Conduzione 2

Applicazioni

Quanto visto nella lezione Conduzione 1 verrà ora applicato a dei semplici casi per meglio comprendere ciò che riguarda la conduzione.

Parete piana a regime stazionario

Si consideri una parte piana composta da un unico mezzo omogeneo e di area indefinita, tanto da poterci considerare lontano dalle superficii limiti e di spessore assegnato s. Si assegnino due differenti temperature (costanti) alle due facce della parete tale che $T_{1}>T_{2}$. Per meglio chiarirci si consideri la seguente figura:

Come intuibile le superficii isoterme saranno parallele alle facce della parete, per simmetria.

Al fine di arrivare a conoscere come varia la temperatura all'interno del mezzo possiamo applicare l'equazione di Fourier

${\frac {dT}{d\tau }}=D*\nabla ^{2}T$

considerando l'ipotesi iniziale di stazionarietà questa si trasforma nella più semplice

$\nabla ^{2}T=0$

poiché risulta pari a 0 la derivata rispetto al tempo della temperatura.

Per ragioni geometriche dell'esercizio considerato risulta evidente che l'unico verso di propagazione del calore sarà lungo la direzione X, e, dal punto di vista matematico questo si traduce nel poter considerare l'unica derivata rispetto tale componente essendo unicamente zero le altre. Il laplaciano si tramuta quindi nell'ancora più immediata equazione:

${\frac {d^{2}T}{dx}}=0$

che può essere immediatamente risolta integrando due volte fino a giungere all'espressione di una generica T(x)

$T(x)=K_{1}x+K_{2}$

la quale, considerando le condizioni al contorno $T(x=0)=T_{1}eT(x=s)=T_{2}$ diventa

$T(x)={\frac {T_{2}-T_{1}}{s}}x+T_{1}$

Parete piana multistrato a regime stazionario

Analogamente a quanto visto per una parete piana monostrato si può estendere il concetto ad una parete composta da strati di diversi materiali, come accade poi in casistiche reali. Sappiamo infatti che in un materiale omogeneo la ripartizione della temperatura nel mezzo è di tipo lineare, quello che ci aspettiamo dunque è una retta spezzata che "trasporterà" la temperatura da una parte all'altra dell'intera parete assorbendo parte del $\Delta T$