Esercitazione 1 (analisi matematica)

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esercitazione
Esercitazione 1 (analisi matematica)
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: esercitazione completa al 100%.

Operazioni elementari con i numeri complessiModifica

Esercizio 1 Dati i numeri  : con   valutare:

(1)  

(2)  

(3)  

Soluzione

(1) Ricordiamo ora la regola che ci permette di valutare la somma tra due numeri complessi:

  e   allora:
 

Nel nostro facile esempio abbiamo che:

  mentre   dunque:
 

(2) Ricordiamo che per valutare il prodotto di due numeri complessi si procede come segue.

Poniamo per semplicità notazionale:

  e   mentre   e  .

Quindi:

 .

Ora   quindi l'espressione precedente diventa:

 

Passiamo ora al calcolo effettivo. Nel nostro caso specifico abbiamo che

  mentre   di conseguenza:
 

(3) In questo caso nel prodotto interviene il coniugato di  , è quindi necessario valutarlo. Dato un numero  , si definisce numero complesso coniugato di  , denotato con  :

 

In pratica abbiamo semplicemente cambiato il segno alla parte immaginaria di  . Utilizziamo questa definizione per valutare il coniugato di  :

 :

pertanto:

 

Esercizio 2

Determinare per quali valori reali   si ha che  

Soluzione È necessario esprimere diversamente il primo membro in modo da evidenziare la parte reale e la parte immaginaria:

 .

Osserviamo che due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno sia la stessa parte reale che quella immaginaria. Ragionando in questo modo otteniamo un sistema di due equazioni e in due incognite:

 

Possiamo risolverlo per sostituzione, dalla prima equazione   sotituiamo il valore ottenuto nella seconda equazione ottenendo:

 

facendo i conti otteniamo che:

 

adesso facciamo una sostituzione all'indietro:

 ,

ma   dunque  

Pertanto i valori che soddisfano l'equazione sono: