Dinamica dei sistemi rigidi

lezione
Dinamica dei sistemi rigidi
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Meccanica razionale

Teoria dei momenti d'inerziaModifica

Consideriamo un punto materiale P ed una retta a. Dicesi momento d'inerzia del punto materiale P rispetto alla retta a:

essendo la distanza di P da a ed m la sua massa.

Nel caso di un sistema di n masse:

essendo dv l'elementino del volume.

Si chiama raggio d'inerzia:

Essendo:

o, nel caso di un sistema continuo:

La ricerca del momento d'inerzia di un sistema S rispetto ad un asse generico dello spazio può in ogni caso effettuarsi direttamente in base alla definizione. Questa ricerca è spesso molto agevolata dalle due proposizioni seguenti.

-Teorema di Huygens

Se I è il momrento d'inerzia do S rispettp ad a, il momento d'inerzia S rispetto ad , retta parallela ad a passante per il baricentro G, e se infine d è la distanza fra queste due rette:

Energia cinetica di un corpo rigidoModifica

L'energia cinetica di un corpo rigido a simmetria assiale in rotazione attorno all'asse di simmetria con velocità angolare   e che trasla nello spazio con velocità   è:

 

dove   è la massa totale del corpo ed   il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.

Equazione della dinamica dei corpi rigidiModifica

Per quanto riguarda la parte dinamica del moto di un corpo rigido, sappiamo che un sistema continuo è soggetto alle Equazioni cardinali dei sistemi

 

dove si introduce il concetto del centro di massa a cui si riferiscono le grandezze associate. A partire da queste equazioni si determina perfettamente la dinamica del corpo rigido. Un corpo rigido è isolato se

 

e queste equazioni introducono la Legge di conservazione del momento angolare e fanno parte di una branca della meccanica classica detta statica.

Teorema della derivata della quantità di motoModifica

L'equazione della quantità di moto si scrive dicendo:

 

essendo:

 

Ora consideriamo un sistema rigido e prendiamo una terna solidale al corpo come terna di riferimento. Questa terna durante il moto rigido traslerà e ruotera per cui l'equazione:

 

essendo riferita ad assi fissi dovrà essere opportuanmente cambiata.

La velocità del baricentro, se   ne sono le coordinate, è data da:

 

per cui la quantità di moto totale del sistema è data da:

 

Ora se la terna di riferimento è una terna centrale   per cui:

 

Se 'u', 'v', 'w' sono le componenti di   sui tre assi mobili avremo:

 .

Eseguendo il derivato di   rispetto al tempo e considerando che gli assi di riferimento sono mobili:

 

Da cui derivano le tre equazioni scalari che rappresentano l'equazioni della quantità di moto sui tre assi mobili solidali al corpo  :

 
 
 

Teorema della derivata del momento della quantità di motoModifica

La seconda equazione cardinale della dinamica è data da:

 

sempre che il punto di riduzione dei momenti sia un punto fisso o il baricentro.

Nel caso di un corpo rigido assumiamo senz'altro che la terna solidale col corpo abbia origine nel baricentro (Terna Centrale). In questo caso   sono nulli.

Allora la velocità di un punto 'P' del sistema è data:

 

a cui compete una quantità di moto elementare:

 

ed un momento della quantità di moto elementare rispetto al baricentro:

 

Il momento della quantità di moto totale è dato ovviamente da:

 

Il termine   è zero in quanto la quantità di moto totale è un vettore che passa per il baricentro, per cui:

 

Se   sono le coordinate di   e   le componenti di  :

 

ed ancora:

 
 

Per cui possiamo scrivere che:

 
 
 

Ora se la terna di riferimento è una terna principale di inerzia tutti gli integrali del tipo   sono nulli quindi il momento della quantità di moto rispetto agli assi mobili è dato da:

 

Applicando ora l'equazione del momento della quantità di moto e tenendo conto che gli assi sono mobili otteniamo:

 

E quindi le tre equazioni scalari:

 
 
 

Concludendo possiamo dire che un motorigido rimane individuato dalla conoscenza dei suoi sei parametri   che corrispondono a sei gradi di libertà del corpo. Per cui note le cause esterne che producono il moto   e   che potranno essere in generale funzioni di   e delle coordinate, è possibile attraverso l'integrazione delle equazioni differenziali scritte e con le opportune condizioni ai limitiindividuare completamente il mptp rigido.

Lavoro di una forza in uno spostamento rigidoModifica

GiroscopioModifica

Moto di precessione libera di un giroscopioModifica

Energia cinetica di un giroscopioModifica

Momento di un giroscopio simmetricoModifica

Giroscopio pesanteModifica