Esercizi sugli Urti (superiori)

I seguenti esercizi riguardano la Urti studiata nella Lezione 7 di Meccanica.

Esercizi

1. Rimbalzo pallina

Una pallina di massa $m\$ cade sul pavimento da un'altezza $h_{0}\$ e rimbalza dopo avere urtato anelasticamente il pavimento ad una altezza $h_{1}\$ e continua successivamente a rimbalzare a quota sempre più bassa.

Determinare: a) Il coefficiente di restituzione; b) l'impulso dato al pavimento al secondo rimbalzo.

(dati del problema $m=50\ g$, $h_{0}=1.5\ m$, $h_{1}=1.3\ m$ )

2. Urto vario

Una sfera (un oggetto puntiforme) di massa $m\$ con velocità $v_{o}\$ urta in maniera centrale contro una seconda sfera di massa $2m\$. Determinare la velocità finale della II pallina e il rapporto tra energia meccanica finale ed iniziale: a) nel caso di urto completamente anelastico; b) nel caso di urto elastico; c) Nel caso di urto anelastico con coefficiente di restituzione $e\$.

(Dati del problema $v_{o}=3\ m/s\$, $e=0.5\$)

3. Proiettile contro asta

Una sbarra di lunghezza $l\$ e massa $m\$ è incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale e può muoversi liberamente in un piano verticale. Un proiettile di massa $m/90\$ urta in maniera anelastica la sbarra sull'estremo libero andandosi a conficcare all'interno. L'urto si può considerare istantaneo. La sbarra inizia a ruotare fino a fermarsi esattamente ad un quarto di giro. Determinare la velocità del proiettile e l'impulso del vincolo.

(Dati del problema $l=20\ cm\$, $m=1\ kg\$, la massa del proiettile è così piccola che il suo contributo al momento di inerzia si può trascurare come il suo contributo alla massa finale del sistema)

4. Pendolo di Newton

Il pendolo di Newton in funzione

Viene detto pendolo di Newton, un particolare pendolo costituito da in genere 5 sferette come nella animazione a fianco. Nel caso di questo esercizio le sfere sono solo tre, eguali, appese ad altrettanti fili inestensibili di eguale lunghezza, che a riposo sono a contatto.

La prima sfera viene sollevata di $h_{o}\$ e fatta urtare con il sistema delle due sfere. Dopo la successione di urti la prima sfera torna, per la prima volta, ad una altezza massima $h_{1}\$.

Determinare: a) il coefficiente di restituzione; b) l'energia dissipata nel primo urto tra la seconda e la terza sfera; c) L'altezza massima raggiunta dalla terza sfera.

( $h_{0}=0.3\ m\$, $h_{1}=0.2\ m\$, $m=10\ g\$, ovviamente il coefficiente di restituzione è lo stesso in ogni urto).

5. Urto tra punto materiale e disco

Rappresentazione dell'istante prima dell'urto

Un disco sottile di massa $M\$ e raggio $R\$ è appoggiato su un piano orizzontale liscio. Il disco è inizialmente fermo quando un corpo di massa $m\$ muovendosi sul piano con velocità $v_{0}\$ diretta come in figura, si conficca sul bordo estremo del disco. Si determini: a) la velocità del centro di massa del sistema disco più corpo dopo l'urto; b) la posizione del centro di massa disco più corpo dopo l'urto; c) la velocità angolare del centro di massa disco più corpo dopo l'urto.

Disco e piano orizzontale sono complanari ed il disco non ha alcun vincolo con il piano stesso.

(Dati del problema $M=1\ kg\$, $R=30\ cm\$, $m=50\ g\$, $v_{0}=5\ m/s\$)

6. Ballerini

In una gara di pattinaggio artistico, due ballerini di massa 70 kg (lui) e 50 kg (lei), si corrono incontro con la stessa velocità di 4 m/s rispetto al suolo. Quando si incontrano,lui solleva lei dal suolo. Con quale velocità proseguono il moto insieme?

7. Urto completamente anelastico

Due punti materiali di massa uguale $m=0.3\ kg\$ si muovono su un piano liscio urtandosi nel punto $A\$ della figura in modo completamente anelastico. Dopo l’urto, il punto materiale risultante entra in una zona scabra percorrendo una distanza di lunghezza $d=1\ m\$ prima di comprimere una molla di costante elastica $K=10\ N/m\$ di un tratto $x=0.5\ m\$ (dove ancora il piano è scabro). Con riferimento alla figura, sapendo che l’angolo $\alpha =30^{o}\$ e che il modulo delle velocità iniziali vale $v_{1}=v_{2}=v_{in}=4\ m/s\$. Si chiede di determinare: a) La velocità subito dopo l’urto in modulo, direzione e verso; b) il valore del coefficiente di attrito dinamico del tratto scabro; c) la perdita totale di energia meccanica calcolata rispetto all’istante subito prima dell’urto e a quello in cui la molla è stata compressa del tratto $x\$; d)il tratto percorso dai due corpi all’indietro dopo che hanno compresso la molla del tratto $x\$.

8. Impulso su sbarra

Una sbarra di lunghezza $l=40\ cm\$ e massa $m=2.5\ kg\$ è incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale, può muoversi liberamente in un piano verticale ed inizialmente è ferma in basso. Riceve un impulso all'estremo opposto a quello in cui è incernierata e compie un quarto di giro.

Determinare: a) la velocità angolare che assume inizialmente ; b) l'impulso che viene applicato ; c) l'impulso esercitato dal vincolo quando riceve l'impulso esterno ).

9. Palla da biliardo

Una palla da biliardo, una sfera omogenea piena di massa $m=500\ g\$ e raggio $r=10\ cm\$, è posta su un piano orizzontale scabro; inizialmente la palla è ferma. Viene applicato un impulso parallelo al piano orizzontale $|J|=3\ Ns\$, appartenente al piano verticale che passa per il centro della sfera e la cui retta d'azione passa ad un'altezza $xr\$, con $0<x<2\$, dal piano orizzontale.

Determinare : a) La velocità iniziale della sfera in funzione di $x\$; b) La velocità angolare iniziale della sfera in funzione di $x\$ e nel caso particolare di $x=1\$; c) Il valore di x per cui il moto diventa subito di puro rotolamento.

Si ricorda che il momento di inerzia di una sfera piena riferito ad un asse passante per il centro è ${\frac {2}{5}}mR^{2}\$.

10. Urto elastico tra punto materiale e corpo vincolato

Un punto materiale di massa $m_{0}=0.7\,kg$ urta elasticamente nel punto $A$ un pendolo composto formato da una sbarretta di lunghezza $l=16\,cm$ e massa $m_{1}$ al cui estremo è fissata rigidamente una sfera $S$ di massa $m_{0}$ e raggio $R=4\,cm$. Il sistema composto è incernierato in $B$ ed è libero di ruotare intorno a un asse ivi passante e perpendicolare al foglio.

Il momento d'inerzia rispetto a tale asse è $I_{p}=0.05\,kg\cdot m^{2}$. Subito dopo l'urto, il pendolo composto acquista una velocità angolare $\omega =8.0\,rad/s$.

Calcolare: a)la massa della sbarretta; b) la velocità $v_{1}$ del punto materiale prima dell'urto e la sua velocità $v_{2}$ subito dopo l'urto; c) la distanza da $B$ del centro di massa; d)l'angolo massimo $\phi _{max}$ raggiunto dal pendolo composto.

11. Disco rigido ruotante

Un disco omogeneo di massa $M\$ e raggio $R\$ ruota intorno ad un asse passante per il suo centro con velocità angolare iniziale costante $\omega _{i}\$. Un punto materiale di massa $m\$ è lanciato lungo una direzione parallela al momento angolare del disco come indicato nella figura. Il punto materiale urta in modo completamente anelastico sul bordo del disco con velocità $v_{0}\$. Dopo l’urto si misura che la velocità angolare del sistema fisico disco più punto materiale è uguale a $\omega _{f}\$. Subito dopo l’urto, si applica sull’asse di rotazione un momento frenante costante in modulo uguale a $M_{a}\$ che ferma il disco dopo che questo ha compiuto $n\$ giri completi. Si chiede di determinare: a) la massa $M\$ del disco; b) Il raggio $R\$ del disco; c) La perdita di energia meccanica dovuta al solo processo di urto anelastico ; d) La posizione del centro di massa del sistema fisico dopo l’urto .

(dati del problema $\omega _{i}=12\ rad/s\$, $\omega _{f}=6\ rad/s\$, $m=1\ kg\$, $v_{0}=2\ m/s\$, $M_{a}=0.2\ Nm\$, $n=2.5\$ giri)

Soluzioni

1. Rimbalzo pallina

a)

Il sistema del centro di massa coincide con quello del laboratorio (essendo la massa della terra immensamente più grande della pallina) quindi:

${\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=e^{2}{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\$

indicando con il pedice 0,1,2.. le velocità iniziale, dopo il primo rimbalzo, il secondo..

$mgh_{1}=e^{2}mgh_{0}\$

$e={\sqrt {\frac {h_{1}}{h_{0}}}}=0.93\$

b)

Nell'urto successivo la velocità prima dell'urto vale

${\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=mgh_{1}\$

$v_{1}={\sqrt {2gh_{1}}}=5\ m/s\$

Dopo l'urto:

${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}=e^{2}{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}\$

$v_{2}=-ev_{1}=-4.65\ m\$

Per cui l'impulso dato al pavimento vale:

$m(v_{2}-v_{1})=-0.48\ Ns\$

2. Urto vario

La velocità del centro di massa (CM) del sistema vale:

$v_{CM}={\frac {mv_{o}}{3m}}={\frac {v_{o}}{3}}\$

Nel sistema del CM la quantità di moto dei due oggetti prima dell'urto vale:

$|p'_{o}|=m(v_{o}-v_{CM})={\frac {2}{3}}mv_{o}\$

Dopo l'urto vale:

$|p'_{f}|=e|p'_{o}|=e{\frac {2}{3}}mv_{o}\$

dove $e\$ è il coefficiente di restituzione che vale $0\$ per urto completamente anelastico, $1\$ urto elastico, e un valore intermedio negli altri casi. Quindi nel sistema del CM la velocità della II sfera dopo l'urto varrà:

$v'_{2f}={\frac {|p'_{f}|}{2m}}=e{\frac {1}{3}}v_{o}\$

Nel sistema del laboratorio:

$v_{2f}=e{\frac {1}{3}}v_{o}+v_{CM}={\frac {v_{o}}{3}}(1+e)\$

Mentre la I sfera:

$v'_{1f}=-{\frac {|p'_{f}|}{m}}=-e{\frac {2}{3}}v_{o}\$

Quindi:

$v_{1f}=-e{\frac {2}{3}}v_{o}+v_{CM}={\frac {v_{o}}{3}}(1-2e)\$

L'energia cinetica iniziale vale:

$E_{o}={\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}\$

Quella finale:

$E_{f}={\frac {1}{2}}mv_{1f}^{2}+{\frac {1}{2}}2mv_{2f}^{2}={\frac {1}{2}}m{\frac {v_{o}^{2}}{9}}[2(1+e)^{2}+(1-2e)]\$

quindi il rapporto tra energia finale e iniziale vale:

$R={\frac {1}{9}}[2(1+e)^{2}+(1-2e)^{2}]={\frac {1+2e^{2}}{3}}\$

a)

Nel caso completamente anelastico $e=0\$:

$v_{f}={\frac {v_{o}}{3}}=1\ m/s\$

$R={\frac {1}{3}}$

b)

Nel caso elastico $e=1\$:

$v_{f}={\frac {2}{3}}v_{o}=2\ m/s$

$R=1\$

c)

Nel caso anelastico $e=0.5\$:

$v_{f}={\frac {1}{2}}v_{o}=1.5\ m/s\$

$R={\frac {1}{2}}\$

3. Proiettile contro asta

Dopo l'urto tutta l'energia cinetica (rotazionale) si trasforma in energia potenziale del centro di massa:

${\frac {1}{2}}I\omega ^{2}=mg{\frac {l}{2}}\$

Dove dal teorema di Huygens-Steiner il momento di inerzia del sistema dopo l'urto rispetto al vincolo vale:

$I={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+{\frac {ml^{2}}{90}}\approx {\frac {1}{3}}ml^{2}\$

quindi:

$\omega ={\sqrt {\frac {3g}{l}}}=12.12\ rad/s\$

Data la presenza del vincolo, si conserva il momento della quantità di moto rispetto al vincolo stesso:

${\frac {m}{90}}vl=I\omega ={\frac {1}{3}}ml^{2}{\sqrt {\frac {3g}{l}}}\$

$v=30{\sqrt {3gl}}=73\ m/s\$

L'impulso dato dal vincolo è dato dalla differenza tra la q.m. iniziale:

${\frac {m}{90}}v=0.81\ Ns\$

e quella finale (subito dopo l'urto):

$m\omega {\frac {l}{2}}=1.21\ Ns\$

Il vincolo subisce un impulso di $0.41Ns\$ in direzione opposta al moto del proiettile.

4. Pendolo di Newton

a)

In ogni urto, essendo eguali le sfere, la sfera che urta si ferma e cede la energia cinetica Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle e^2È_k\ } alla sfera urtata. Dove $e\$ è il coefficiente di restituzione ed Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikiversity.org/v1/":): {\displaystyle È_k\ } l'energia cinetica nel sistema del centro di massa. Essendo eguali le sfere l'energia del centro di massa è la metà del totale. Detta $E_{ko}\$ l'energia cinetica iniziale dopo il I urto:

$E_{k1}={\frac {1}{2}}E_{ko}(1+e^{2})\$

Ripetendo il ragionamento nel II urto:

$E_{k2}={\frac {1}{4}}E_{ko}(1+e^{2})^{2}\$

dopo $n$ urti:

$E_{kn}={\frac {1}{2^{n}}}E_{ko}(1+e^{2})^{n}\$

Nel caso specifico $n=4\$ quindi:

$mgh_{1}=E_{k4}={\frac {1}{16}}E_{ko}(1+e^{2})^{4}={\frac {1}{16}}mgh_{o}(1+e^{2})^{4}\$

$e={\sqrt {2{\sqrt[{4}]{h_{1}/h_{0}}}-1}}=0.9\$

b)

Nel primo urto tra la seconda sfera e la terza sfera viene dissipata;

$\Delta E=E_{k1}-E_{k2}={\frac {1}{2}}E_{ko}(1+e^{2})-{\frac {1}{4}}E_{ko}(1+e^{2})^{2}={\frac {mgh_{o}}{4}}(1+e^{4})=0.012\ J\$

c)

L'energia cinetica della terza sfera dopo il primo urto diventa potenziale:

$E_{k}={\frac {1}{4}}E_{ko}(1+e^{2})^{2}={\frac {1}{4}}mgh_{0}(1+e^{2})^{2}=mgh_{x}\$

$h_{x}={\frac {1}{4}}h_{0}(1+e^{2})^{2}=0.245\ m\$

5. Urto tra punto materiale e disco

a)

L'urto tra il corpo ed il disco avviene in assenza di vincoli e di forze impulsive. Pertanto si conservano la quantità di moto ed il momento angolare. La conservazione della quantità di moto si scrive:

$(M+m){\vec {v}}_{CM}=m{\vec {v}}_{0}\$

Le componenti scalari sono:

$(M+m)v_{y,CM}=0\$

$(M+m)v_{x,CM}=mv_{0}\$

quindi:

$v_{x,CM}={\frac {m}{m+M}}v_{0}=0.24\ m/s\$

b)

Dato che il corpo si conficca sul bordo del disco, il centro di massa del sistema dopo l'urto si collocherà in una posizione tra il centro O del disco ed il bordo del disco. Ricordando la definizione generale di centro di massa e collocando lo zero dell'asse delle ordinate nel centro del disco si ha:

$x_{CM}=0\$

$y_{CM}=m{\frac {R}{m+M}}=0.14\ m\$

c)

L'equazione della conservazione del momento angolare si scrive subito in forma scalare dato che tutto il sistema rimane sul piano orizzontale (x,y):

$(R-y_{CM})mv_{0}=I_{CM}\omega \$

dove i momenti angolari sono riferiti al centro di massa del sistema dopo l'urto. Il momento di inerzia totale del sistema $I_{CM}\$ è dato dalla somma del momento d'inerzia del disco più quello del corpo, entrambi calcolati rispetto alla posizione del centro di massa. Si ha, applicando il teorema di Huygens-Steiner, la seguente relazione per il momento d'inerzia del disco:

$I_{d,CM}={\frac {1}{2}}MR^{2}+My_{CM}^{2}=MR^{2}\left[{\frac {1}{2}}+\left({\frac {m}{m+M}}\right)^{2}\right]\$

Il momento d'inerzia del corpo, da parte sua, vale:

$I_{d,CM}=m(R-y_{CM})^{2}=mR^{2}\left({\frac {M}{m+M}}\right)^{2}\$

Sostituendo si ha per la velocità angolare del centro di massa appena dopo l'urto la seguente espressione:

$\omega ={\frac {2mv_{0}}{R(3m+M)}}=1.45\ rad/s\$

6. Ballerini

Poniamo:

$v_{1}=4\ {m \over s}\$

$v_{2}=-4\ {m \over s}$ (si muove in verso opposto)

Impostiamo poi la conservazione della quantità di moto:

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=(m1+m2)v_{3}$

$v_{3}={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{(m1+m2)}}={\frac {70\cdot 4-50\cdot 4}{70+50}}=0.66\ {m \over s}$

7. Urto completamente anelastico

7. Urto completamente anelastico

a)

Tenendo conto che le masse dei due punti materiali sono uguali e che le direzioni dei due vettori velocità formano lo stesso angolo rispetto all’asse delle ascisse indicato nella figura, dovendosi conservare la quantità di moto del sistema, le sue componenti y si annullano. Ci si aspetta, di conseguenza, che il punto materiale risultante dopo l’urto proceda lungo l'asse delle ascisse. Infatti, si ha:

$2mv_{in}\cos \alpha =2mv_{fin,x}\$

$mv_{in}\sin \alpha -mv_{in}\sin \alpha =2mv_{fin,y}=0\$

Quindi:

$v_{fin,x}=3.46\ m/s\$

b)

La conservazione dell’energia meccanica dall’istante subito dopo l’urto a quello in cui la molla risulta compressa del tratto x si scrive nel seguente modo:

${\frac {1}{2}}Kx^{2}-mv_{fin}^{2}=-2\mu mg(d+x)\$

$\mu ={\frac {2mv_{fin}^{2}-Kx^{2}}{4mg(d+x)}}\approx 0.27\$

c)

La perdita totale di energia meccanica $\Delta E\ </math> dall’istante prima dell’urto a quello dell’avvenuta compressione della molla si ricava dalla seguente relazione:

$\Delta E=mv_{in}^{2}-{\frac {1}{2}}Kx^{2}\approx 3.55\ J\$

d)

Il tratto percorso all’indietro dall’insieme dei due corpi si ricava sempre dalla conservazione dell’energia meccanica, ottenendo:

${\frac {1}{2}}Kx^{2}=2\mu mg\Delta x\$

$\Delta x={\frac {Kx^{2}}{4\mu mg}}\approx 0.80\ m\$

8. Impulso su sbarra

a)

Il momento di inerzia rispetto al vincolo vale, utilizzando il teorema di Huygens-Steiner:

$I={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)={\frac {1}{3}}ml^{2}\$

Essendo trasformata tutta l'energia cinetica in energia potenziale del centro di massa:

${\frac {1}{2}}I\omega ^{2}=mg{\frac {l}{2}}\$

b)

Data la presenza del vincolo, si conserva il momento della quantità di moto rispetto al vincolo stesso nel momento dell'urto:

$Jl=I\omega \$

$J={\frac {I\omega }{l}}=m{\sqrt {\frac {gl}{3}}}=2.86\ Ns\$

c)

$\omega ={\sqrt {\frac {mgl}{I}}}={\sqrt {\frac {3g}{l}}}=8.6\ rad/s\$

La velocità del centro di massa vale:

$v_{CM}=\omega {\frac {l}{2}}=1.72\ m/s\$

L'impulso opposto dal vincolo durante l'azione della forza impulsiva è tale che la risultante dei due impulsi $R_{v}\$ (vincolo) e quello esterno (appena calcolato) sia pari alla variazione di q.m. del CM:

$R_{I}=-1.43\ Ns\$

9. Palla da biliardo

a)

Indipendentemente da $x\$, si ha che :

$mv_{0}=|J|\$

da cui:

$v_{0}=6\ m/s\$

b)

Inoltre:

$I_{c}\omega _{o}=|J|(r-xr)\$

con $I_{c}=2/5mr^{2}\$ è il momento di inerzia della sfera.

$\omega _{o}={\frac {5|J|(1-x)r}{2mr^{2}}}={\frac {5|J|(1-x)}{2mr}}\$

Quindi per $x=1\$:

$\omega _{o}=0\ rad/s\$

Il moto rotatorio iniziale è in senso orario se $x>1\$, antiorario nel caso opposto

c)

Il moto diventa istantaneamente di puro rotolamento solo se:

$\omega _{o}r=-v_{CM}\$

cioè se:

${\frac {5|J|(1-x)}{2m}}=-{\frac {|J|}{m}}\$

$x={\frac {7}{5}}\$

10. Urto elastico tra punto materiale e corpo vincolato

a)

Il momento d'inerzia dell'asta rispetto a B è:

$I_{Asta}={\frac {m_{1}l^{2}}{3}}\$

mentre quello della sfera $S è:

$I_{S}={\frac {2}{5}}m_{0}R^{2}+m_{0}\left(l+R\right)^{2}=0.028\,kg\cdot m^{2}\$

Il momento di inerzia del pendolo composto è quindi:

$I_{P}=I_{Asta}+I_{S}\$

e, invertendo

$m_{1}={\frac {3\left(I_{P}-I_{S}\right)}{l^{2}}}=2.5\,kg\$

b)

Per la conservazione dell'energia

${\frac {1}{2}}m_{0}v_{1}^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v_{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{P}\omega ^{2}\$

mentre, imponendo la conservazione del momento angolare, si ottiene

$m_{0}v_{1}\left(l+R\right)=m_{0}v_{2}\left(l+R\right)+I_{P}\omega \$

combinando queste due equazioni:

$m_{0}\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)=m_{0}\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(v_{1}+v_{2}\right)=I_{P}\omega ^{2}\$

$m_{0}\left(l+R\right)\left(v_{1}-v_{2}\right)=I_{P}\omega \$

${\frac {I_{P}\omega \left(v_{1}+v_{2}\right)}{l+R}}=I_{P}\omega ^{2}\$

$v_{1}+v_{2}=\omega \left(l+R\right)\$

$v_{1}-v_{2}={\frac {I_{P}\omega }{m_{0}(l+R)}}\$

$v_{1}={\frac {\omega \left(l+R\right)}{2}}+{\frac {I_{P}\omega }{2m_{0}(l+R)}}=\omega {\frac {m_{0}\left(l+R\right)^{2}+I_{P}}{2m_{0}(l+R)}}=2.2\,m/s\$

$v_{2}={\frac {\omega \left(l+R\right)}{2}}-{\frac {I_{P}\omega }{2m_{0}(l+R)}}=\omega {\frac {m_{0}\left(l+R\right)^{2}-I_{P}}{2m_{0}(l+R)}}=-0.6\,m/s\$

c)La distanza del centro di massa da $B$ è:

$l_{CM}={\frac {m_{1}l/2+m_{0}(l+R)}{m_{0}+m_{1}}}=11\,cm\$

d)Dopo l'urto il pendolo trasforma l'energia cinetica guadagnata in energia potenziale:

${\frac {1}{2}}I_{P}\omega ^{2}=\left(m_{0}+m_{1}\right)gl_{CM}(1-\cos \phi _{max})\$

$I_{P}\omega ^{2}=g\left[m_{1}l+2m_{0}(l+R)\right](1-\cos \phi _{max})\$

$\cos \phi _{max}=1-{\frac {I_{P}\omega ^{2}}{g\left[m_{1}l+2m_{0}(l+R)\right]}}\$

$\phi _{max}=58{^{o}}\$

11. Disco rigido ruotante

a)

Il momento angolare dovuto al punto materiale è perpendicolare al momento angolare assiale del disco. Pertanto, il momento angolare assiale (lungo l’asse z) si conserva prima e dopo l’urto e si può porre:

$I_{z}\omega _{i}=I_{z}\omega _{f}+mR^{2}\omega _{f}\$

Quindi essendo per un disco $I_{z}={\frac {1}{2}}MR^{2}\$:

${\frac {1}{2}}MR^{2}\omega _{i}={\frac {1}{2}}MR^{2}\omega _{f}+mR^{2}\omega _{f}\rightarrow M={\frac {2m\omega _{f}}{\omega _{i}-\omega _{f}}}=2\ kg\$

b)

La energia totale persa fino a fermarsi è pari a:

$\Delta E_{r}=-{\frac {1}{2}}(I_{z}+mR^{2})\omega _{f}^{2}\$

Una volta applicato sull’asse di rotazione il momento frenante $M_{a}\$, il disco si ferma dopo aver compiuto $n=2.5\ giri\$ completi. Allora è possibile scrivere che la perdita istantanea di energia rotazionale è pari al momento frenante per l'angolo infinitesimo $\Delta E_r\ </math>:

$dE_{r}=-M_{a}d\theta \$

L'integrale del primo temine è pari a:

$\Delta E_{r}={\frac {1}{2}}(I_{z}+mR^{2})\omega _{f}^{2}\$

mentre l'integrale del secondo termine:

$\int _{0}^{n2\pi }M_{a}d\theta =2M_{a}\pi n\$

Quindi:

${\frac {1}{2}}(I_{z}+mR^{2})\omega _{f}=2M_{a}\pi n\rightarrow R=2{\sqrt {\frac {M_{a}\pi n}{\omega _{f}(M+2m)}}}=0.21\ m\$

c)

La perdita di energia meccanica relativa solo all’urto anelastico tra il punto materiale e il disco vale:

$\Delta E_{a}={\frac {1}{2}}[I_{z}\omega _{i}^{2}+mv_{o}^{2}-(I_{z}+mR^{2})\omega _{f}^{2}]=3.57\ J\$

d)

Il centro di massa $x_{CM}\$ del sistema fisico dopo l’urto misurato rispetto all’asse di rotazione è uguale a:

$x_{CM}={\frac {mR}{m+M}}=0.07\ m\$