, di massa trascurabile, mantenuta compressa con un corto filo di collegamento tra i blocchi. Ad un certo istante il filo viene tagliato ed i due blocchi vengono messi in movimento dalla molla. Si osserva che la velocità acquistata dalla massa $M_{1}\$ è $v_{1}\$.

Determinare l'energia elastica della molla nella configurazione iniziale.

(dati del problema $M_{1}=2\ kg$, $M_{2}=3\ kg$, $v_{1}=0.5\ m/s$, si trascuri l'attrito del piano)

4. Due masse appese

Due masse appese ad un piolo liscio

Su un piolo liscio (senza attrito) scorre un filo flessibile inestensibile e di massa trascurabile che collega due masse $m_{1}\$ ed $m_{2}\$. Le masse sono inizialmente ferme trattenute alla stessa quota, si mettono in moto sotto l'azione della forza peso. Calcolare l'accelerazione del centro di massa e la forza esercitata dal piolo (filo+ masse).

(dati del problema $m_{1}=2\ kg\$, $m_{2}=4\ kg\$)

5. Giostra

Una giostra è costituita da due seggiolini di massa $m=90\ kg$ (compresi gli occupanti) sospesi a due funi di lunghezza $l=3\ m$. Il sistema, assimilabile a un pendolo conico con due masse, è inizialmente posto in rotazione con velocità angolare $\omega _{1}\$ attorno ad un asse verticale sul quale sono ancorate le funi che si dispongono su un piano contenente la verticale ad angoli $\theta _{1}=45^{\circ }\$ sui lati opposti.

a) Determinare la tensione $T\$ della fune nella configurazione iniziale e il momento angolare totale del sistema. b) Supponendo che i due occupanti, esercitando forze interne per esempio utilizzando una fune, riescano ad avvicinarsi riducendo l'angolo delle funi di sospensione al valore $\theta _{2}=30^{\circ }\$, calcolare la velocità dei seggiolini. c) Determinare il lavoro fatto dalle forze interne per passare dallo stato a) allo stato b).

Soluzioni

1. Treno

Il sistema ha un solo grado di libertà, per cui ogni grandezza cinematica o dinamica, può esprimersi come uno scalare nella direzione del moto. Le equazioni del moto sono:

$F_{M}-f_{1}=Ma_{o}\$

$f_{1}-f_{2}=Ma_{o}\$

$f_{2}-f_{3}=Ma_{o}\$

$f_{3}=Ma_{o}\$

Sommandole:

$F_{M}=4Ma_{o}=40\ kN$

$f_{1}=F_{M}-Ma_{o}=30\ kN$

$f_{3}=Ma_{o}=10\ kN$

2. Manubrio

Dovendosi conservare il momento della quantità di moto:

$2dm\omega _{i}d=2{\frac {d}{2}}m\omega _{f}{\frac {d}{2}}\$

$\omega _{f}=4\omega _{i}=80\ rad/s$

L'energia cinetica iniziale vale:

$E_{i}=m\omega _{i}^{2}d^{2}\$

$E_{f}=m\omega _{f}^{2}{\frac {d^{2}}{4}}=4E_{i}\$

Quindi l'energia cinetica aumenta di:

$E_{f}-E_{i}=3E_{i}=600\ J$

L'aumento di energia cinetica è dovuto alle sole forze interne.

3. Blocchi con molla

Le forze che agiscono sono solo interne quindi essendo nulla la quantità di moto iniziale:

$M_{2}v_{2}+M_{1}v_{1}=0\$

$v_{2}=-{\frac {M_{1}}{M_{2}}}v_{1}=-0.33\ m/s$

Che è anche l'energia cinetica della massa 2 quindi l'energia cinetica vale:

$E_{k}={\frac {1}{2}}M_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}M_{2}v_{2}^{2}=0.42\ J$

che coincide con l'energia elastica della molla.

4. Due masse appese

Scelto $z\$ diretto verso l'alto:

$m_{2}a_{2}=-m_{2}g+T_{1}\$

$m_{1}a_{1}=-m_{1}g+T_{1}\$

Ma essendo il filo inestensibile $a_{1}=-a_{2}\$ quindi:

$m_{2}a_{2}=-m_{2}g+T_{1}\$

$-m_{1}a_{2}=-m_{1}g+T_{1}\$

che sottratte:

$(m_{1}+m_{2})a_{2}=(m_{1}-m_{2})g\$

$a_{2}=g{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-3.3\ m/s^{2}\$

Quindi l'accelerazione del centro di massa delle due masse vale:

$a_{cm}={\frac {m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-g{\frac {(m_{1}-m_{2})^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=-1.1\ m/s^{2}\$

Quindi applicando la I equazione cardinale della meccanica si ha che:

$F_{t}-m_{1}g-m_{2}g=(m_{1}+m_{2})a_{cm}\$

$F_{t}=(m_{1}+m_{2})(g+a_{cm})=52\ N$

5. Giostra

a) Inizialmente per ognuna delle due masse posso scrivere, nella direzione verticale (asse $z\$):

$T\cos \theta _{1}=mg\$

quindi:

$T=1247\ N\$

La componente della tensione del filo lungo la direzione orizzontale è inizialmente la sola forza centripeta, del moto rotatorio con raggio:

$r_{1}=l\sin \theta _{1}=2.12\ m\$

Quindi:

$m{\frac {v_{1}^{2}}{r_{1}}}=T\sin \theta _{1}\$

$v_{1}={\sqrt {\frac {Tr_{1}\sin \theta _{1}}{m}}}=4.6\ {\rm {m/s}}\$

Quindi:

${\vec {L}}=m{\vec {r_{1}}}\times {\vec {v_{1}}}+m{\vec {r_{2}}}\times {\vec {v_{2}}}=2mr_{1}v_{1}{\vec {k}}\$

$|{\vec {L}}|=1.74\cdot 10^{3}\ {\rm {kg\,m}}^{2}{\rm {s}}^{-1}\$

b)

Poiché agiscono solo forze interne, ${\vec {L}}\$ si conserva e poiché nella condizione finale la direzione rimane la stessa, si deve avere che:

$2ml\sin \theta _{1}v_{1}=2ml\sin \theta _{2}v_{2}\$

$v_{2}=v_{1}{\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=6.4\ {\rm {m/s}}\$

c)

L'Energia meccanica iniziale vale:

$E_{o}=mv_{1}^{2}+2mgl(1-\cos \theta _{1})\$

mentre quella finale vale:

$E_{f}=mv_{2}^{2}+2mgl(1-\cos \theta _{2})\$

La differenza:

$E_{f}-E_{o}=m[v_{2}^{2}-v_{1}^{2}+2gl(\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})]=1030\ {\rm {J}}\$

è positiva e rappresenta l'energia acquistata dal sistema a spese delle forze interne.