Analisi matematica > Esercitazione 3 (analisi matematica)
Verificare se le seguenti serie convergono, divergono, oppure se sono oscillanti.
Verificare che le seguenti serie siano convergenti e trovare il valore a cui convergono.
∑ n = 4 ∞ 3 − 3 3 n {\displaystyle \sum _{n=4}^{\infty }{\frac {3-{\sqrt {3}}}{\sqrt {3^{n}}}}}
Cerchiamo di ricondurci a qualcosa di più semplice. Innanzitutto portiamo fuori la costante:
∑ n = 4 ∞ 3 − 3 3 n = ( 3 − 3 ) ∑ n = 4 ∞ 1 3 n = ( 3 − 3 ) ∑ n = 4 ∞ ( 3 3 ) n {\displaystyle \sum _{n=4}^{\infty }{\frac {3-{\sqrt {3}}}{\sqrt {3^{n}}}}=\left(3-{\sqrt {3}}\right)\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {3^{n}}}}=\left(3-{\sqrt {3}}\right)\sum _{n=4}^{\infty }\left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{n}}
Ci siamo ricondotti ad una serie geometrica di ragione 3 3 < 1 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}<1} quindi convergente ad un valore.
Applichiamo la formula ∑ k = m n q k = q m − q n + 1 1 − q {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}q^{k}={\frac {q^{m}-q^{n+1}}{1-q}}}
Quindi:
quindi convergente ad un valore.
