Una pietra viene lanciata con una velocità iniziale di 20.0 m/s contro una pigna all'altezza di 5.0 m rispetto al punto di lancio. Trascurando ogni resistenza, calcolare la velocità della pietra quando urta la pigna.
Il cosiddetto Bungee jumping si ha quando un uomo di massa si appende ad una fune elastica di costante di richiamo elastico inizialmente a riposo e si lascia cadere (con velocità iniziale nulla). Inizia un moto armonico in cui viene prima raggiunta la massima velocità (nel punto di equilibrio tra le forze) ed infine si ha il massimo allungamento della fune .
Determinare l'allungamento massimo e la relativa accelerazione, inoltre trovare la massima velocità raggiunta durante il moto. Si trascuri ogni forma di attrito.
Una automobile, che può schematizzarsi come un punto materiale, viaggia alla velocità , assunto che la forza di attrito viscoso sia (praticamente a tale velocità l'unica forza che si oppone alla forza di trazione del motore). Inoltre si immagini che la macchina debba percorrere un tratto in salita con pendenza (rapporto tra innalzamento e percorso fatto sul tratto orizzontale: quindi la tangente dell'angolo di inclinazione). Determinare il lavoro (minimo) e la potenza minima del motore per percorrere un tratto .
Una particella vibra di moto armonico semplice attorno all'origine. All'istante iniziale
l'energia potenziale elastica e l'energia cinetica sono eguali e valgono . Il periodo del moto vale , la massa della particella vale .
Determinare dopo quanto tempo la particella passa per l'origine, la massima velocità acquistata e il massimo allontanamento dalla posizione di equilibrio.
Un punto materiale percorre con velocità iniziale un piano inclinato di inclinazione per un tratto fino a raggiungere la sommità; a questo punto abbandona il piano inclinato
e cade a terra . L'attrito è trascurabile sia nel moto lungo il piano inclinato
che nel moto parabolico fino a toccare terra. Determinare: a) la velocità in modulo quando raggiunge la quota massima sul piano inclinato; b) la durata della caduta (dalla sommità del piano inclinato al pavimento); c) La gittata: distanza dalla base del piano inclinato al punto di caduta.
Due corpi di massa ed , sono legati tra di loro da un'asta di massa trascurabile e lunghezza . Il sistema viene messo in moto lungo l'asse (quello dell'asta), mediante una forza di valore medio che agisce per un tempo (la forza è molto intensa e durante la sua azione si può trascurare l'attrito). Dopo l'azione di tale forza i corpi scivolano sul piano orizzontale con coefficienti di attrito per il primo corpo e per il secondo . Dopo avere percorso una distanza (durante l'azione della forza di attrito) il corpo entra in una regione di spazio ad attrito nullo. Trovare il valore di , in maniera tale che il corpo 1 quando arriva nella regione di attrito nullo abbia velocità nulla e la massima velocità raggiunta dai due corpi.
Una forza parallela al tratto orizzontale come indicato in figura viene applicata su un oggetto di massa , inizialmente in quiete nel punto . La forza diviene parallela al piano inclinato quando l'oggetto incomincia a salire ed agisce fino alla quota (punto ) in maniera che il punto materiale si ferma quando arriva nel punto (alla quota ). Sia il tratto orizzontale che il tratto in salita sono scabri con coefficiente di attrito dinamico pari a . Il piano inclinato ha un angolo rispetto alla direzione orizzontale.
Determinare: 1) la velocità in ; 2) calcolare il lavoro della forza di attrito tra e ; 3) la quota ; 4) La velocità in .
Un nastro trasportatore di lunghezza lavora ad una inclinazione , esso trasporta in media, una massa di minerale per unità di lunghezza (che corrisponde a un ). Determinare la potenza del motore necessaria per muovere il nastro ad una velocità lineare di . Trascurare l'energia necessaria ad accelerare da fermo il minerale fino a
Supponendo che la forza necessaria a rimorchiare una nave sia proporzionale al quadrato della velocità e che una potenza di sia necessaria per rimorchiarla a . Trovare la potenza necessaria per rimorchiarla .
Un ciclista e la sua bicicletta hanno una massa . Trascurando gli attriti e la resistenza dell'aria, quanto tempo è necessario al ciclista per percorrere una strada con un dislivello di se la potenza motrice che è in grado di sviluppare è ?
Due persone fanno scivolare una cassa di massa inizialmente ferma spostandola di . Il primo spinge la cassa con una forza di diretta con verso il basso, mentre il secondo tira con una forza diretta secondo (verso l'alto). La forza è appena sufficiente a smuovere la cassa (cioè bilancia esattamente la forza di attrito).
a) Quale è il lavoro fatto singolarmente dalle due persone. b) Determinare il coefficiente di attrito. c) Se la cassa viene spostata in quanto è approssimativamente la potenza sviluppata insieme dalle due persone. d) Se non vi fosse stato attrito quale sarebbe la velocità della cassa alla fine del percorso.
(dati del problema , , , , , e
Si ringrazia il simpatico fellone che non sa né scrivere i dati né scrivere giuste soluzioni, per aver fatto perdere un'ora della sua vita ad un povero disgraziato.
Una massa viene lanciata orizzontalmente utilizzando un lanciatore da flipper, schematizzabile
come un pistone di massa ed una molla armonica di massa trascurabile e costante elastica che lavora solo in compressione (cioè per ).
Il sistema pistone+massa viene inizialmente compresso da a , (rimanendo in contatto come un unico corpo) e quindi rilasciato. Il pistone si muove nella sua sede senza attrito mentre la superficie di contatto della massa ha un coefficiente di attrito dinamico pari a . Quando la molla è completamente distesa la massa si stacca (e non vi sono forze dissipative aggiuntive agenti sulla massa , ma il pistone rimane bloccato da un fermo non visibile).
Determinare: a) l'energia del sistema massa pistone al momento del distacco; b) la velocità della massa al distacco; c) quando (a partire dal distacco) e dove () la massa si ferma; d) dove si sarebbe fermata la massa se la compressione della molla fosse stata .
Il filo di una altalena si spezza se sale da fermo un individuo di massa . Dei bambini invece spinti da un forza impulsiva opportuna eseguono il giro della morte. Notare che la tensione del filo esercita una forza solo in trazione mai
in compressione, per cui i bambini per fare il giro della morte debbono avere una velocità minima calcolabile dai dati.
Quale è la massima massa consentita per un bambino che voglia salire sull'altalena e l'impulso, nell'ipotesi di massa massima, che deve essere impresso dalla posizione di equilibrio per potere eseguire tale giro?
Un punto materiale di massa , con velocità iniziale nulla scende lungo un piano inclinato con angolo . Alla fine del piano scabro incontra un tratto orizzontale scabro di pari lunghezza. Determinare il massimo coefficiente di attrito dinamico perché il punto possa raggiungere la fine del tratto orizzontale e
di conseguenza la massima velocità raggiunta.
Un uomo di massa si arrampica, in allenamento, lungo una fune verticale per un tratto in un tempo . Determinare la potenza minima necessaria per tale sforzo (trascurare ogni attrito).
Un cavallo tira una slitta su un tratto di strada piano innevato ad una velocità . La forza esercitata dal cavallo, contro la forza di attrito, è nella direzione orizzontale. La massa della slitta e del passeggero è di . Determinare la potenza sviluppata dal cavallo per mantenere in movimento la slitta, l'attrito dinamico tra slitta e neve vale
Un pendolo semplice porta ad un estremo una massa , il moto oscillatorio è descritto dall'equazione del moto delle piccole oscillazioni:
Con ed .
Calcolare: a) la massima differenza di energia potenziale durante il moto; b) la differenza tra valore massimo e minimo della tensione del filo.
Un punto materiale di massa si muove all'interno di una guida circolare liscia (senza attrito) con raggio eguale a posta in un piano verticale (detto A il punto più basso e B il punto più alto). a) Determinare la velocità minima che deve avere il punto materiale nel punto A in maniera da rimanere in contatto con la guida in B. b) Se invece di descrivere una traiettoria circolare, il moto rimane
confinato nella parte inferiore della guida descrivendo un piccolo arco di circonferenza, se la velocità nel
punto A vale , quale sarà la reazione vincolare offerta dalla guida al punto materiale quando esso
raggiunge la massima quota? c) Quale è il periodo di oscillazione, nell'ipotesi che sia l'elongazione piccola come nel caso b)?
Un uomo spinge un carro di massa con una forza iniziale . Come il carro comincia a muoversi lungo l'asse , la forza esercitata dall'uomo diminuisce secondo la legge:
con .
Determinare il lavoro fatto tra e e la velocità acquistata dal carro, se il carro si muove su un piano inclinato con una pendenza di (il moto è senza attrito essendo
di puro rotolamento).
Il primo satellite artificiale, lo Sputnik I, descriveva una orbita circolare ad una altezza media di dalla superficie della terra. Il raggio della terra vale . Quale sarebbe stato il minimo lavoro necessario per mettere il satellite in orbita sapendo che la sua massa era e che il suo periodo di rivoluzione era di .
Un pendolo semplice porta ad un estremo una massa , il moto oscillatorio è descritto dall'equazione del moto delle piccole oscillazioni:
con e .
Calcolare: a) la lunghezza del filo ; b) la massima differenza di energia potenziale durante il moto ; c) la tensione del filo massima e minima (precisione nei calcoli all'1%) ; d) la velocità al tempo .
Detta la massima elongazione (dove la velocità è nulla) dalla posizione di equilibrio, ponendo l'energia potenziale iniziale (gravitazionale ed elastica) applicando la conservazione della energia meccanica:
La accelerazione in tale punto vale:
La velocità ha un massimo per un allungamento tale che:
Quindi il lavoro minimo fatto contro la forza di gravità vale:
mentre quello contro la forza di attrito:
Il lavoro totale:
La potenza che compensa la forza di attrito è pari a:
mentre la potenza necessaria per compiere il tratto in salita è:
Quindi la potenza totale vale:
Notare che si è fatta una approssimazione: si è approssimato la lunghezza del tratto in salita il tratto in piano in quanto la pendenza è piccola: . Infatti l'angolo del piano inclinato vale:
Il percorso in salita vale:
per questo:
Questa approssimazione fa fare un piccolo errore di calcolo per difetto nel calcolo del solo valore di .
Nel tratto agiscono solo la forza trainante e l'attrito dinamico e quindi il loro lavoro vale:
Che è anche pari alla energia cinetica posseduta dall'oggetto nel punto :
2)
Il lavoro fatto dalla forza di attrito durante la salita sarà:
3)
Alla fine del tratto in salita l'energia potenziale sarà divenuta:
Notare come la differenza tra l'energia potenziale nel punto più alto e il lavoro (cambiato di segno) della forza di attrito e l'energia cinetica iniziale () sia pari:
Cioè è necessario un lavoro aggiuntivo della forza per raggiungere la quota a velocità nulla:
Assumo il punto più basso come zero dell'energia potenziale
gravitazionale. E definisco la massa del bambino.
Nel punto più basso vi è solo energia cinetica:
Mentre nel punto più alto vi è sia energia cinetica che potenziale:
Inoltre la tensione nel filo esercita una forza solo in trazione quindi la forza
peso deve essere la forza centripeta nel punto più alto (se la tensione della fune nel punto più
alto ha il valore minimo quello nullo):
Applicando la conservazione dell'energia:
In un pendolo il punto più basso è quello con la massima tensione:
L'uomo deve esercitare una forza costante di verso l'alto, opposta alla forza di gravità per sollevare il suo corpo con una velocità costante. I suoi muscoli compiono un lavoro:
La velocità media con cui sale sulla fune vale:
Quindi la energia cinetica che vale:
È trascurabile rispetto a quella fornita per la sola salita.
![{\displaystyle F(x)=F_{o}\left[1-x/x_{o}\right]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c343edb61d1ce8bbedc7fe9b8518f31231aeb9)
![{\displaystyle v_{C}={\sqrt {2[{\frac {1}{2}}Mv_{B}^{2}-Mgh'+F{\frac {h'}{\sin {\theta }}}-\mu Mg\cos {\theta }{\frac {h'}{\sin {\theta }}}]/M}}=4.45\ m/s\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38d62616d07d0ab1c9768128d5ce6d5150c8f56)
![{\displaystyle W=\int _{0}^{x_{o}}F_{o}\left[1-{\frac {x}{x_{o}}}\right]dx=F_{o}\left[x-{\frac {x^{2}}{2x_{o}}}\right]_{0}^{x_{o}}={\frac {F_{o}x_{o}}{2}}=800\ J\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41ce221a77fbfa16a8ab9a20802782e8794ab84)
