Curve: rappresentazione e proprietà

Una curva nello spazio è una curva che giace nello spazio ed è identificabile da una funzione continua:

Una curva elicoidale nello spazio tridimensionale

$\alpha :I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

dove $I$ è un intervallo nell'insieme dei numeri reali.

L'immagine di una curva viene anche chiamata supporto della curva. Talvolta si usa l'espressione curva anche per indicare il supporto di una curva.

Rappresentazione parametrica

La migliore rappresentazione della curva è sicuramente quella parametrica, del tipo:

$\alpha (t):{\begin{cases}x=\phi (t)\\y=\psi (t)\\z=\chi (t)\end{cases}}$

oppure: $\alpha (t)=\left(\phi (t),\psi (t),\chi (t)\right)$

dove $t\in I$ si chiama parametro.

La condizione di continuità non basta per rappresentare e studiare le curve intese come oggetti filiformi ad una dimensione con le caratteristiche di regolarità volute. La condizione aggiuntiva è che la curva piana sia differenziabile entro I.

Una curva nello spazio parametrizzata: $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t),\chi (t))$ si dice differenziabile in ogni punto di I se le funzioni $\phi (t)$, $\psi (t)$ e $\chi (t)$ hanno derivate continue in ogni punto dell'intervallo.

Una curva nello spazio differenziabile si dice regolare in un punto $t_{0}$ se $\alpha '(t_{0})=\left(\phi '(t_{0}),\psi '(t_{0}),\chi '(t_{0})\right)\neq (0,0,0)$ e regolare in I se $\alpha '(t)\neq \left(0,0,0\right)$ in ogni punto di I.

Un punto $t_{0}$ per cui $\alpha '(t_{0})=\left(0,0,0\right)$ è un punto singolare per la curva.

Una curva è semplice se non si autointerseca, ovvero se

$\forall \ t_{1}\neq t_{2}\in I\Longrightarrow \alpha (t_{1})\neq \alpha (t_{2})$.

Retta tangente

La terna di Frenet

La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Sia $\alpha (t)$ una curva differenziabile e $P_{0}=\alpha (t_{0})$ un punto regolare. Si può definire la retta tangente (chiamata anche velocità) alla curva nel punto $P_{0}$, la retta parallela al vettore:

$\alpha '(t_{0})=\left(\phi '(t_{0}),\psi '(t_{0}),\chi '(t_{0})\right)$.

Chiamiamo versore tangente:

$T(t_{0})={\frac {\alpha '(t_{0})}{|\alpha '(t_{0})|}}$.

Retta normale

Ogni curva regolare permette di definire una retta normale in ogni suo punto. Considerato un punto della curva, la retta normale è quella singola retta che passa per il punto in considerazione, è perpendicolare alla retta tangente e alla curva.

Riparametrizzazione

Data una curva $\alpha :I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$ differenziabile e una funzione $t=t(s)$ definita sull'intervallo $S\longrightarrow I$ allora la curva:

$\beta =\alpha \circ t:S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},$

tale che per ogni $s\in S\longrightarrow \beta (s)=\alpha (t(s)),$ è una riparametrizzazione della curva $\alpha$. La riparametrizzazione è regolare se: $t(S)=I$ e se $t'(s)\neq 0$.

Vale il seguente teorema: se $\beta =\alpha \circ t$ è una riparametrizzazione di $\alpha$ tramite $t=t(s)$ allora:

$\beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))$

Dimostrazione

Se

$\alpha (t)=\left(\phi (t),\psi (t),\chi (t)\right)$

allora

$\beta (s)=\left(\phi (t(s)),\psi (t(s)),\chi (t(s))\right)$

e per la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene:

${\frac {d\phi \left(t(s)\right)}{ds}}={\frac {d\phi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}$

${\frac {d\psi \left(t(s)\right)}{ds}}={\frac {d\psi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}$

${\frac {d\chi \left(t(s)\right)}{ds}}={\frac {d\chi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}$

e così si ottiene:

$\beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\left({\frac {d\phi }{ds}},{\frac {d\psi }{ds}},{\frac {d\chi }{ds}}\right)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))$

Ascissa curvilinea

Si definisce ascissa curvilinea oppure parametro lunghezza arco la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione a in modo che l'integrale:

$s(t)=\int _{a}^{t}\|\alpha '(u)\|du=\int _{a}^{b}{\sqrt {\phi '^{2}+\psi '^{2}+\chi '^{2}}}du$

dipenda solo dall'estremo superiore t inteso come variabile. Questa funzione è la lunghezza dell'arco di curva a partire da un punto fisso a e può avere segno. Si può sempre riparametrizzare la curva nell'ascissa curvilinea.

L'ultima affermazione si dimostra nel modo seguente:

dato che $s'(t)=\|\alpha '(t)\|>0$ allora si può invertire s(t) e se la sua inversa è t = t(s) allora si ha la riparametrizzazione ascissa curvilinea o naturale data da:

$\beta (s)=\alpha (t(s))$.

Curvatura

Data una parametrizzazione ascissa curvilinea della curva $\alpha (s)$ definiamo curvatura il vettore:

${\vec {k}}(s)={\vec {T}}'(s)$

e curvatura scalare il suo modulo.

Formule di Frenet

Una curva nello spazio (sufficientemente regolare) ha in ogni punto un sistema di riferimento detto triedro di Frenet, dato da una terna di versori tangente, normale e binormale. Da notare che il poter definire il triedro di Frenet in ogni punto della curva è subordinato al fatto che la curva abbia versore tangente e normale in ogni punto della curva: per questo motivo si parlerà d'ora in poi di campo dei versori tangenti e campo dei versori normali. Inoltre la curva deve essere due volte derivabile e questa è una condizione aggiuntiva non prevista nella definizione precedente.

Sia $\alpha (s)=\left(\phi (s),\psi (s),\chi (s)\right)$ una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea. Il campo dei versori tangenti alla curva è dato da:

${\overrightarrow {T(s)}}={\frac {\alpha '(s)}{\|\alpha '(s)\|}}$

Il campo dei versori normali è dato da:

${\overrightarrow {N(s)}}={\frac {T'(s)}{\|T'(s)\|}}$

Sfruttando la definizione di curvatura si può dare un'altra forma al campo dei versori normali:

${\overrightarrow {N(s)}}={\frac {T'(s)}{k(s)}}$

Poiché $T$ ha norma costante, anche la quantità $\|T\|^{2}$ sarà costante, ovvero

$\left(\left\|T\right\|^{2}\right)'=0$

riscrivendo:

$\left(T\cdot T\right)'=0$

Sviluppando si ottiene:

$2T\cdot T'=0$

Ovvero il vettore $T'$ è ortogonale a $T$ e quindi parallelo ad $N$.

Si definisce ancora il campo dei versori binormali:

${\overrightarrow {B(s)}}={\overrightarrow {T(s)}}\times {\overrightarrow {N(s)}}$

L'importanza del triedro di Frenet è che esso è un sistema di riferimento ortonormale "mobile", cioè al muoversi del punto $P$ lungo la curva $\alpha (s)$, il triedro di Frenet si muove in modo solidale con $P$ e rimane sempre un sistema ortonormale. In altre parole il triedro di Frenet è una base ortormale e quindi si hanno le formule di Frenet:

${\begin{cases}{\overrightarrow {T'(s)}}=a_{1}\cdot {\overrightarrow {T(s)}}+b_{1}\cdot {\overrightarrow {N(s)}}+c_{1}\cdot {\overrightarrow {B(s)}}\\{\overrightarrow {N'(s)}}=a_{2}\cdot {\overrightarrow {T(s)}}+b_{2}\cdot {\overrightarrow {N(s)}}+c_{2}\cdot {\overrightarrow {B(s)}}\\{\overrightarrow {B'(s)}}=a_{3}\cdot {\overrightarrow {T(s)}}+b_{3}\cdot {\overrightarrow {N(s)}}+c_{3}\cdot {\overrightarrow {B(s)}}\end{cases}}$

Se abbiamo una parametrizzazione qualsiasi della curva: $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t),\chi (t))$, formalmente il triedro di Frenet è uguale e si hanno le formule di Frenet:

${\begin{cases}{\overrightarrow {T'(t)}}=k(t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {N(t)}}\\{\overrightarrow {N'(t)}}=-k(t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {T(t)}}+\tau (t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {B(t)}}\\{\overrightarrow {B'(t)}}=-\tau (t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {N(t)}}\end{cases}}$

questo perché se per esempio ${\vec {T}}(s(t))$ è il campo tangente della parametrizzazione qualsiasi allora la sua derivata rispetto a t:

${\frac {\overrightarrow {T'(s(t))}}{ds}}\cdot {\frac {ds(t))}{dt}}=k(s(t))\cdot {\overrightarrow {N(s(t))}}\cdot \|\alpha '(t)\|$

e così via per le altre due formule di Frenet.

Curvatura e torsione

Una curva nello spazio è quindi interamente definita dai due parametri curvatura e torsione. Fondamentale a questo punto è il loro calcolo esplicito sia in parametrizzazione ascissa curvilinea, che in parametrizzazione qualsiasi.

Curvatura e torsione in parametrizzazione naturale

Sia $\alpha (s)=\left(\phi (s),\psi (s),\chi (s)\right)$ la parametrizzazione naturale di una curva due volte differenziabile. Allora per ogni punto è definito il triedro di Frenet

$1)\ {\overrightarrow {T(s)}}={\frac {\alpha '(s)}{\|\alpha '(s)\|}}$

$2)\ {\overrightarrow {N(s)}}={\frac {T'(s)}{\|T'(s)\|}}={\frac {T'(s)}{k(s)}}$

$3)\ {\overrightarrow {B(s)}}={\overrightarrow {T(s)}}\times {\overrightarrow {N(s)}}$

Calcoliamoci la curvatura e la torsione:

$k(s)=\|\alpha ''(s)\|=\|\alpha '(s)\times \alpha ''(s)\|$

$\tau (s)={\frac {\alpha '(s)\cdot \alpha ''(s)\times \alpha '''(s)}{k^{2}(s)}}$

Curvatura e torsione in parametrizzazione qualsiasi

Sia $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t),\chi (t))$ una parametrizzazione qualsiasi di una curva due volte differenziabile. Allora dalla curvatura e dalla torsione sono:

$k(t)={\frac {\|\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\|}{\|\alpha '(t)\|^{3}}}$

$\tau (t)=-{\frac {\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\cdot \alpha '''(t)}{\|\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\|^{2}}}$