Esercitazione 2 (analisi matematica)

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I seguenti esercizi fanno riferimento alla lezione sulle successioni reali. Vi invito a leggere la parte teorica prima di procedere alla risoluzione degli esercizi.

Successioni

Esercizio 1

Scrivere i primi cinque termini della successione

1. $(a_{n})_{n}=\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{n}$
2. $(b_{n})_{n}=\left(n^{2}\right)_{n}$
3. $(c_{n})_{n}=\left(n+{\frac {1}{n}}\right)_{n}$
4. $(d_{n})_{n}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)_{n}$

Svolgimento

1. $a_{1}=1,\,\,a_{2}={\frac {1}{4}},\,\,a_{3}={\frac {1}{9}},\,\,a_{4}={\frac {1}{16}},\,\,a_{5}={\frac {1}{25}}$, mettiamo in evidenza il fatto che è impossibile valutare il termine $a_{0}$ questo perché per $n=0$ il termine $1/n$ perde di significato.

2. $b_{0}=0,\,\,b_{1}=1,\,\,b_{2}=4,\,\,b_{3}=9,\,\,b_{4}=16$, a differenza della precedente successione, qui possiamo calcolare $b_{0}$

3. $c_{1}=2,\,\,c_{2}={\frac {5}{2}},\,\,c_{3}={\frac {10}{3}},\,\,c_{4}={\frac {17}{4}},\,\,c_{5}={\frac {26}{5}}$

4. $d_{1}=2,\,\,d_{2}={\frac {3}{2}},\,\,d_{3}={\frac {4}{3}},\,\,d_{4}={\frac {5}{4}},\,\,d_{5}={\frac {6}{5}}$

Esercizio 2

Studiare il segno, la monotonia e la limitatezza delle seguenti successioni:

• $(a_{n})_{n}=\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{n}$.

Svolgimento

Il termine n-esimo della successione è $a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$. Poiché per ogni $n>0$ naturale si ha che $n^{2}>0$ pertanto ${\frac {1}{n^{2}}}>0$.

In questo modo abbiamo ottenuto due informazioni importanti, la prima è che la successione è positiva, la seconda è che la successione è limitata inferiormente.

Ora per ogni $n>0$ naturale si ha che $n<n+1$ ne segue che $n^{2}<(n+1)^{2}$, pertanto

$a_{n+1}={\frac {1}{(n+1)^{2}}}<{\frac {1}{n^{2}}}=a_{n}$

otteniamo quindi che la successione è strettamente decrescente. La decrescenza della successione inoltre ci assicura che ogni elemento della successione è minore o uguale del primo termine, cioè $a_{1}\geq a_{n}$ ma $a_{1}=1$ concludiamo che $0<a_{n}\leq 1$, cioè la successione è limitata sia superiormente che inferiomente.

Limite di successioni

Limiti fondamentali

• $\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}=0\qquad \forall \alpha >0$.

Svolgimento

Dimostrazione: Sia $\epsilon >0$, l'intento è quello di determinare esplicitamente un numero naturale $m$ tale che

$\forall n>m\implies \left|{\frac {1}{n^{\alpha }}}\right|<\varepsilon$.

Sia fissato $\varepsilon >0$, dobbiamo risolvere la disequazione $\left|{\frac {1}{n^{\alpha }}}\right|<\varepsilon$ rispetto ad n. Si osservi ora che il valore assoluto in $\left|{\frac {1}{n^{\alpha }}}\right|$ è superfluo, poiché ${\frac {1}{n^{\alpha }}}>0$, ne consegue che $\left|{\frac {1}{n^{\alpha }}}\right|<\varepsilon$ può essere riscritto come ${\frac {1}{n^{\alpha }}}<\varepsilon$ da cui $n^{\alpha }>{\frac {1}{\varepsilon }}\implies n>{\sqrt[{\alpha }]{\frac {1}{\varepsilon }}}$. Basta prendere quindi $m=\left[{\sqrt[{\alpha }]{\frac {1}{\varepsilon }}}\right]$, dove con [*] si indica la funzione parte intera.

Esercizio 1

• Dimostrare che $\lim _{n\to +\infty }{\frac {2n+1}{n+1}}=2$.

Svolgimento

Dimostrazione: Per la definizione di limite, abbiamo che

$\forall \varepsilon >0\exists m\in \mathbb {N} \ :\ \left|{\frac {2n+1}{n+1}}-2\right|<\varepsilon ,\forall n\in \mathbb {N} ,n>m$.

Troviamo allora qual è questo $m$.

$\left|{\frac {2n+1}{n+1}}-2\right|<\varepsilon \Leftrightarrow =\left|-{\frac {1}{n+1}}\right|<\varepsilon \Leftrightarrow {\frac {1}{n+1}}<\varepsilon \Leftrightarrow$ $1<n\varepsilon +\varepsilon \Leftrightarrow n>{\frac {1-\varepsilon }{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}-1$.

Dunque, per ogni $\varepsilon >0$, esiste un $m\in N$ (ad esempio $\left[{\frac {1}{\varepsilon }}\right]$) tale che la successione differisca per $\varepsilon$ per un infinitesimo, purché l'indice $n$ della successione sia abbastanza grande ed in particolare più grande di $m=\left[{\frac {1}{\varepsilon }}\right]$.