(1) Ricordiamo ora la regola che ci permette di valutare la somma tra due numeri complessi:
e allora:
Nel nostro facile esempio abbiamo che:
mentre dunque:
(2) Ricordiamo che per valutare il prodotto di due numeri complessi si procede come segue.
Poniamo per semplicità notazionale:
e mentre e .
Quindi:
.
Ora quindi l'espressione precedente diventa:
Passiamo ora al calcolo effettivo. Nel nostro caso specifico abbiamo che
mentre di conseguenza:
(3) In questo caso nel prodotto interviene il coniugato di , è quindi necessario valutarlo.
Dato un numero , si definisce numero complesso coniugato di , denotato con :
In pratica abbiamo semplicemente cambiato il segno alla parte immaginaria di . Utilizziamo questa definizione per valutare il coniugato di :
:
pertanto:
Esercizio 2
Determinare per quali valori reali si ha che
Soluzione
È necessario esprimere diversamente il primo membro in modo da evidenziare la parte reale e la parte immaginaria:
.
Osserviamo che due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno sia la stessa parte reale che quella immaginaria. Ragionando in questo modo otteniamo un sistema di due equazioni e in due incognite:
Possiamo risolverlo per sostituzione, dalla prima equazione sotituiamo il valore ottenuto nella seconda equazione ottenendo:
facendo i conti otteniamo che:
adesso facciamo una sostituzione all'indietro:
,
ma dunque
Pertanto i valori che soddisfano l'equazione sono:
