Elaborazione lineare e nonlineare di un processo stocastico

esercitazione
Elaborazione lineare e nonlineare di un processo stocastico
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori

TFA elaborazione processi casuali schema.png

Si vuole modificare un processo stocastico con un sistema , che è una trasformazione.


Definizione: Sistema tempo-invariante
Un sistema si dice tempo-invariante se, dato

si ha che


Classificazione dei sistemiModifica

  •   è tempo invariante, non lineare;
  •   è tempo invariante, lineare;

Se il sistema   è tempo invariante e   è stazionario in senso stretto di ogni ordine, allora anche il processo   è stazionario in senso stretto (SSS) di ogni ordine.

In generale, il fatto che   sia SSS non vuol dire che   sia anch'esso SSS.


Esempio:
Si ha
 
 



Esempio:
Sia   un sistema tempo invariante,   WSS e  . Sia
 

con   e   costanti, mentre   e   due variabili casuali indipendenti e a media nulla. Allora, si ha

 

Siccome la media è una funzione del tempo,

 
allora il sistema è sicuramente non-lineare.


Sistemi tempo-invariantiModifica

I sistemi tempo-invarianti possono essere di due tipi:

  • sistemi statici, o istantanei;
  • sistemi dinamici, o con memoria.


Definizione: Sistema lineare
Un sistema tempo-invariante definito dalla trasformazione   è lineare se vale
 



Teorema:
Per un sistema lineare tempo-invariante (LTI) vale
 
 


Nel caso di sistemi LTI, si ha

 

dove   è la risposta all'impulso del sistema  . Si ha, inoltre,

 

che è la risposta in frequenza del sistema. Se   è stazionario in senso lato, si può affermare che   è ancora stazionario in senso lato; infatti, si ha

 

dove   perché   è, per ipotesi, stazionario.

  è la risposta all'impulso del sistema alla frequenza  , cioè è il guadagno di sistema.

Autocorrelazione del second'ordineModifica

Per i sistemi LTI, vale

 

Se il processo di partenza   è stazionario in senso lato (WSS) del second'ordine, e se il sistema è lineare tempo-invariante (LTI), allora l'uscita del sistema   è anch'essa WSS.

 

In frequenza, si ha

 

I processi   e   sono anche congiuntamente stazionari, infatti

 

In termini di densità spettrali, si ha

 

Covarianza di  Modifica

Per quanto riguarda  , abbiamo che vale

 

Consideriamo il sistema   che accetta in ingresso il processo   e restituisce il processo  , con

  •  
  •  

dove   e   sono stazionari in senso lato (WSS). Si ha

  •  
  •  

Abbiamo che

 

da cui si ottiene

 

ossia

 

che è la stessa relazione che esiste per l'autocorrelazione.


Esempio:
Sia
 

con  ,   e WSS del second'ordine. Si ha

 
 

Un modo alternativo per calcolare la funzione di autocorrelazione è usare la convoluzione,

 

dove si ha

 

quindi si ha

 



Esercizio: Esercizio per casa
Si ha il processo stocastico
 

con   un processo gausiano WSS. Calcolare:

  •  
  •  
  •  
  •  
Nota: se   è gaussiano e WSS, allora è anche stazionario in senso stretto (SSS). Se poi filtriamo tale processo SSS con un sistema lineare tempo-invariante (LTI), allora anche   sarà stazionario in senso lato (WSS).


Processi bianchiModifica


Definizione: Processo bianco
Un processo   si dice bianco se:
  1.   è stazionario in senso lato (WSS) almeno del second'ordine;
  2. la trasformata di Fourier dell'autocovarianza è costante
 
il che vuol dire che la densità spettrale di potenza è
 
 


Nella realtà, i processi bianchi continui non esistono, perché la potenza sarebbe infinita con  .

 

Quindi, dobbiamo restringere la trattazione ai processi bianchi in banda, cioè con densità spettrale di potenza costante su una banda limitata  .


Definizione: Processo bianco in banda
Un processo bianco in banda ha la trasformata di Fourier della covarianza,  , costante nell'intervallo  .

 

Si ha

 


In questo caso, la potenza è

 

Si ha, quindi,

 

Nel caso di processi bianchi in banda limitata, la funzione di autocorrelazione è

 

Processi bianchi discretiModifica

Se un processo è bianco e discreto (per esempio, può essere la versione campionata di un processo continuo), si ha sempre potenza finita nel periodo:

 

Un processo bianco discreto, essendo la versione campionata di un processo bianco continuo, è sempre implicitamente considerato come in banda: per il teorema di Shannon, infatti, un segnale deve essere campionato ad una frequenza almeno doppia della banda del segnale,

 

quindi, deve esistere il valore

 


Esempio: Esempio di tema d'esame
Sia   un processo gaussiano, stazionario in senso lato (WSS) e bianco in banda  , con:
  •  
  •  
  •  


Soluzione:
Il processo   è WSS e gaussiano, il che vuol dire che è anche stazionario in senso stretto (SSS). Per calcolare la funzione di autocovarianza, basta calcolare il valore di  :
 

da cui

 

 

Si ottiene

 
Da notare che nel calcolo di   non bisogna inserire la   del valore continuo, altrimenti si trova la funzione di autocorrelazione  .


Processi ciclostazionariModifica


Definizione: Processo ciclostazionario
Un processo   è ciclostazionario quando c'è invarianza alla traslazione periodica.


Un classico esempio di processo ciclostazionario è

 

dove   è una variabile casuale.