Esercizi sul Magnetismo della materia (superiori)

I seguenti esercizi riguardano il Magnetismo della materia studiato nella Lezione 12 di Elettromagnetismo.

Esercizi

1. Un semplice anello

Un anello di materiale ferromagnetico sottile ha un diametro di $d=3\ cm$, ed una sezione di $S=1\ mm^{2}$. È fatto di ferro dolce, quindi con un ciclo di isteresi stretto, con buona approssimazione la permeabilità magnetica relativa è costante e pari a $\mu _{r}=1000$. Se attraverso le $N=100$ spire avvolte attorno all'anello scorre una corrente di $I=1\ mA$. Determinare a) la riluttanza; b) il campo di induzione magnetica all'interno del materiale; c) il momento magnetico totale dell'anello.

2. Un anello con un taglio

Un anello di materiale ferromagnetico sottile ha un perimetro di $\ell =4\ cm$, ed una sezione di $S=1\ mm^{2}$. Assumendo la permeabilità magnetica relativa costante pari a $\mu _{r}=1500$. a) Quale deve essere il taglio da praticare per avere una riluttanza di $\mathbb {R} =10^{8}H^{-1}$. b) Quale è la corrente da iniettare nelle $N=50$ spire avvolte attorno all'anello per avere un campo di induzione magnetica di $B_{o}=0.1\ T$ nel taglio. c) Se una volta annullata la corrente di magnetizzazione rimane l'anello magnetizzato con un campo di induzione residuo di $B_{r}=B_{o}/2\$ nel taglio: determinare $H\$ nel taglio e nel materiale ferro magnetico.

3. Un magnete permanente

Un magnete permanente è fatto da un toro di lunghezza $\ell =30\ cm$ ed un traferro in aria di $d=15\ mm$. Il campo di induzione magnetica nel traferro vale $|B|=0.4\ T$. Determinare il campo magnetico nel magnete e la sua magnetizzazione

4. Magnete con curva di magnetizzazione

La relazione tra $B\$ e $H\$ nel secondo quadrante per un magnete permanente è approssimata con la legge:

$B=aH+b\$

Con $a=3\cdot 10^{-5}Tm/A\$ e $b=0.6\ T$. Il magnete ha una forma toroidale con lunghezza $\ell =25\ cm$, determinare il campo B in funzione della dimensione $d\$ del traferro discutendo i casi limite e in particolare per $d=4\ cm$.

5. Un elettromagnete

Un elettromagnete è costituito da un materiale il cui ciclo di isteresi per quanto riguarda il caso studiato è descritto dalla legge:

$B=B_{s}(1-e^{-H/H_{s}})\qquad H>0$

con $B_{s}=1.1\ T$ e $H_{s}=2000\ A/m$. La lunghezza della parte ferromagnetica è $L=30\ cm$, mentre la spaziatura di ciascuno due traferri è di $G=2\ mm$ e la bobina di alimentazione è fatta di $N=40\$ spire. Determinare: a) la permeabilità magnetica per piccoli campi magnetici; b) il valore della corrente necessaria generare nel traferro un campo di $B=0.6\ T$.

Trascurare il flusso disperso (che viene mostrato in maniera esagerata nella figura).

6. Un circuito magnetico

Il circuito magnetico mostrato a fianco è costituito da sette rami a forma di parallelepipedo di lunghezza $\ell =30\ cm$ e sezione costante $S=1\ mm^{2}$. Il materiale di cui è fatto il circuito magnetico è ferromagnetico con una permeabilità $\mu _{r}=1000\$. La bobina che alimenta il circuito è fatta da $N=20\$ spire percorse da una corrente $I=5\ A$.

Determinare a) la riluttanza totale del circuito magnetico vista dalla bobina di alimentazione; b) $B,H,M\$ nel primo, secondo e terzo ramo parallelo verticale.

Soluzioni

1. Un semplice anello

a)

La lunghezza del percorso magnetico vale $\ell =\pi d=0.094\ m$. Quindi la riluttanza vale:

$\mathbb {R} ={\frac {\ell }{\mu _{o}\mu _{r}S}}=74\cdot 10^{6}H^{-1}$

b)

Essendo un anello sottile l'intensità del campo magnetico è semplicemente pari a:

$|H|={\frac {NI}{\ell }}=1.07\ A/m$

Quindi il campo di induzione magnetica vale:

$|B|=\mu _{o}\mu _{r}|H|=1.3mT\$

c)

Il vettore magnetizzazione vale:

$|M|=(\mu _{r}-1)|H|=1070\ A/m$

Quindi il momento magnetico totale vale:

$|m|=|M|\ell S=1\cdot 10^{-4}\ Am^{2}$

2. Un anello con un taglio

a)

Chiamata $\mathbb {R} _{o}\$ la riluttanza dell'anello non tagliato vale:

$\mathbb {R} _{o}={\frac {\ell }{\mu _{o}\mu _{r}S}}=21\cdot 10^{6}H^{-1}\$

Mentre la riluttanza totale vale:

$\mathbb {R} =\mathbb {R} _{o}+\mathbb {R} _{t}\$

Dove $\mathbb {R} _{t}\$ è la riluttanza della zona con taglio, che definendo $d\$ la dimensione del taglio, è pari a:

$\mathbb {R} _{t}={\frac {d}{\mu _{o}S}}\$

Quindi:

$d=\mu _{o}S(\mathbb {R} -\mathbb {R} _{o})=10\ \mu m\$

b)

Essendo:

$NI=\mathbb {R} \phi =\mathbb {R} BS\$

segue che:

$I={\frac {\mathbb {R} BS}{N}}=0.2\ A$

c)

Il campo H_t e B_t=B_r nel taglio essendoci il vuoto sono paralleli e legati dalla relazione:

$H_{t}={\frac {B_{r}}{\mu _{o}}}={\frac {B_{o}}{2\mu _{o}}}=39789\ A/m$

Dovendo essere:

$H_{t}d+H_{m}\ell =0\$

$H_{m}=-H_{t}{\frac {d}{\ell }}=-98\ A/m$

cioè il campo magnetico all'interno dell'anello è in direzione opposta a quello esterno. Notiamo come invece $M\$ sia:

$M={\frac {B_{o}}{2\mu _{o}}}-H_{m}=39887\ A/m$

3. Un magnete permanente

Il campo magnetico nel traferro vale:

$H_{t}={\frac {B}{\mu _{0}}}=3.2\cdot 10^{5}\ A/m$

Il campo magnetico nel magnete si ricava dal fatto che:

$H_{t}d+H_{m}\ell =0\$

Quindi $H_{m}\$ è in direzione opposta a $B\$ all'interno del magnete:

$H_{m}=-H_{t}{\frac {d}{\ell }}=-1.6\cdot 10^{4}\ A/m$

Il vettore magnetizzazione vale:

$M={\frac {B}{\mu _{0}}}-H_{m}=3.3\cdot 10^{5}\ A/m$

4. Magnete con curva di magnetizzazione

Il campo magnetico nel magnete si ricava dal fatto che:

$H_{t}d+H_{m}\ell =0\$

Quindi $H_{m}\$ è in direzione opposta a $B\$ all'interno del magnete:

$H_{m}=-H_{t}{\frac {d}{\ell }}=-{\frac {Bd}{\mu _{0}\ell }}$

Quindi dovendo essere:

$B=-{\frac {Bad}{\mu _{0}\ell }}+b\$

Si ha che:

$B={\frac {b}{1+ad/(\mu _{0}\ell )}}\$

cioè per $ad/(\mu _{0}\ell )\ll 1\$ $B\approx b\$, mentre se $ad/(\mu _{0}\ell )\gg 1\$ si ha che:

$B\approx {\frac {\mu _{0}\ell b}{ad}}\$

cioè inversamente proporzionale alla dimensione del traferro. Nel caso specifico essendo:

${\frac {ad}{\mu _{0}\ell }}=3.8\$

$B=0.12\ T\$

5. Un elettromagnete

a)

Se $H\ll H_{s}\$ posso approssimare l'esponenziale con:

$e^{-H/H_{s}}\approx 1-{\frac {H}{H_{s}}}\$

Quindi:

$B\approx {\frac {B_{s}H}{H_{s}}}=\mu _{o}\mu _{r}H\$

Quindi:

$\mu _{r}={\frac {B_{s}}{\mu _{o}H_{s}}}=438\$

b)

In un elettromagnete se il flusso disperso è trascurabile il campo di induzione magnetica nel traferro è eguale a quello nel nucleo. Il campo magnetico assume due valori diversi nel traferro:

$H_{T}={\frac {B_{o}}{\mu _{o}}}=4.8\cdot 10^{5}\ A/m\$

Mentre all'interno del ferromagnete bisogna tenere conto della relazione che lega B ad H occorre cioè trovare $H_{F}\$ tale che:

$B_{o}=B_{s}(1-e^{-H_{F}/H_{s}})$

La cui soluzione è:

$H_{F}=H_{s}\log(1-B_{o}/B_{s})=1570\ A/m$

Dovendo essere per il teorema della circuitazione:

$NI=H_{F}L+H_{o}2G$

Segue che:

$I={\frac {H_{F}L}{N}}+{\frac {B_{o}2G}{N\mu _{o}}}=60\ A$

6. Un circuito magnetico

La riluttanza di un solo ramo:

$\mathbb {R} _{o}={\frac {\ell }{\mu _{o}\mu _{r}S}}=2.4\cdot 10^{8}H^{-1}$

La riluttanza totale è dato dalla serie di $\mathbb {R} _{m1}=3R_{o}$ con il parallelo di $\mathbb {R} _{m2}=R_{o}$ e $\mathbb {R} _{m3}=3R_{o}$ cioè:

$\mathbb {R} _{T}=\mathbb {R} _{m1}+{\frac {\mathbb {R} _{m2}\mathbb {R} _{m3}}{\mathbb {R} _{m2}+\mathbb {R} _{m3}}}=3\mathbb {R} _{o}+{\frac {\mathbb {R} _{o}3\mathbb {R} _{o}}{\mathbb {R} _{o}+3\mathbb {R} _{o}}}={\frac {15}{4}}\mathbb {R} _{o}=9\cdot 10^{8}H^{-1}$

Quindi :

$\phi ={\frac {NI}{\mathbb {R} _{T}}}=1.11\cdot 10^{-7}\ Tm^{2}$

quindi:

$B_{1}={\frac {\phi _{1}}{S}}=0.11\ T\qquad H_{1}={\frac {B_{1}}{\mu _{o}\mu _{r}}}=87\ A/m\qquad M_{1}=(\mu _{r}-1)H_{1}=8691\ A/m$

Inoltre essendo:

$NI=3\ell H_{1}+\ell H_{2}$

$NI=3\ell H_{1}+3\ell H_{3}$

Segue che:

$H_{2}=3H_{3}\$

e anche:

$\phi _{2}=3\phi _{3}\$

Quindi dovendo essere:

$\phi =\phi _{2}+\phi _{3}=4\phi _{3}\$

Segue che:

$B_{3}={\frac {B_{1}}{4}}=0.0275\ T\qquad H_{3}={\frac {H_{1}}{4}}=22\ A/m\qquad M_{3}={\frac {M_{1}}{4}}=2172\ A/m$

$B_{2}=3{\frac {B_{1}}{4}}=0.0825\ T\qquad H_{2}=3{\frac {H_{1}}{4}}=65\ A/m\qquad M_{2}=3{\frac {M_{1}}{4}}=6520\ A/m$