Una sbarretta metallica, di massa, , scivola senza attrito su due lunghe guide parallele e conduttrici, poste a distanza l'una dall'altra.
Esse sono collegate ad una delle estremità per mezzo di una resistenza
(La resistenza della sbarretta e delle guide è trascurabile rispetto a )
Un campo uniforme di induzione magnetica è applicato perpendicolarmente al piano della figura. All'istante , la sbarretta di massa viene lanciata con una velocità di
verso destra.
Determinare:
a) L'andamento della velocità in funzione del tempo.
b) L'andamento nel tempo della corrente che scorre nel circuito
c) Dimostrare come l'energia dissipata per effetto Joule sia in totale pari alla energia cinetica iniziale della sbarretta.
Determinare la mutua induzione in funzione delle distanza per due
spire quadrate rispettivamente
di e spire,
di lato a distanza . Approssimare
le spire come dei dipoli magnetici.
All'istante iniziale viene chiuso l'interruttore del circuito mostrato in figura. Determinare la corrente che a regime scorre nei tre rami e
quella quando è trascorso un tempo dalla chiusura dell'interruttore.
All'istante iniziale viene chiuso l'interruttore del circuito mostrato in figura. Determinare la corrente che a regime scorre nei tre rami, la costante di tempo del circuito, e la massima corrente che scorre nel ramo di .
Una spira circolare di raggio , resistenza , si trova all'interno di un solenoide di lunghezza di
spire e raggio . Il piano della spira forma un angolo di con l'asse del solenoide.
Nel solenoide scorre una corrente di e al tempo viene staccato l'alimentatore e fatta scaricare la corrente su una resistenza .
a) Determinare la mutua induzione tra spira e solenoide.
b) Determinare la corrente indotta nella spira al tempo , trascurando l'induttanza della spira stessa.
c) Determinare l'energia totale dissipata durante il periodo nella spira.
Un solenoide molto lungo ha un numero di spire ed è lungo . La corrente al suo interno cresce linearmente nel tempo secondo la legge: .
Al suo interno è posto un anello conduttore di raggio e resistenza . Determinare la potenza dissipata nell'anello
ed il campo magnetico al suo interno trascorso un tempo
Una bobina, chiusa, di resistenza , costituita da spire quadrate di lato , è posta fra le espansioni
polari di un magnete che produce un campo magnetico costante ed uniforme nella regione occupata dalla bobina. Il magnete viene fatto ruotare con velocità angolare costante in maniera tale che il campo magnetico ruota con velocità angolare .
A regime la corrente massima che scorre nella bobina vale . Determinare l'intensità del campo magnetico, la potenza massima istantanea dissipata e la potenza media che deve fornire il motore per mantenere la velocità angolare costante.
(Dati del problema , , , , , l'induttanza della bobina è trascurabile)
Una barretta di lunghezza è solidale con un perno che ruota a velocità angolare costante ed è collegata ad una spira circolare mediante un contatto strisciante. La spira è immersa in un campo di induzione magnetica di ampiezza ,
perpendicolare al piano in cui giace la spira ed uscente da esso. Il perno e la spira chiudono, tramite un interruttore, il circuito in figura composto da una resistenza e due condensatori scarichi.
Si calcoli: 1. la differenza di potenziale su ciascun condensatore a regime (ossia molto tempo dopo la chiusura dell'interruttore), specificando quali sono le facce a potenziale più alto; 2. l'energia dissipata sulla resistenza per effetto Joule durante la carica dei condensatori.
Una spira circolare di raggio è immersa in un campo magnetico, normale al suo piano, che varia con la legge:
La spira ha una resistenza per unità di lunghezza pari a . Determinare 1) la corrente massima generata nella spira; 2) l'energia totale dissipata nella spira stessa.
(Dati del problema , , , , si trascuri l'induttanza della spira)
Due sbarrette conduttrici, ciascuna di resistenza e massa , poggiano senza attrito su due binari orizzontali di resistenza trascurabile.
La distanza tra i binari è . Il sistema è immerso in un campo magnetico uniforme , entrante nel piano della figura. La barretta 1 si muove con velocità costante , mentre nell'istante iniziale la barretta 2 è ferma. Determinare:
a) l'intensità iniziale della corrente circolante
b) la forza agente sulla sbarretta 2 nell'istante iniziale
c) l'equazione della velocità della sbarretta in funzione del tempo ed in particolare al tempo
d) l'intensità della corrente che circola nel circuito dopo un tempo molto lungo.
Il movimento della sbarretta nel campo magnetico determina una variazione del flusso concatenato al circuito. Quindi si genera una forza elettromotrice pari a, (non occupandosi ancora dei segni):
dove è la superficie istantanea del circuito, quindi (scelta come origine di
la posizione al tempo della sbarretta). Per cui:
Tale provoca una corrente il cui verso è tale da opporsi alla causa che la genera, cioè opporrà una forza resistente la cui direzione è determinata proprio da tale condizione. La forza risultante sulla sbarretta è:
Il verso della corrente è quindi nel disegno antiroario.
Il problema dinamico è unidimensionale a questo punto e la II equazione della dinamica è:
Mentre per la maglia:
Sostituita nell'equazione della dinamica:
Cioè un moto viscoso, che corrisponde ad una velocità che diminuisce esponenzialmente nel tempo:
Quindi con una costante di tempo pari a:
( i freni dei treni sono ottenuti avvicinando dei grossi magneti alle ruote conduttrici e le correnti indotte provocano un frenamento dolce proporzionale in tale caso alla velocità angolare istantanea delle ruote, ma con un meccanismo simile a quello descritto qui).
b)
La corrente ovviamente ha lo stesso andamento esponenziale nel tempo:
c)
L'energia cinetica iniziale vale:
L'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza vale:
Applicando il teorema di Thevenin alla parte di circuito ai capi
dell'induttanza:
A regime la corrente nel ramo dell'induttanza vale quindi:
Dovendo essere eguali:
Si ha che:
Quindi nel ramo del generatore a regime:
La costante di tempo vale:
Ovviamente all'istante iniziale comportandosi l'induttanza come un circuito aperto la corrente fornita dal generatore scorre nel solo
ramo di e quindi la corrente vale:
Il campo magnetico generato dal solenoide, in assenza dell'anello, vale:
Quindi il flusso concatenato all'anello vale:
Quindi la f.e.m. indotta vale:
quindi la corrente circolante è costante e vale:
Quindi la potenza dissipata istantaneamente per effetto Joule vale:
La corrente circolante genera al centro dell'anello un campo pari a:
Quindi il campo totale vale:
quindi dopo :
(notare come per il campo, avendo trascurato l'induttanza, diventa negativo, tale risultato non fisico dipende dall'avere trascurato l'induttanza dell'anello, che non può essere trascurata nel momento iniziale)
Detta l'angolo al tempo generico tra la sbarretta ed il filo che va dal perno al circuito. L'area attreversata dal campo magnetico vale:
Ma ruotando la sbarretta a velocità angolare costante:
(dove è l'angolo al tempo ).
Quindi il flusso concatenato al circuito istante per istante vale:
La forza elettromotrice (f.e.m.) indotta sulla barretta
è data da:
1. A regime, nel circuito non scorre corrente, pertanto la tensione del generatore si ripartisce tra i condensatori 1 e 2 nelle proporzioni di e rispettivamente, essendo la capacità
equivalente della serie. Dunque:
2. L'energia dissipata per effetto Joule si può calcolare come differenza tra il lavoro svolto dal generatore di f.e.m., pari a
, ove è la carica accumulata su ciascun
condensatore, e l'energia accumulata nei due condensatori: