Esercitazione 4 (analisi matematica)

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Esercitazione 4 (analisi matematica)
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: esercitazione completa al 25%.

In questa esercitazione vedremo come risolvere alcuni limiti a seconda del caso. I limiti saranno presentati nella forma

con , e .


Limiti di funzione continua in Modifica

È il caso di limiti banali di funzioni che sono continue in un punto e non presentano una forma indeterminata. In questo caso basta calcolare la funzione direttamente per il valore di  .

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Soluzione

La funzione

 

è composizione di funzioni continue, ed è continua sul dominio   dunque si può passare alla risoluzione del limite direttamente sostituendo il valore di  , in questo caso 0, per valutare il comportamento della funzione nel punto. Sostituendo:

 

da cui

 


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Soluzione

Valgono le considerazioni fatte per la funzione precedente. La funzione risulta continua sul dominio  . Valutiamo la funzione nel punto  , da cui:

 

Infine, svolgendo i calcoli, si ha

 


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Soluzione

La funzione, per   è definita per ogni valore appartenente a  . Dunque per valutarla per   sostituiamo i "valori"   nella funzione:

 

Procedendo per stime asintotiche otteniamo:

 


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Soluzione

La funzione non è risolvibile per sostituzione diretta in quanto, procedendo in tal senso, si ottiene la forma indeterminata  

 

ossia una scrittura priva di senso. Dunque occorre procedere in maniera alternativa, con manipolazioni algebriche. Un metodo risolutivo in questo caso è procedere come segue

 
 

Ora, sfruttando i limiti notevoli   per   e   per  . Il limite si riduce quindi a:

 


Limiti destri e sinistri con stime asintoticheModifica

Si trattano qui i limiti di funzioni che richiedono, per essere risolti, delle stime asintotiche e la conoscenza dell'algebra degli infinitesimi, ossia degli ordini di infinito e infinitesimo delle funzioni che compongono la   di cui si vuole conoscere il limite. Inoltre i seguenti esercizi comprendono lo studio di limiti destri   e sinistri  .

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Soluzione

La funzione   non è definita in  , dunque per svolgere il limite occorre ricorrere all'analisi del comportamento asintotico della funzione in questione. In particolare sappiamo che la funzione logaritmo tende a   quando il suo argomento tende a  , poiché la funzione   va a   per valori di   tendenti a  . Da notare inoltre che il limite esiste solo per   tendenti a   da destra, poiché la funzione logaritmo naturale non risulta definita per valori di  . Tenendo a mente queste considerazioni possiamo concludere che

 

e quindi che la funzione, definita sul dominio   e dunque  , tende a valori infinitamente grandi per  .


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Soluzione

Per valutare la funzione in   occorre far attenzione al fatto che il valore   rappresenta una quantità infinitesimalmente maggiore di  ; si può pensare ad esempio come  . Dunque nel momento in cui si svolge l'operazione   otteniamo come risultato una quantità comunque positiva ma prossima a zero, ossia  . Altresì nel valutare la funzione coseno si deve tener conto che in   essa vale   e per valori di angoli maggiori (fino a  ) assume valori negativi. Da questo,  , dove   rappresenta una quantità infinitesima negativa. Applicando tutti i ragionamenti sopra si può quindi passare al calcolo del limite:

 

Il tendere della funzione   a valori infinitesimi negativi ci dice che la funzione in quel punto resta sotto l'asse delle ascisse avvicinandosi sempre a zero. Con uno studio del limite per  , che fornisce lo stesso risultato

 

possiamo dire che i limiti destro e sinistro coincidono nel punto  , cosa che rende la funzione continua, e che in un intorno   del punto - con   - la funzione assume valori negativi.